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第2章 第9节 函数模型及其应用


2009~2013 年高考真题备选题库 第 2 章 函数、导数及其应用 第 9 节 函数模型及其应用
考点一

函数模型的实际应用

1. (2013 陕西,5 分)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一 个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________(m).

解析:本题主要考查构建函数模型,利用基本不等式求解应用问 DE x AD 题的能力. 如图, 过 A 作 AH⊥BC 于 H, 交 DE 于 F, 易知 = = BC 40 AB = 40?2 AF ?AF=x?FH=40-x.则 S=x(40-x)≤? 当且仅当 40-x=x, ?2? , AH

即 x=20 时取等号.所以满足题意的边长 x 为 20(m). 答案:20 2. (2013 重庆,12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水 池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的 建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解:本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识,考 查转化思想及分类讨论思想. (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所 以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 由 h>0,且 r>0 可得 0<r<5 3,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π π (2)由(1)知 V(r)= (300r-4r3),故 V′(r)= (300-12r2).令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2 5 5 =-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数;

当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8,即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体 积最大. 3. (2012 江西,5 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金 不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 )

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 C.20,30 ) B.30,20 D.0,50

解析:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为 z =(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y. x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, 线性约束条件为? x≥0, ? ?y≥0, x+y≤50, ? ?4x+3y≤180, 即? x≥0, ? ?y≥0.

画出可行域,如图所示. 作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 B 时,z 取得最大值,由
? ?x+y=50, ? 求得 B(30,20),故选 B. ?4x+3y=180, ?

答案:B 4. (2011 陕西,5 分)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(米). 解析:当放在最左侧坑时,路程和为 2×(0+10+20+…+190);当放在左侧第 2 个坑 时,路程和为 2×(10+0+10+20+…+180)(减少了 360 米);当放在左侧第 3 个坑时,路 程和为 2×(20+10+0+10+20+…+170)(减少了 680 米);依次进行,显然当放在中间的 第 10、11 个坑时,路程和最小,为 2×(90+80+…+0+10+20+…+100)=2000 米. 答案:2000 5. (2009· 浙江, 4 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该 地区的电网销售电价表如下:

高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价(单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价(单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答). 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).故该家庭本月用电量为 a+ b=148.4(元). 6. (2012 湖南,13 分)某企业接到生产 3 000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单, 每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种 部件,生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 解:(1)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1(x),T2(x), T3(x),由题设有 2×3 000 1 000 2 000 1 500 T1(x)= = ,T2(x)= ,T3(x)= , 6x x kx 200-?1+k?x 其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数. (2)完成订单任务的时间为 f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|0<x< 2 ∈N*},易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到 T2(x)= T1(x),于是 k ①当 k=2 时,T1(x)=T2(x),此时 f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{ 1 000 1 500 , }. x 200-3x 200 ,x 1+ k

1 000 1 500 400 由函数 T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时 f(x)取得最小值,解得 x= . x 9 200-3x 400 250 由于 44< <45,而 f(44)=T1(44)= , 9 11 300 f(45)=T3(45)= ,f(44)<f(45). 13 250 故当 x=44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f(44)= . 11 1 500 1 500 ②当 k>2 时, T1(x)>T2(x), 由于 k 为正整数, 故 k≥3, 此时 ≥ 200-?1+k?x 200-?1+3?x 375 = . 50-x 375 记 T(x)= ,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知 T(x)是增函数,则 50-x f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x), 1 000 375 T(x)}=φ(x)=max{ , }. x 50-x 1 000 375 400 由函数 T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时 φ(x)取最小值,解得 x= . x 11 50-x 400 250 250 由于 36< <37,而 φ(36)=T1(36)= > , 11 9 11 375 250 250 φ(37)=T(37)= > .此时完成订单任务的最短时间大于 . 13 11 11 (3)当 k<2 时,T1(x)<T2(x),由于 k 为正整数,故 k=1,此时 f(x)=max{T2(x),T3(x)} 2 000 750 =max{ , }. x 100-x 2 000 750 800 由函数 T2(x),T3(x)的单调性知,当 = 时 f(x)取最小值,解得 x= ,类似 x 11 100-x 250 250 (1)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 . 9 11 综上所述,当 k=2 时,完成订单任务的时间最短,此时,生产 A,B,C 三种部件的人 数分别为 44,88,68. 7.(2011 山东,12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容 80π 器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为 立方米, 且 l≥2r. 3 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解:(1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 V- πr3 3 80 4 4 20 故 l= = 2- r= ( 2 -r). πr2 3r 3 3 r 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 160π 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ( 2 -r)×3+4πr2c, 因此 y=4π(c-2)r2+ , 3 r r 0<r≤2. (2)由(1)得 160π 8π?c-2? 3 20 y′=8π(c-2)r- 2 = (r - ),0<r<2. r r2 c-2 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 令 3 20 =m,则 m>0. c-2

8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2

考点二

函数与其他知识的交汇

1. (2013 湖南,5 分)设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 c>a>0,c>b>0.

(1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b, c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为________; (2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结 论的序号) ①?x∈(-∞,1),f(x)>0; ②?x∈R,使 ax,bx,cx 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2),使 f(x)=0. 解析:本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理 及推理论证能力. a?x 1 (1)由题设 f(x)=0,a=b?2ax=cx?? ?c? =2, a 1 a?x ?1?x 1 1?x 又 a+b≤c,a=b? ≤ ?? ≤ ,x>0,所以 ≤? ?0<x≤1. c 2 ?c? ?2? 2 ?2? a?x a ?b?x b ?a?x a b a b (2)由题设 a+b>c? + >1,又 0< <1,0< <1,?x∈(-∞,1)?? ?c? >c,?c? >c??c? c c c c b?x +? ? c? >1,即 f(x)>0,所以①正确;由(1)可知②正确; a b 由△ABC 为钝角三角形, 所以 a2+b2<c2, 所以 f(2)<0.又 a+b>c, 所以 + >1, 所以 f(1)>0, c c 由零点存在性定理可知③正确. 答案:{x|0<x≤1} ①②③ 2. (2013 安徽,12 分)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 解:本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等,意在考查考生恒等变形 能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力. a (1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0,x2= , 1+a2 故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}. a a 因此区间 I=?0,1+a2?,I 的长度为 . ? ? 1+a2 (2)设 d(a)= 1-a2 a ,则 d ′ ( a ) = .令 d′(a)=0,得 a=1.由于 0<k<1,故 1+a2 ?1+a2?2

当 1-k≤a<1 时,d′(a)>0,d(a)单调递增; 当 1<a≤1+k 时,d′(a)<0,d(a)单调递减. 所以当 1-k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得.

1-k 2 d?1-k? 1+?1-k? 2-k2-k3 而 = = <1, d?1+k? 1+k 2-k2+k3 2 1+?1+k? 故 d(1-k)<d(1+k). 1-k 因此当 a=1-k 时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值 . 2-2k+k2 3. (2012 江西,14 分)若函数 h(x)满足 ①h(0)=1,h(1)=0; ②对任意 a∈[0,1],有 h(h(a))=a; ③在(0,1)上单调递减. 1-xp 1 则称 h(x)为补函数,已知函数 h(x)=( ) (λ>-1,p>0). 1+λxp p (1)判断函数 h(x)是否为补函数,并证明你的结论; 1 (2)若存在 m∈[0,1],使 h(m)=m,称 m 是函数 h(x)的中介元.记 p= (n∈N+)时 h(x)的 n
n 1 中介元为 xn,且 Sn= ?xi,若对任意的 n∈N+,都有 Sn< ,求 λ 的取值范围; 2 i=1

(3)当 λ=0, x∈(0,1)时, 函数 y=h(x)的图像总在直线 y=1-x 的上方, 求 p 的取值范围. 解:(1)函数 h(x)是补函数,证明如下: 1-0 1 1-1 1 ①h(0)=( ) =1,h(1)=( ) =0; p 1+0 1+λ p ②对任意 a∈[0,1],有 1-ap 1- 1+λap 1 ?1+λ?ap 1 1-a 1 h(h(a))=h(( ) ) = ( ) =( ) =a; 1+λap p 1-ap p 1+λ p 1+λ 1+λap
p

③令 g(x)=(h(x))p, -pxp 1?1+λxp?-?1-xp?λpxp 有 g′(x)= ?1+λxp?2
- -1

-p?1+λ?xp 1 = . ?1+λxp?2


因为 λ>-1,p>0,所以当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,所以函数 g(x)在(0,1)上单调递减,故 函数 h(x)在(0,1)上单调递减. 1 (2)当 p= (n∈N+)时,由 h(x)=x, n 2 1 得:λx +2x -1=0 (*), n n

1 (ⅰ)当 λ=0 时,中介元 xn=( )n; 2 1 1 1 1 (ⅱ)当 λ>-1 且 λ≠0 时,由(*)得 x = ∈(0,1) 或 x = ?[0,1]; n n 1+λ+1 1- 1+λ 得中介元 xn=( 1 )n. 1+λ+1 1 )n.(n∈N+), 1+λ+1

综合(ⅰ)(ⅱ):对任意的 λ>-1,中介元为 xn=(
n

于是,当 λ>-1 时,有 Sn= ? (
i=1

1 1 1 1 )i= [1-( )n]< , 1+λ+1 1+λ 1+λ+1 1+λ

当 n 无限增大时,(

1 1 )n 无限接近于 0,Sn 无限接近于 , 1+λ+1 1+λ

1 1 1 故对任意的 n∈N+,Sn< 成立等价于 ≤ , 2 1+λ 2 即 λ∈[3,+∞). 1 11 (3)当 λ=0 时,h(x)=(1-xp) ,中介元为 xp=( ) , p 2p 1 11 1 (ⅰ)当 0<p≤1 时, ≥1,中介元为 xp=( ) ≤ , p 2p 2 所以点(xp,h(xp))不在直线 y=1-x 的上方,不符合条件; 1 (ⅱ)当 p>1 时,依题意只需(1-xp) >1-x 在 x∈(0,1)时恒成立, p 也即 xp+(1-x)p<1 在 x∈(0,1)时恒成立, 设 φ(x)=xp+(1-x)p,x∈[0,1],则 φ′(x)=p[xp 1-(1-x)p 1],
- -

1 1 由 φ′(x)=0 得 x= ,且当 x∈(0, )时,φ′(x)<0, 2 2 1 当 x∈( ,1)时,φ′(x)>0, 2 又因为 φ(0)=φ(1)=1,所以当 x∈(0,1)时,φ(x)<1 恒成立. 综上:p 的取值范围是(1,+∞). 1 4.(2011 广东,14 分)在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L:y= x2.实数 p,q 满足 4 p2-4q≥0,x1,x2 是方程 x2-px+q=0 的两根,记 φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}. 1 2 (1)过点 A(p0, p0 )(p0≠0)作 L 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一点 Q(p, 4 |p0| q),有 φ(p,q)= ; 2 (2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b>0,a≠0.过 M(a,b)作 L 的两条切线 l1,

1 l2,切点分别为 E(p1, p2 ), 4 1 1 E′(p2, p2 ),l1,l2 与 y 轴分别交于 F,F′.线段 EF 上异于两端点的点集记为 X.证明: 4 2 |p1| M(a,b)∈X ?? |p1|>|p2| ?? φ(a,b)= ; 2 1 5 (3)设 D={(x,y)|y≤x-1,y≥ (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时,求 φ(p,q)的最小值 4 4 (记为 φmin)和最大值(记为 φmax). 1 1 2 解:(1)证明:过点 A 的切线方程是 y= p0x- p0 , 2 4 1 所以 B(0,- p2 ), 4 0 1 1 Q 在线段 AB 上,所以 q= p0p- p2 (|p|≤|p0|), 2 4 0 1 1 所以现方程为 x2-px+ p0p- p2 = 0, 2 4 0 1 1 可得 x1= p0,x2=p- p0, 2 2 |p0| 因为 p0、p 同号,易得 φ(p,q)= . 2 1 1 1 (2)证明:y′= x,易得 l1:y- p2 = p (x-p1), 2 4 1 2 1 1 1 即 y= p1x- p2 , 2 4 1 1 1 ∵M(a,b)∈l1,∴b= p1a- p2 且 0<|a|<|p1|. 2 4 1 1 因为 E′(p2, p2 ), 4 2 1 2 1 1 p -? p a- p2? 4 2 2 1 4 1 1 所以 kME′= = p2, 2 p2-a 1 1 1 2 1 有 p2 2-( p1a- p1)= p2(p2-a), 4 2 4 2 1 1 1 2 1 则 p2 1- p1a= p2- p2a,即 p1+p2=2a, 4 2 4 2 由于 a 与 p1 同号,与 p2 异号,∴|p1|>|p2|. 反之,也成立.故 M(a,b)∈X ?? |p1|>|p2|, |p1| 由(1)证可知 M(a,b)∈X?φ(a,b)= , 2 |p1| 当 φ(a,b)= 时,逆推(1)证也可得 M(a,b)∈l1=X, 2

|p1| 综上,M(a,b)∈X ?? |p1|>|p2| ?? φ(a,b)= . 2 (3)由于点(p,q)必在曲线 f(x)=x2-px+q 上, 故此题即求当函数 f(x)=x2-px+q 经过 D 时,方程 f(x)=0 的根的最大值与最小值. 1 易求得 l:y= x2 在点(2,1)处的切线方程为 y=x-1, 4 由前证可知: 当点(p,q)∈{(x,y)|y=x-1}时恒有 φ(p,q)=1, 令 f(x)=0 可得 x2-px+q=0, p± p2-4q p+ p2-4q 则 x= ?φ(p,q)= , 2 2 ∵点(p,q)∈D, 1 5 ∴ (p+1)2- ≤q≤p-1?(p+1)2-5≤4q≤4p-4, 4 4 ∴(p-2)2≤p2-4q≤-2p+4, p+ ?-2p+4? ∴1≤φ(p,q)≤ , 2 1 5 而当 q= (p+1)2- 时 p2-4q=-2p+4, 4 4 p+ p2-4q p+ -2p+4 ∴φ(p,q)= = , 2 2 x+ -2x+4 设 g(x)= (0≤x≤2),令 t= -2x+4, 2 4-t2 x= (0≤t≤2), 2 1 1 1 5 故 g(t)=- t2+ t+1=- (t-1)2+ , 4 2 4 4 5 5 ∴1≤g(x)≤ ,即 1≤φ(p,q)≤ , 4 4 5 ∴φmin=1,φmax= . 4


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