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甘肃省兰州大学附中2014届高三上学期一轮复习数学(理)单元验收试题(6)平面向量


兰州大学附中 2013—2014 学年度上学期高三一轮复习

【新课标】数学(理)单元验收试题(6)
命题范围:平面向量
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(

本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.下列命中,正确的是( ) A.| a |=| b | ? a = b C. a = b ? a ∥ b

?

?

?

?

B.| a |>| b | ? a > b D.| a |=0 ? a =0

?

?

?

?

?

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?

?

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?

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题) 已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 ( A. ? ,- ?

??? ?

) D. ? ? , ? )

?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

? 4 3? ? 5 5?

| 3.若非零向量 a,b 满足| a | ? b |、(2a ? b) ? b ? 0 |,则 a,b 的夹角为(
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 ) 4.若 a 、 b 、 c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( ... A. a + b )+ c = a +( b + c ) ( C.m( a + b )=m a +m b B. a + b ) c = a · c + b · c ( ·

D. a ·b) c = a ( b · c ) ( ?? ? ?? ? ?? ? 5.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( )

?

? ?

?

A. ?4

B. ?3

C. ?2

D. -1

6. (2013 年高考湖北卷(理) ) 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(

??? ?

??? ?



A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

7. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)设 ?ABC, P0 是边 AB 上一定点, 满足 P0 B ?

1 AB ,且对于边 AB 上任一点 P ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C .则( 4
B. ?BAC ? 90 0 C. AB ? AC D. AC ? BC



A. ?ABC ? 90 0

??? ???? ? 8.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 OP ? OQ ? (


??? ? D. EO

???? ? A. OH

???? B. OG

??? ? C. FO

9.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?



??? ? ??? ??? ??? ? ? ? OB ? 2, 则点集 10.在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,两定点 A, B 满足 OA ? OB ? OA?

?P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R? 所表示的区域的面积是(
A. 2 2 B. 2 3 C. 4 2

??? ?

??? ?

??? ?



D. 4 3

11. (2013 年高考上海卷(理) 在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为 ) 终 点 的 向 量 分 别 为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ; 以 D 为 起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?

?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 . 若 m, M 分 别 为 (ai ? a j ? ak ) ? (d r ? d s ? dt ) 的 最 小 值 、 最 大 值 , 其 中
, 5} {i , j , k } {1, 2, 3, 4,{r , s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足( ? A. m ? 0, M ? 0 B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 ) D. m ? 0, M ? 0

12. 设过点 P( x, y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点, Q 与点 P 点 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2PA 且 OQ. AB ? 1,则点 P 的轨迹方程是 ( ) A. 3x ?
2

??? ?

??? ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。

k 13. (2013 年上海市春季高考数学试卷)已知向量 a ? (1 k ) , b ? (9, ? 6) .若 a // b ,则实数 ,

?

?

?

?

k?
?

.

14.已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1,1? , a 与 a ? ? b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围为 15.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ?

?

?

?

?

??? ??? ? ?



16. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)设 e1 , e2 为单位向量,非零向量

b ? xe1 ? y e2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为

| x| ? ,则 的最大值等于 6 |b|



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分)。 17. (12 分)已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上
2

是增函数,求 t 的取值范围. 18. (12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (Ⅰ)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (Ⅱ)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 19. (12 分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(1,0) 和点 B(?1, 0) ,| OC |? 1 ,且

????

?AOC ?x ,其中 O 为坐标原点.
???? ???? 3 ? ,设点 D 为线段 OA 上的动点,求 | OC ? OD | 的最小值; 4 ?? ??? ? ? ?? ? ? (Ⅱ)若 x ? [0, ] ,向量 m ? BC , n ? (1 ? cos x,sin x ? 2cos x) ,求 m ? n 的最小值及对 2
(Ⅰ)若 x ? 应的 x 值.

20. (12 分)已知 ?ABC , AB ? (cos

3x 3x x x , ? sin ) , AC ? (cos , sin ) ,其中 2 2 2 2

x ? (0 ,

?
2

).

(Ⅰ)求 | BC | 和 ?ABC 的边 BC 上的高 h ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ?| BC | ? ? ? h 的最大值是 5 ,求常数 ? 的值.
2

21. (14 分) 已知两定点 F1 ( ? 2, 0), F2 ( 2, 0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的轨迹是 曲线 E,直线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求k的取值范围; ( Ⅱ ) 如 果 AB ? 6

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ???? 3 ,且 曲 线 E 上 存 在 点 C , 使 O A O ? ? B m, O C 求

m的值和?ABC的面积S 。

→ → → → → 22. (14 分) 如图,三定点 A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三动点 D,E,M 满足AD=tAB, BE = t BC, DM → =t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.

y C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x A

参考答案
一、选择题 1. C;2.A;3.C;4.D;5.B;6.A;7.D;8. C;9.B;10. D;11.D;12.D; 二、填空题 13. ?

3 ;14. ? ? ? 5 , 0 ? ? 0, ?? ? ;15. 2;16.2; 3 4
2 3 2

?

?

三、解答题 17.解法 1:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t.

若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间(?1,1)上恒成立, 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 1 由于g ( x)的图象是对称轴为x ? , 3
开口向上的抛物线,故要使 t ? 3x 2 ? 2 x 在区间(-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1), 即t ? 5.

而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数.
故t的取值范围是t ? 5 .
解法 2:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数, 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?(x) 的图象是开口向下的抛物线,

?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时
f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t ? 5.
18 . 解 : ( 1 ) ( 方 法 一 ) 由 题 设 知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) , 则

??? ?

????

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B ? A? 2 , 6 ) A B ? C ( 4 , 4 ) . ( C ,? A
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则:E 为 B、C 的中 点,E(0,1) 又E (0, 为 A、 的中点, 1) D 所以 D (1, 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、 4) AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 ,从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?
??? ???? ? ??? ???? ? ???? 2 ??? ? OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? AB ? OC ? ? 11 或者: AB· ???? 5 | OC |2

??? ???? ?

??? ???? ?

????

??? ?

????

11 。 5

19.解: (Ⅰ) 设 D(t ,0) ( 0 ? t ? 1 ) , 又 C (?

???? ???? 2 2 2 2 ? t, ), , ) ,所以 OC ? OD ? (? 2 2 2 2

所以 | OC ? OD | ?
2

???? ????

2 2 1 1 1 ) ? (0 ? t ? 1) , ? 2t ? t 2 ? ? t 2 ? 2t ? 1 ? (t ? 2 2 2 2

所以当 t ?

???? ???? 2 2 时, | OC ? OD | 最小值为 , 2 2
?? ??? ?

(Ⅱ)由题意得 C (cos x,sin x) , m ? BC ? (cos x ? 1,sin x) , 则 m ? n ? 1 ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?
2 2

?? ?

?
4

) ,

因为 x ? [0,

?
2

] ,所以 ?

?
4

? 2x ?

?
4

?

所以当 2 x ?

) 取得最大值 1 , 2 8 4 ?? ? ? ? 所以 x ? 时, m ? n ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 取得最小值 1 ? 2 , 8 4 4

?

?

,即 x ?

?

5? , 4

时, sin(2 x ?

?

所以 m ? n 的最小值为 1 ? 2 ,此时 x ? 20.解: (Ⅰ) BC

?? ?

?
8



? AC ? AB ? (cos

x 3x x 3x ? cos , sin ? sin ) , 2 2 2 2

x 3x x 3x | BC |2 ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2
x 3x x 3x ? 2 ? 2(sin sin ? cos cos ) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 4 sin 2 x 2 2 2 2
因为 x ? (0 , 所以 h ?

?
2

), 所以 | BC |? 2 sin x , 因为 | AB |?| AC |? 1 ,ΔABC 是等腰三角形,

1 | AB | 2 ?( | BC |) 2 ? cos x 2

注 : 运 用 数 形 结 合 解 三 角 形 的 办 法 求 解 | BC | 也 可 参 ( 照 给 分 。

cos A ?

AB ? AC | AB | ? | AC |

,? cos 2 x ,依题意,0 ?

A ? ? ,0 ? 2x ? ? ,所以 A ? 2x
h ? cos x
? ?2

,因为 | AB |?| AC |? 1 ,所以 | BC |? 2 sin x , (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

, f ( x) ?| BC | 2 ?? ? h ? ?4 cos2 x ? ? cos x ? 4 ? ?4(cos x ? ) 2 ? 4 ? 8 16 因为 x ? (0 ,

?
2

) , cos x ? (0 , 1) ,所以



若 0 ? ? ? 8, 则当 cos x ? 解得 ?

? ?2 ?2 时, f (x) 取得最大值 4 ? , 依题意 4 ? 8 16 16

? 5,

?4



②若 ?

? 0 ,因为 cos x ? (0 , 1) ,所以 f ( x) ? ?4 cos2 x ? ? cos x ? 4 ? 4 ,

与 f (x) 取得最大值 5 矛盾 ③若 ? 所 以

? 8 ,因为 cos x ? (0 , 1) ,
f ( x) ? 4 s i2 x ? ? c ox ? 4 s i2 x ? 8 c ox s, n s n
f (x) 的 最 大 值

M ? f ( ) ? 7 ? 5 ,与“函数 f (x) 的最大值是 5 ”矛盾 3
(或:若 ? ? 8 ,当 cos x 依题意 ? ? 5 ,与 ?

?

? 1 时, f (x) 取得最大值,最大值为 f (0) ? ?

? 8 矛盾,综上所述, ? ? 4 .

21.解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 的左支,且 c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ? 消去 y ,得 1 ? k 2 x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

?

?

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 ∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2

?2 ? ?2 k ? ? 1? k 2 ? ? ? ? 4? 1? k 2 ? 1? k 2 ?
2

?2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

整理后得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0 ∴ k2 ?

5 5 或 k2 ? 7 4
∴k ? ?

但 ? 2 ? k ? ?1

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ??? ? ? ???? 设 C ? x0 , y0 ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1 , y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mx0 , my0 ?
故直线 AB 的方程为

∴ ? mx0 , my0 ? ? ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

又 x1 ? x2 ?

2k 2 2 2 ?2? 2 ?8 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 ,点 C 的坐标为 ? 5, 2

80 64 ? ? 1 得 m ? ?4 , m2 m2

?

?
? 1 3

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?

∴ ?ABC 的面积 S ? 22.解法一: 如图,

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

→ → → → (Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC, 知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).
?xD=-2t+2 ?xE=-2t yE-yD 2t-1-(-2t+1) ∴? 同理 ? . ∴kDE = = = 1-2t. xE-xD -2t-(-2t+2) ?yD=-2t+1 ?yE=2t-1

∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1]. → → (Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).
?x=2(1-2t) ∴? 2 ?y=(1-2t)

x2 , ∴y= 4 , 即 x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1-2t)∈[-2,2].

即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. → → → → (Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ → → t) OA+tOB, → → → → → → → → → → OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC-OB) =(1-t) OB+tOC,
-2 -1 O E -1 B 第 22 题解法图

→ → → → tAB = OA+ t(OB-OA) = (1-
y C M 1 D 2 x A

→ → → → → → → → → → OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE-OD)=(1-t) OD+ tOE= → → → (1-t2) OA + 2(1-t)tOB+t2OC . → → → 设 M 点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,-1), OC=(-2,1)得

?x=(1-t2)·2+2(1-t)t·0+t2·(-2)=2(1-2t) ? 2 2 2 ?y=(1-t) ·1+2(1-t)t·(-1)+t ·1=(1-2t)

消去 t 得 x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[-2,2].

故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[-2,2]


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