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闵行区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)


闵行区 2015 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
(满分 150 分,时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有 23 道试题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 i z ? 3 ? i ( i 为虚数单位),则 | z |? 2.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 ? U A ? 3.方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解为
x x

. .

1 2

. .

4.函数 f ? x ? ? 5.不等式

cos( ? ? x) sin x 的最小正周期 T = sin( ? ? x) cos x

4 . ? x 的解集为 x 6.若一圆锥的底面半径为 3 ,体积是 12? ,则该圆锥的侧面积等于 . ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 7 .已知 △ ABC 中, AB ? 4 i ? 3 j , AC ? ?3i ? 4 j ,其中 i、j 是基本单位向量,则
△ ABC 的面积为
. 8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、 历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史 三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有 9.若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 10.若函数 f ( x) ? 2
x ?a

种. .

S8 S 6 S ? ? 10 ,则 lim n ? n ?? n 2 8 6

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 上单调
.

递增,则实数 m 的最小值等于 11.若点 P 、 Q 均在椭圆 ? :

焦点,则 PF1 ? PF2 ? 2 PQ 的最大值为

???? ???? ?

??? ?

x2 y2 ? ? 1 (a ? 1) 上运动, F1、F2 是椭圆 ? 的左、右 a2 a2 ?1
.

? ? ? 0x? 4 ?cos 2 x, 12 .已知函数 f ( x) ? ? ,若实数 a、b、c 互不相等,且满足 log ( x ? 3) ? 1 , x ? 4 ? 1 ? 4 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是 .
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13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算 法,其理论依据是: 设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 则

b?d 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ? ? 3.14159 ??? ,若令 a?c 31 49 16 ??? ,则第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 10 15 5 31 16 ??? , 若每次都取最简分数, 那么第四次用 “调日法” 后可得 ? 的近似分数为 . 10 5 1 n 14 .已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N* , S n ? ( ?1) an ? n ? n ? 3 且 2 (an?1 ? p)(an ? p) ? 0 恒成立,则实数 p 的取值范围是 .
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则“ a ? b ”是“ (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件

b d 和 ( a, b, c, d ? N* ) , c a

b a ? ? 2 等号成立”的( a b
(B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

).

16.设 f ( x) ? 2 ? 5x ? 10 x2 ? 10 x3 ? 5x4 ? x5 ,则其反函数的解析式为( (A) y ? 1 ? 5 x ?1 (C) y ? ?1 ? 5 x ?1 (B) y ? 1 ? 5 x ?1 (D) y ? ?1 ? 5 x ?1

).

17.△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 满足 范围是( (A) ? 0, ). (B) ? 0,

a ?b?c c ? , 则角 A 的 b a?b?c

? ?

?? ? ??

? ?

?? ? ??

(C) ? , ? ? ?? ?

??

?

(D) ? , ? ? ?? ?

??

?

18.函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图像如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,图 像如图 2 所示. A ? x f ( g ( x)) ? 0 , B ? x g ( f ( x)) ? 0 ,则 A ? B 中元素的个数为 ( (A) 1 y 1 x (B) 2 (C) 3 y 1 1 -1
图1 图2

?

?

?

?

) .

(D) 4

-1

O

-1

O

1

2

x

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) C1 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , A1

? AA1 ? AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ? , D 为棱 AA1 中点, ? ? 证 明 异 面 直 线 B1C1 与 CD 所 成 角 为 ,并求三棱柱 ?

B1

D C A B

ABC ? A1B1C1 的体积.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,点 A 、 B 分别是角 ? 、 ? 的终边与单位圆的交点, 0 ? ? ?

? ? ? ? ?. 2
y B O x

2 3 (1)若 ? = ? , cos ?? ? ? ? ? ,求 sin 2? 的值; 3 4
(2)证明: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

A

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1 、 l2 ,海岸边界 MPN 近似地看 成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB ,且 直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P (即直线与曲线相切),如图所示.若曲 线段 MPN 是函数 y ?

a 图像的一段, 点 M 到 l1 、 点N l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米, x

到 l2 的距离为 10 千米,以 l1 、 l2 分别为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy , 设点 P 的横坐标为 p . (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 y A M

l2

大海 P N

OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取值范围.
O

l1

B

x

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) (3)小题满分各 6 分. 已 知 椭 圆 ? 的 中 心 在 坐 标 原 点 , 且 经 过 点 (1, ) , 它 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线

3 2

? : y 2 ? 4 x 的焦点重合.
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F ?1, 0? ,且与抛物线 ? 交于 A、B 两点,设点 P(?1, k ) ,

△ PAB 的面积为 4 3 ,求 k 的值;
(3)若直线 l 过点 M ? 0, m? ( m ? 0 ),且与椭圆 ? 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴 的对称点为 Q ,直线 QD 的纵截距为 n ,证明: mn 为定值.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn .规定:若数列 ?an ? 满足前 r 项 依次成公差为 1 的等差数列,从第 r ? 1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列

?an ? 为“ r 关联数列”.
(1)若数列 ?an ? 为“ 6 关联数列”,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn ,并证明:对任意 n ? N , an Sn ? a6 S6 ;
*

(3)已知数列 ?an ? 为“ r 关联数列”,且 a1 ? ?10 ,是否存在正整数 k , m(m ? k ) , 使得 a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? am ? 若存在,求出所有的 k , m 值;若 不存在,请说明理由.

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闵行区 2015 学年第一学期高三年级质量调研考试数学试 卷 参考答案和评分标准
一、(第 1 题至第 14 题) 1.2; 6. ??? ; 2. (??,0) ; 7. 3. x ? log2 3 ; 9. 5 ; 4. ? ; 5. (0,2) ;

25 ; 8.10; 2
13.

10. 1 ; 14.理 ? ? ,

11. 2 a ;

23) 、文 (8, 10) ; 12.理 (8,
二、(第 15 题至第 18 题)

22 ; 7

1 1 ? 3 11 ? ? 、文 3 ? 3 ? 4 n ? n . ? 4 4?
18.C.

15.A;

16.C;

17.B;

三、(第 19 题至第 23 题)19. (本题满分 12 分)

??BCD 或 [证明]? 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,BC // B1C1 ,
它的补角即为异面直线 B1C1 与 CD 所成角,??????????2 分 由 AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ?

? ? 以及正弦定理得 sin ?ACB ? ? , ??ACB ? 即 ? ?

BC ? AC ,????4 分
又? BC ? AA1 ,? BC ? 面ACC1 A 1 ,????6 分

? BC ? CD ??????8 分

? .???????? 10 分 2 1 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V ? S△ ABC ? AA1 ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3 . ?????12 2
所以异面直线 B1C1 与 CD 所成角的为 分 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分. [ 解 ] ( 1 )方法一 :? cos ?? ? ? ? ? 分

2 1 2 ,?cos(2? ? 2? ) ? 2 cos (? ? ? ) ?1 = ? ?3 3 9

3? 1 3 ? 2? ) ? ? , ? ? = ? ,即 cos( 4 2 9


?????????????6

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? sin 2 ? ?


1 . 9

?????????????8

方法二:? cos ?? ? ? ? ? 分

2 3 2 2 2 , ? = ? ,即 ? cos ? ? sin ? ? , ?????3 4 3 2 2 3

? sin ? ? cos ? ?
1 ? sin 2 ? ? . 9

8 2 2 ,两边平方得,1 ? sin 2 ? ? 9 3

???????????6 分

?????????????8 分

(2)[证明]由题意得, OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? )

?OA? OB = cos? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA 与 OB 夹角为 ? ? ? , OA ? OB ? 1

??????10 分

?OA? OB = OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

?????????12 分

综上 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立. ???????????14 分 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. [解](1)由题意得 M (1,8) ,则 a ? 8 ,故曲线段 MPN 的函数关系式为 y ? 分 又得 N (10, ) ,所以定义域为 ?1,10? . 分

8 ,?4 x

4 5

?????????????6

8 ? y ? ? k ( x ? p) ? 8 8 p ? (2)(理科) P ( p, ) ,设 AB : y ? ? k ( x ? p ) 由 ? 得 p p 8 ?y ? ? x ?

kpx2 ? (8 ? kp2 ) x ? 8 p ? 0 , ? ? (8 ? kp2 )2 ? 32kp2 ? (kp2 ? 8)2 ? 0 ,


????8

? kp 2 ? 8 ? 0,? k ? ?
分 得 A(0,

8 8 8 ,得直线 AB 方程为 y ? ? ? 2 ( x ? p) , 2 p p p

???10

16 )、B(2 p, 0) ,故点 P 为 AB 线段的中点, p
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16 p2 ? 8 由 2p ? ? 2? ? 0 即 p2 ? 8 ? 0 p p
12 分

????????????

得 p ? 2 2 时, OA ? OB ,所以,当 2 2 ? p ? 10 时,经点 A 至 P 路程最近. ??14 分 (文科)由(1)知 P (2, 4) ,设直线 AB 方程为 y ? 4 ? k ( x ? 2) , 由

? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? 8 ? y? ? x ?



k x2 ? 2(2 ? k ) x ? 8 ? 0 , ? ? 4(2 ? k )2 ? 32k ? 4(k ? 2)2 ? 0 ?8 分
? k ? 2 ? 0 ,? k ? ?2 ,所以直线 AB 方程为 y ? ?2 x ? 8 ,
分 得 A(0,8) 、B(4, 0) , 分 所 以 AB ? 6 4? 1 ? 6 米. ???14 分 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) (3)小题满分各 6 分. ????????????????????12 ?????? 10

4 ?5

. 答 : 公 路 AB 的 长 度 为 8.944 千 8 .千 9米 44

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 [解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b 2 2 ?a ? b ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? ??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ? 分

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1 ? k ? k2 k2 3k k 2 ?1
,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

???????????6

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?


1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 8 2 k2 k 2 ?1

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4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

?????????10 分

(3)(理科)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 分 直线 QD : y ? y1 ? 分

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 12 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 ?14 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

? mn ?

2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) ,y2 , 又 , 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

x2 y 2 ? x2 y 2 ? mn ? 2 12 12 2 ? x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) 4 4 ? 3 .?????????16 分 2 x2 ? x12

? y ? kx ? 1, ? 2 2 (文科) 设直线 l : y ? kx ? 1 ,由 ? x 2 y 2 消去 y 得 ? 4k ? 3? x ? 8kx ? 8 ? 0 , ? 1, ? ? ?4 3

M ? 0, ?1? 在 椭 圆 内 部 , ? l 与 椭 圆 恒 有 两 个 交 点 , 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? , 则
8k ? x1 ? x2 ? 2 , ? 1 2 1 4 1 1 x1 x2 x1 y2 ? x2 y1 ? 4k ? 3 ,由 , , 成等差数列得 ? ? ? ? ? ? k1 k k2 k k1 k2 y1 y2 y1 y2 ? x x ? ?8 . 1 2 2 ? 4k ? 3 ?

?
?

x1 (kx2 ? 1) ? x2 (kx1 ? 1) 2kx x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 1 2 (kx2 ? 1)(kx1 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
?16k ? 8k 24k ? , 2 2 ?8k ? 8k ? 4k ? 3 12k 2 ? 3
2

???????12 分 ?????????14 分 ?????????16 分

即k ? ?

2 2 ,? 直线 l 的方程为 y ? ? x ?1. 2 2

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. [解](1)? ?an ? 为“6 关联数列”,? ?an ? 前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数 列

?a6 ? a1 ? 5, a5 ? a1 ? 4, 且

a6 ?2, a5



a1 ? 5 ? 2 ,解得 a1 ? ?3 a1 ? 4
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?????2

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?n ? 4, n ? 5 ?n ? 4, n ? 6 ?n ? 4, n ? 4 (或 an ? ? n ?5 ). ????????4 分 ? an ? ? n?5 ? ? n ?5 ? 2 ,n ? 5 ? 2 ,n ? 6 ? 2 ,n ? 7
?1 2 7 ?1 2 7 ?1 2 7 ? n ? n, n ? 4 ? n ? n, n ? 5 ? n ? n, n ? 6 (2) 由 (1) 得 Sn ? ? 2 (或 Sn ? ? 2 ) ? ?2 2 2 2 n ? 4 n ? 4 n ? 4 ? ? 2 ? 7, n ? 6 ? ? 2 ? 7, n ? 7 ? 2 ? 7, n ? 5 ?
?????????????? 6 分

?an? : ?3, ?2, ?1,0,1,2,22 ,23,24 ,25 ,?, ?Sn? : ?3, ?5, ?6, ?6, ?5, ?3,1,9,25,? ?an Sn ? : 9,10,6,0, ?5, ?6,4,72,400,?,可见数列 ?an Sn ? 的最小项为 a6 S6 ? ?6 ,
?1 ? n(n ? 4)(n ? 7), n ? 5 证明: an Sn ? ? 2 , n ? 5 n ? 4 ? ? 2 (2 ? 7), n ? 6
列举法知当 n ? 5 时,(an Sn )min ? a5 S5 ? ?5 ; ???????????????8 分 当 n ? 6 时, an Sn ? 2 ? (2n?5 )2 ? 7 ? 2n?5 (n ? 6) ,设 2
n ?5

? t ,则 t ? ?2, 2 2, ?, 2 m, ?? ,
?????????10

7 49 an Sn ? 2t 2 ? 7t ? 2(t ? ) 2 ? ? 2 ? 22 ? 7 ? 2 ? ?6 . 4 8


(3)(理科)? {an } 为“ r 关联数列”,且 a1 ? ?10, d ? 1, q ? 2

?ar ?1 ? a1 ? (r ? 2)d ? r ?12, ar ? r ?11,?

ar ? 2 ? r ? 13 ar ?1

? ? 1 2 21 ?n ? 11, n ? 12 ? n ? n, n ? 12 ? an ? ? n?12 , Sn ? ? 2 2 n ?11 ? 2 , n ? 13 ? ? 2 ? 56, n ? 13 ?
分 ①当 k ? m ? 12 时,由

???????????12

1 2 21 1 21 k ? k ? m 2 ? m 得 (k ? m)(k ? m) ? 21(k ? m) 2 2 2 2

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?m ? 12 ?m ? 11 或? . k ? m ? 21, k , m ? 12, m ? k ,? ? ? k ? 9 ? k ? 10
k ?11 ? 56 ? 2m?11 ? 56得 m ? k ,不存在 ②当 m ? k ? 12 时,由 2

???????14

分 ③当 k ? 12, m ? 12 时,由

1 2 21 k ? k ? 2m ?11 ? 56 , 2m?10 ? k 2 ? 21k ? 112 2 2

当 k ? 1 时, 2m?10 ? 92, m ? N * ;当 k ? 2 时, 2m?10 ? 74, m ? N * ; 当 k ? 3 时, 2m?10 ? 58, m ? N * ;当 k ? 4 时, 2m?10 ? 44, m ? N * ; 当 k ? 5 时, 2m?10 ? 25 , m ? 15 ? N * ;当 k ? 6 时, 2m?10 ? 22, m ? N * ; 当 k ? 7 时, 2m?10 ? 14, m ? N * ;当 k ? 8 时, 2m?10 ? 23 , m ? 13 ? N * ; 当 k ? 9 时, 2m?10 ? 22 , m ? 12 舍去;当 k ? 10 时, 2m?10 ? 2, m ? 11舍去 当 k ? 11 时, 2m?10 ? 2, m ? 11 舍去;当 k ? 12 时, 2m?10 ? 2 2 , m ? 12舍去???16 分 综上所述,? 存在 ?

?m ? 15 ?m ? 13 ?m ? 12 ?m ? 11 或? 或? 或? . ???????18 分 ? k ? 5 ? k ? 8 ? k ? 9 ? k ? 10

(文科)由( 1 )可知,当 n ? 6 时, an ? 2n?5 ,因为: an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)d n ,

2

n?4

?2

n?5

2 n ?5 . ? (n ? 1)dn 故: d n ? n ?1

???????????13 分

假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,则:

? dk ?


2

? 2 k ?5 ? 2 m ?5 2 p ?5 22 k ?10 2m ? p ?10 ? ? , ( *) ?15 ? d m d p ,即: ? ? ? m ? 1 p ? 1 ? k ? 1?2 ? m ? 1? ? ? p ? 1? ? k ?1 ?
2

2

因为 m, k , p 成等差数列, 所以 m ? p ? 2k , (*) 式可以化简为 (k ? 1) ? (m ? 1)( p ? 1) , 即: k 2 ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾.

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所以在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.?18 分 (或:因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列,而又要求成等比数列,则 必为非零常数列,而 d n ?

2 n ?5 显然不是非零的常数,所以不存在.) n ?1

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闵行区 2015 学年第一学期高三年级质量调研考试数学试 卷 参考答案和评分标准
一、(第 1 题至第 14 题) 1.2; 6. ??? ; 2. (??,0) ; 7. 3. x ? log2 3 ; 9. 5 ; 4. ? ; 5. (0,2) ;

25 ; 8.10; 2
13.

10. 1 ; 14.理 ? ? ,

11. 2 a ;

23) 、文 (8, 10) ; 12.理 (8,
二、(第 15 题至第 18 题)

22 ; 7

1 1 ? 3 11 ? ? 、文 3 ? 3 ? 4 n ? n . ? 4 4?
18.C.

15.A;

16.C;

17.B;

三、(第 19 题至第 23 题)19. (本题满分 12 分)

??BCD 或 [证明]? 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,BC // B1C1 ,
它的补角即为异面直线 B1C1 与 CD 所成角,??????????2 分 由 AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ?

? ? 以及正弦定理得 sin ?ACB ? ? , ??ACB ? 即 ? ?

BC ? AC ,????4 分
又? BC ? AA1 ,? BC ? 面ACC1 A 1 ,????6 分

? BC ? CD ??????8 分

? .???????? 10 分 2 1 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V ? S△ ABC ? AA1 ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3 . ?????12 2
所以异面直线 B1C1 与 CD 所成角的为 分 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分. [ 解 ] ( 1 )方法一 :? cos ?? ? ? ? ? 分

2 1 2 ,?cos(2? ? 2? ) ? 2 cos (? ? ? ) ?1 = ? ?3 3 9

3? 1 3 ? 2? ) ? ? , ? ? = ? ,即 cos( 4 2 9


?????????????6

高三年级质量调研考试理科数学试卷

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? sin 2 ? ?


1 . 9

?????????????8

方法二:? cos ?? ? ? ? ? 分

2 3 2 2 2 , ? = ? ,即 ? cos ? ? sin ? ? , ?????3 4 3 2 2 3

? sin ? ? cos ? ?
1 ? sin 2 ? ? . 9

8 2 2 ,两边平方得,1 ? sin 2 ? ? 9 3

???????????6 分

?????????????8 分

(2)[证明]由题意得, OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? )

?OA? OB = cos? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA 与 OB 夹角为 ? ? ? , OA ? OB ? 1

??????10 分

?OA? OB = OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

?????????12 分

综上 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立. ???????????14 分 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. [解](1)由题意得 M (1,8) ,则 a ? 8 ,故曲线段 MPN 的函数关系式为 y ? 分 又得 N (10, ) ,所以定义域为 ?1,10? . 分

8 ,?4 x

4 5

?????????????6

8 ? y ? ? k ( x ? p) ? 8 8 p ? (2)(理科) P ( p, ) ,设 AB : y ? ? k ( x ? p ) 由 ? 得 p p 8 ?y ? ? x ?

kpx2 ? (8 ? kp2 ) x ? 8 p ? 0 , ? ? (8 ? kp2 )2 ? 32kp2 ? (kp2 ? 8)2 ? 0 ,


????8

? kp 2 ? 8 ? 0,? k ? ?
分 得 A(0,

8 8 8 ,得直线 AB 方程为 y ? ? ? 2 ( x ? p) , 2 p p p

???10

16 )、B(2 p, 0) ,故点 P 为 AB 线段的中点, p
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16 p2 ? 8 由 2p ? ? 2? ? 0 即 p2 ? 8 ? 0 p p
12 分

????????????

得 p ? 2 2 时, OA ? OB ,所以,当 2 2 ? p ? 10 时,经点 A 至 P 路程最近. ??14 分 (文科)由(1)知 P (2, 4) ,设直线 AB 方程为 y ? 4 ? k ( x ? 2) , 由

? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? 8 ? y? ? x ?



k x2 ? 2(2 ? k ) x ? 8 ? 0 , ? ? 4(2 ? k )2 ? 32k ? 4(k ? 2)2 ? 0 ?8 分
? k ? 2 ? 0 ,? k ? ?2 ,所以直线 AB 方程为 y ? ?2 x ? 8 ,
分 得 A(0,8) 、B(4, 0) , 分 所 以 AB ? 6 4? 1 ? 6 米. ???14 分 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) (3)小题满分各 6 分. ????????????????????12 ?????? 10

4 ?5

. 答 : 公 路 AB 的 长 度 为 8.944 千 8 .千 9米 44

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 [解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b 2 2 ?a ? b ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? ??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ? 分

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1 ? k ? k2 k2 3k k 2 ?1

???????????6

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?


,又 S△PAB

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 8 ? 4 3 ,? ? 2 k2 k 2 ?1
?????????10 分

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .
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(3)(理科)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 分 直线 QD : y ? y1 ? 分
2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) , 又 ? ? 1, ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) ,y2 ? mn ? 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 12 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 ?14 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) x y ?x y 4 4 ? mn ? ? ? 3 .?????????16 分 2 x ?x x2 ? x12
2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

? y ? kx ? 1, ? 2 2 (文科) 设直线 l : y ? kx ? 1 ,由 ? x 2 y 2 消去 y 得 ? 4k ? 3? x ? 8kx ? 8 ? 0 , ? 1, ? ? ?4 3

M ? 0, ?1? 在 椭 圆 内 部 , ? l 与 椭 圆 恒 有 两 个 交 点 , 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? , 则
8k ? x1 ? x2 ? 2 , ? 1 2 1 4 1 1 x1 x2 x1 y2 ? x2 y1 ? 4k ? 3 ,由 , , 成等差数列得 ? ? ? ? ? ? k1 k k2 k k1 k2 y1 y2 y1 y2 ? x x ? ?8 . 1 2 2 ? 4k ? 3 ?

?
?

x1 (kx2 ? 1) ? x2 (kx1 ? 1) 2kx x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 1 2 (kx2 ? 1)(kx1 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
?16k ? 8k 24k ? , 2 2 ?8k ? 8k ? 4k ? 3 12k 2 ? 3
2

???????12 分 ?????????14 分 ?????????16 分

即k ? ?

2 2 ,? 直线 l 的方程为 y ? ? x ?1. 2 2

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. [解](1)? ?an ? 为“6 关联数列”,? ?an ? 前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数 列

?a6 ? a1 ? 5, a5 ? a1 ? 4, 且


a6 ?2, a5



a1 ? 5 ? 2 ,解得 a1 ? ?3 a1 ? 4

?????2

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第 15 页共 18 页

?n ? 4, n ? 5 ?n ? 4, n ? 6 ?n ? 4, n ? 4 (或 an ? ? n ?5 ). ????????4 分 ? an ? ? n?5 ? ? n ?5 ? 2 ,n ? 5 ? 2 ,n ? 6 ? 2 ,n ? 7
?1 2 7 ?1 2 7 ?1 2 7 ? n ? n, n ? 4 ? n ? n, n ? 5 ? n ? n, n ? 6 (2) 由 (1) 得 Sn ? ? 2 (或 Sn ? ? 2 ) ? ?2 2 2 2 n?4 n?4 n?4 ? ? ? ? 2 ? 7, n ? 5 ? 2 ? 7, n ? 6 ? 2 ? 7, n ? 7
?????????????? 6 分

?an? : ?3, ?2, ?1,0,1,2,22 ,23,24 ,25 ,?, ?Sn? : ?3, ?5, ?6, ?6, ?5, ?3,1,9,25,? ?an Sn ? : 9,10,6,0, ?5, ?6,4,72,400,?,可见数列 ?an Sn ? 的最小项为 a6 S6 ? ?6 ,
证明: an Sn ? ? 2

?1 ? n(n ? 4)(n ? 7), n ? 5 ? ? 2
n ?5



(2

n?4

? 7), n ? 6

列举法知当 n ? 5 时,(an Sn )min ? a5 S5 ? ?5 ; ???????????????8 分 当 n ? 6 时, an Sn ? 2 ? (2n?5 )2 ? 7 ? 2n?5 (n ? 6) ,设 2
n ?5

? t ,则 t ? ?2, 2 2, ?, 2 m, ?? ,
?????????10

7 49 an Sn ? 2t 2 ? 7t ? 2(t ? ) 2 ? ? 2 ? 22 ? 7 ? 2 ? ?6 . 4 8


(3)(理科)? {an } 为“ r 关联数列”,且 a1 ? ?10, d ? 1, q ? 2

?ar ?1 ? a1 ? (r ? 2)d ? r ?12, ar ? r ?11,?

ar ? 2 ? r ? 13 ar ?1

? ? 1 2 21 ?n ? 11, n ? 12 ? n ? n, n ? 12 ? an ? ? n?12 , Sn ? ? 2 2 n ?11 ? 2 , n ? 13 ? ? 2 ? 56, n ? 13 ?
分 ①当 k ? m ? 12 时,由

???????????12

1 2 21 1 21 k ? k ? m 2 ? m 得 (k ? m)(k ? m) ? 21(k ? m) 2 2 2 2

?m ? 12 ?m ? 11 k ? m ? 21, k , m ? 12, m ? k ,? ? 或? . ? k ? 9 ? k ? 10
高三年级质量调研考试理科数学试卷 第 16 页共 18 页

k ?11 ? 56 ? 2m?11 ? 56得 m ? k ,不存在 ②当 m ? k ? 12 时,由 2

???????14

分 ③当 k ? 12, m ? 12 时,由

1 2 21 k ? k ? 2m ?11 ? 56 , 2m?10 ? k 2 ? 21k ? 112 2 2

当 k ? 1 时, 2m?10 ? 92, m ? N * ;当 k ? 2 时, 2m?10 ? 74, m ? N * ; 当 k ? 3 时, 2m?10 ? 58, m ? N * ;当 k ? 4 时, 2m?10 ? 44, m ? N * ; 当 k ? 5 时, 2m?10 ? 25 , m ? 15 ? N * ;当 k ? 6 时, 2m?10 ? 22, m ? N * ; 当 k ? 7 时, 2m?10 ? 14, m ? N * ;当 k ? 8 时, 2m?10 ? 23 , m ? 13 ? N * ; 当 k ? 9 时, 2m?10 ? 22 , m ? 12 舍去;当 k ? 10 时, 2m?10 ? 2, m ? 11舍去 当 k ? 11 时, 2m?10 ? 2, m ? 11 舍去;当 k ? 12 时, 2m?10 ? 2 2 , m ? 12舍去???16 分 综上所述,? 存在 ?

?m ? 15 ?m ? 13 ?m ? 12 ?m ? 11 或? 或? 或? . ???????18 分 ? k ? 5 ? k ? 8 ? k ? 9 ? k ? 10

(文科)由( 1 )可知,当 n ? 6 时, an ? 2n?5 ,因为: an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)d n ,

2n?4 ? 2n?5 ? (n ? 1)dn 故: d n ?

2 n ?5 . n ?1

???????????13 分

假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,则:

? dk ?


2

? 2 k ?5 ? 2 m ?5 2 p ?5 22 k ?10 2m ? p ?10 ? ? ? , ( *) ?15 ? d m d p ,即: ? ? m ? 1 p ? 1 ? k ? 1?2 ? m ? 1? ? ? p ? 1? ? k ?1 ?
2

2

因为 m, k , p 成等差数列, 所以 m ? p ? 2k , (*) 式可以化简为 (k ? 1) ? (m ? 1)( p ? 1) , 即: k 2 ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾. 所以在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.?18 分 (或:因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列,而又要求成等比数列,则
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必为非零常数列,而 d n ?

2 n ?5 显然不是非零的常数,所以不存在.) n ?1

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