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高考数学第一轮复习资料1


高考数学一轮复习资料(共十讲,69 页)
19、题目 高中数学复习专题讲座 不等式知识的综合应用 高考要求 不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工 具,与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题; 另一类是建 立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使

考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面 的问题 重难点归纳 1 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题,在解决这些问 题时,关键是把非不等式问题转化为不等式问题,在化归与转化中,要注意 等价性 2 对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内 在联系, 抽象出事物系统的主要特征与关系, 建立起能反映其本质属性的数 学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的知识求出题中的问题 典型题例示范讲解 例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀, 且表面积为 2 平方米的正四棱锥形 有盖容器(如右图)设容器高为 h 米,盖子边长为 a 米, (1)求 a 关于 h 的解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米,则当 h 为何值时,V 最 大?求出 V 的最大值(求解本题时,不计容器厚度) 命题意图 本题主要考查建立函数关系式, 棱锥表面 积和体积的计算及用均值定论求函数的最值 知识依托 本题求得体积 V 的关系式后,应用均值定理可求得最值 错解分析 在求得 a 的函数关系式时易漏 h>0 技巧与方法 本题在求最值时应用均值定理 解 ①设 h′是正四棱锥的斜高,由题设可得
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1 ? 2 ?a ? 4 ? 2 h ?a ? 2 ? ? ?a 2 ? 1 a 2 ? h12 ? 4 ?

消去 h ?.解得 : a ?

1 h2 ?1

( a ? 0)

1 h ②由 V ? a 2 h ? (h>0) 2 3 3( h ? 1)

1

1 3(h ? ) h 1 1 所以 V≤ ,当且仅当 h= 即 h=1 时取等号 6 h 1 故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为 立方米 6 2 例 2 已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)=ax +bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x ≤1 时|f(x)|≤1 (1)证明 |c|≤1; (2)证明 当-1 ≤x≤1 时,|g(x)|≤2; (3)设 a>0,有-1≤x≤1 时, g(x)的最大值为 2,求 f(x) 命题意图 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质, 以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力 知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不 等式的性质灵活运用是本题的灵魂 错解分析 本题综合性较强, 其解答的关键是对函数 f(x)的单调性的深 刻理解,以及对条件“-1≤x≤1 时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质 使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局 技巧与方法 本题(2)问有三种证法,证法一利用 g(x)的单调性;证法 二利用绝对值不等式 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|; 而证法三则是整体处理 g(x) 与 f(x)的关系 (1)证明 由条件当=1≤x≤1 时,|f(x)|≤1, 取 x=0 得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1 (2)证法一 依题设|f(0)|≤1 而 f(0)=c, 所以|c|≤1 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, 于是 g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1) ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2, 因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1); 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, 于是 g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1), ∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2 综合以上结果,当-1≤x≤1 时,都有|g(x)|≤2 证法二 ∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1) ∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
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得 V?

1

而h ?

1 1 ? 2 h? ? 2 h h

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2

∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1, 因此,根据绝对值不等式性质得 |a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2, |a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2, ∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2, 函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线, 因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点 x=-1 或 x=1 处取得, 于是由|g(±1)|≤2 得|g(x)|≤2,(-1<x<1 )
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( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 x ?1 2 x ?1 2 ?( ) ?( ) , 4 2 2 x ?1 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 ? g ( x ) ? ax ? b ? a[( ) ?( ) ] ? b( ? ) 2 2 2 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 ? [a ( ) ? b( ) ? c ] ? [a ( ) ? b( ) ? c] 2 2 2 2 x ?1 x ?1 ? f( )? f ( ) 2 2 证法三 :? x ?

x ?1 x ?1 ≤1,-1≤ ≤0, 2 2 x ?1 x ?1 ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f ( )|≤1; ) |≤1,|f( 2 2 x ?1 x ?1 因此当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤|f ( )|≤2 ) |+|f( 2 2
当-1≤x≤1 时,有 0≤
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(3)解 因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2, 即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2 ① ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0), 根据二次函数的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴,
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由此得-

b <0 ,即 b=0 2a

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由①得 a=2,所以 f(x)=2x2-1 例 3 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1、x2
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满足 0<x1<x2<

1 a

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(1)当 x∈[0,x1 ) 时,证明 x<f(x)<x1; (2)设函数 f(x)的图像关于直线 x=x0 对称,证明
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x0<

x1 2

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解 (1)令 F(x)=f(x)-x, 因为 x1,2 是方程 f(x)-x=0 的根, x 所以 F(x)=a(x -x1)(x-x2) 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,
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3

又 a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即 x<f(x) x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)] ∵0<x<x1<x2<

1 ,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0 a
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∴x1-f(x)>0,由此得 f(x)<x1 (2)依题意
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x0=-

b ,因为 x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,即 x1,x2 2a
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是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的根 ∴x1+x2=-

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b ?1 a b a( x1 ? x2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 ∴x0=- ,因为 ax2<1, ? ? 2a 2a 2a ax x ∴x0< 1 ? 1 2a 2
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学生巩固练习 1 定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞) 的图像与 f(x)的图像重合,设 a>b>0,给出下列不等式,其中正确不等式 的序号是( ) ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A ①③ B ②④ C ①④ D ②③ 4 2 下列四个命题中 ①a+b≥2 ab ②sin2x+ ≥4 ③设 x,y sin2 x 1 9 都是正数, 若 ? =1, x+y 的最小值是 12 ④若|x-2|<ε , 则 |y-2|<ε , x y
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则|x-y|<2ε ,其中所有真命题的序号是__________ 3 某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成反 比,而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公 里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项 费用之和最小,仓库应建在离车站__________公里处 4 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两 实数根为 x1,x2 (1)如果 x1<2<x2<4,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证 x0>-1; (2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求 b 的取值范围 5 某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件,假若定价上涨 x 成
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(这里 x 成即 原来的 z 倍
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x ,0<x≤10 ) 10

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每月卖出数量将减少 y 成,而售货金额变成

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4

(1)设 y=ax,其中 a 是满足 大时的 x 的值; (2)若 y=
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1 ≤a<1 的常数,用 a 来表示当售货金额最 3

2 x,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围 3
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6 设函数 f(x)定义在 R 上,对任意 m、n 恒有 f(m+n)=f(m)?f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1 (1)求证 f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证 f(x)在 R 上单调递减; (3)设集合 A={ (x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-g+2)=1, a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围
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7

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已知函数 f(x)=

2 x 2 ? bx ? c (b<0)的值域是[1,3] , x2 ?1

(1)求 b、c 的值; (2)判断函数 F(x)=lgf(x),当 x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结 论; (3)若 t∈R,求证
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lg

7 1 1 13 ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 5 6 6 5

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参考答案 1 解析 由题意 f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0,且 f(a)>f(b),g(a)>g(b) ∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b) 而 g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)] =2g(b)>0,∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 同理可证 f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 答案 A 2 解析 ①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等” ④式 |x-y|=|(x-2)-(y-2)|≤|(x-2)-(y-2)|≤|x-2|+|y-2|<ε +ε =2ε 答案 ④
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3

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解析

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由已知 y1=

20 ;y2=0 x
8x+

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8x(x 为仓库与车站距离)

费用之和 y=y1+y2=0 当且仅当 0
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20 20 ≥2 0.8 x ? =8 x x

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8x=

20 即 x=5 时“=”成立 x
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答案 5 公里处 4 证明 (1)设 g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,且 x>0
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5

∵x1<2<x2<4,∴(x1-2)(x2-2)<0,即 x1x2<2(x1+x2)-4,

于是得x0 ? ?

b 1 b ?1 1 1 1 1 ? ? (? ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2a 2 a a 2 2 2 1 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? (2 ? 4) ? 2 ? ?1 2 2
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(2)解

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由方程 g(x)=ax2+(b-1)x+1=0 可知 x1?x2=

1 >0,所以 x1,x2 同号? a


1°若 0<x1<2,则 x2-x1=2,∴x2=x1+2>2, ∴g(2)<0,即 4a+2b-1<0 又(x2-x1)2=

(b ? 1) 2 4 ? ?4 a a2

∴2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 (∵a>0)代入①式得, 2 (b ? 1) 2 ? 1 <3-2b 解②得 b< ②

1 4


2°若 -2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2 ∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0 又 2a+1= (b ? 1) 2 ? 1 ,代入③式得 2 (b ? 1) 2 ? 1 <2b-1 解④得 b>



7 4

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综上,当 0<x1<2 时,b< 5
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1 7 ,当-2<x1<0 时,b> 4 4

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(1)由题意知某商品定价上涨 x 成时, 上涨后的定价、 每月卖出数量、
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x y )元、n(1- )元、npz 元, 10 10 x y 1 因而 npz ? p(1 ? ) ? n(1 ? ),? z ? (10 ? x)(10 ? y) , 10 10 100 25(1 ? a ) 2 1 5(1 ? a) 2 在 y=ax 的条件下,z= [-a[x- ] +100+ ] a 100 a 1 5(1 ? a) 由于 ≤a<1,则 0< ≤10 3 a
每月售货金额分别是
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p(1+

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要使售货金额最大,即使 z 值最大,此时 x= (2)由 z=
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5(1 ? a) a
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2 1 (10+x)(10- x)>1,解得 0<x<5 3 100
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6 (1)证明 令 m>0,n=0 得 f(m)=f(m)?f(0) ∵f(m)≠0,∴f(0)=1 取 m=m,n=-m,(m<0),得 f(0)=f(m)f(-m) 1 ∴f(m)= ,∵m<0,∴-m>0,∴0<f(-m)<1,∴f(m)>1 f (?m)
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(2)证明 任取 x1,x2∈R,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1] =f(x1)-f(x2-x1)?f(x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)] , ∵f(x1)>0,1-f(x2-x1)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在 R 上为单调减函数
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? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) ?x 2 ? y 2 ? 1 (3)由 ? , 得? ? f (ax ? y ? 2) ? 1 ? f (?) ?ax ? y ? 2 ? 0
由题意此不等式组无解,数形结合得
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|2| a ?1
2

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≥1,解得 a2≤3

∴a∈[- 3 , 3 ]

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(1)解

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设 y=

2 x 2 ? bx ? c ,则(y-2)x2-bx+y-c=0 2 x ?1



∵x∈R,∴①的判别式Δ ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0, 即 4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0 ② 由条件知,不等式②的解集是[1,3] ∴1,3 是方程 4y2-4(2+c)y+8c+b2=0 的两根

?1 ? 3 ? 2 ? c ? ? 8c ? b 2 ∴c=2,b=-2,b=2(舍) ?1 ? 3 ? 4 ?
(2)任取 x1,x2∈[-1,1] ,且 x2>x1,则 x2-x1>0,且 (x2-x1)(1-x1x2)>0, ∴f(x2)-f(x1)=-

2 x2 1 ? x2
2

? (?

2x 1 ? x1
2

)?

2( x2 ? x1 )(1 ? x1 x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

>0,

∴f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即 F(x2)>F(x1) ∴F(x)为增函数
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1 1 1 1 1 (3)记u ?| t ? | ? | t ? |,| u |?| (t ? ) ? (t ? ) |? , 6 6 6 6 3 1 1 即- ≤u≤ ,根据 F(x)的单调性知 3 3 1 1 F(- )≤F(u)≤F( ), 3 3 7 1 1 13 ∴lg ≤F(|t- |-|t+ |)≤lg 对任意实数 t 成立 5 6 6 5
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数学中的不等式关系 数学是研究空间形式和数量关系的科学,恩格斯在《自然辩证法》一书 中指出, 数学是辩证的辅助工具和表现形式, 数学中蕴含着极为丰富的辩证 唯物主义因素,等与不等关系正是该点的生动体现,它们是对立统一的,又 是相互联系、相互影响的;等与不等关系是中学数学中最基本的关系 等的关系体现了数学的对称美和统一美, 不等关系则如同仙苑奇葩呈现 出了数学的奇异美 不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系, 简单不等式, 不等式的基本性质, 如果把简单不等式中的实数抽象为用各种 数学符号集成的数学式,不等式发展为一个人丁兴旺的大家族,由简到繁, 形式各异 如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重 要不等式、均值不等式等 不等式是永恒的吗?显然不是,由此又产生了 解不等式与证明不等式两个极为重要的问题 解不等式即寻求不等式成立 时变量应满足的范围或条件, 不同类型的不等式又有不同的解法; 不等式证 明则是推理性问题或探索性问题 推理性即在特定条件下,阐述论证过程, 揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法;探索性问题大多是与 自然数 n 有关的证明问题, 常采用观察—归纳—猜想—证明的思路, 以数学 归纳法完成证明 另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、 构造法等 数学科学是一个不可分割的有机整体, 它的生命力正是在于各个部分之 间的联系 不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万 缕的联系, 因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题, 诸如集 合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三 角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不 等式有着密切的联系 许多问题最终归结为不等式的求解或证明;不等式 还可以解决现实世界中反映出来的数学问题 不等式中常见的基本思想方 法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程 总之,不等式的应用 体现了一定的综合性,灵活多样性 等与不等形影不离,存在着概念上的亲缘关系,是中学数学中最广泛、最普 遍的关系 数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨
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性,而不等关系是深刻而生动的体现 不等虽没有等的温柔,没有等的和 谐,没有等的恰到好处,没有等的天衣无缝,但它如山之挺拔,峰之隽秀, 海之宽阔,天之高远,怎能不让人心旷神怡,魂牵梦绕呢?
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20、题目 高中数学复习专题讲座 直线方程及其应用 高考要求 直线是最简单的几何图形, 是解析几何最基础的部分, 本章的基本概念; 基本公式;直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解 析几何重要的基础内容 应达到熟练掌握、灵活运用的程度,线性规划是 直线方程一个方面的应用, 属教材新增内容, 高考中单纯的直线方程问题不 难,但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 重难点归纳 1 对直线方程中的基本概念, 要重点掌握好直线方程的特征值(主要指 斜率、截距)等问题;直线平行和垂直的条件;与距离有关的问题等 2 对称问题是直线方程的一个重要应用,中学里面所涉及到的对称一 般都可转化为点关于点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂 直的条件是解决对称问题的重要工具 3 线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域, 实际上是 二元一次不等式(组)表示的平面区域 求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或 最小值时,设 t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时,t 值随之增大(或减小), 要会在可行域中确定最优解 4 由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式、 复数等代数问题往往借助直线方程进行,考查学生的综合能力及创新能力 典型题例示范讲解 例 1 某校一年级为配合素质教育, 利用一间教室作为学生绘画成果展览 室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展 出,已知镜框对桌面的倾斜角为α (90°≤α <180°)镜框中,画的上、下 边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a>b) 问学生距离镜框下缘多远看画 的效果最佳? 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了直线的有 关概念以及对三角知识的综合运用, 而且更重要的是考查了把实际问题转化 为数学问题的能力 知识依托 三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问 题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值 如果坐标系选择不当, 或选择求 sinACB 的最大值 都将使问题变得复杂
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起来 y 技巧与方法 欲使看画的效果最佳, 应使∠ACB 取最 A 大值,欲求角的最值,又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB B 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找 ? 一点 C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取得 o 最大值 由三角函数的定义知 A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为
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C

x

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kAC=tanxCA= 于是

a sin? b sin? , k BC ? tan xCB ? . a cos? ? x b cos? ? x
k BC ? k AC (a ? b) ? x sin? (a ? b) ? sin? ? ? 1 ? k BC ? k AC ab ? (a ? b) x cos? ? x 2 ab ? x ? (a ? b) ? cos? x
( a ? b) ? sin? 2 ab ? ( a ? b) cos ?
,

tanACB=

由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤

当且仅当

ab =x,即 x= ab 时,等号成立, x

此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0), 因此,学生距离镜框下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳
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例 2 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌 椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1 5 倍, 问桌、椅各买多少才行? 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程 的一个应用,本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域, 再利用图形直观求得满足题设的最优解 知识依托 约束条件,目标函数,可行域,最优解 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐 含条件,若从图形直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整, 直至满足题设 技巧与方法 先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数之和, 再由此在可行域内求出最优解 解 设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件
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10

?50 x ? 20 y ? 2000 200 ? ?y ? x ?x ? 7 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? ? 为? 由? , 解得? ?y ? x ? y ? 1 .5 x ? y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0 7 ? ?
∴A 点的坐标为(

200 200 , ) 7 7
y
y=1.5x B(25, 75 ) 2 y=x

? x ? 25 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? , 解得? 由? 75 y ? 1.5 x ? ?y ? 2 ?
∴B 点的坐标为(25,

75 ) 2

A o
50x+20y=2000

x

200 200 所以满足约束条件的可行域是以 A( , ), 7 7 75 B(25, ),O(0,0)为顶点的三角形区域(如右图) 2

由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,
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75 ), 2

但注意到 x∈N,y∈N*,故取 y=37 故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择 例 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平 行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线 y2=2px(p>0) 一光源在点
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M(

y y2=2px 的方向射向抛物线上的点 P, 折射后又射向抛物线 41 上的点 Q,再折射后,又沿平行于抛物线的轴的 P M( ,4) 4 方向射出, 途中遇到直线 l 2x-4y-17=0 上的点 N,再折射后又射回点 M(如下图所示) x o (1)设 P、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), Q N 证明 y1?y2=-p2; 2x-4y-17=0 (2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点 M 关于 PN 所在的直 线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由 命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物 理中的光学知识相结合的综合性题目,考查了学生理解问题、分析问题、解 决问题的能力 知识依托 韦达定理,点关于直线对称,直线关于直线对称,直线的
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41 ,4)处, 由其发出的光线沿平行于抛物线的轴 4

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点斜式方程,两点式方程 错解分析 在证明第(1)问题,注意讨论直线 PQ 的斜率不存在时 技巧与方法 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键 (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知
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光线 PQ 必过抛物线的焦点 F( 设直线 PQ 的方程为 y=k(x- 由①式得 x=

p ,0), 2


p ) 2

1 p 2p y+ ,将其代入抛物线方程 y2=2px 中, 整理, y2- 得 y k k 2
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-p2=0,由韦达定理,y1y2=-p2

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当直线 PQ 的斜率角为 90°时,将 x=
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p 代入抛物线方程,得 y=±p,同 2

样得到 y1?y2=-p2 (2)解 因为光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以直线 MN 与直
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线 QN 关于直线 l 对称,设点 M( 则

41 ,4)关于 l 的对称点为 M′(x′,y′), 4

? y? ? 4 1 ? ? ?1 ? 41 2 51 ? ? x? ? ?x? ? ? 4 解得 ? 4 ? ? y ? ? ?1 ? x ? ? 41 ? ? 4 ? 4 ? y ? ? 4 ? 17 ? 0 2? ? 2 2 ?
直线 QN 的方程为 y=-1,Q 点的纵坐标 y2=-1, 由题设 P 点的纵坐标 y1=4,且由(1)知 y1?y2=-p2,则 4?(-1)=-p2, 得 p=2,故所求抛物线方程为 y2=4x (3)解 将 y=4 代入 y2=4x,得 x=4,故 P 点坐标为(4,4)
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将 y=-1 代入直线 l 的方程为 2x-4y-17=0,得 x= 故 N 点坐标为(

13 , 2

13 ,-1) 2

由 P、N 两点坐标得直线 PN 的方程为 2x+y-12=0, 设 M 点关于直线 NP 的对称点 M1(x1,y1)

12

? y1 ? 4 ? ( ?2) ? ?1 ? 41 1 ? ? x1 ? ? ? x1 ? 4 则? 解得? 4 ? x ? 41 ? y1 ? ?1 ? 1 ? 4 ? y1 ? 4 ? 12 ? 0 2? ? 2 2 ?
又 M1( (

1 ,-1)的坐标是抛物线方程 y2=4x 的解,故抛物线上存在一点 4
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1 ,-1)与点 M 关于直线 PN 对称 4
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例 3 已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证 abc+2>a+b+c 证明 设线段的方程为 y=f(x)=(bc-1)x+2-b-c,其中|b|<1,|c|<1,|x|< 1,且-1<a<1 ∵f(-1)=1-bc+2-b-c=(1-bc)+(1-b)+(1-c)>0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 ∴线段 y=(bc-1)x+2-b-c(-1<x<1)在 x 轴上方, 这就是说,当|a|<1,|b|<1,|c|<1 时,恒有 abc+2>a+b+c 学生巩固练习
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设 M=
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10 2000 ? 1 10 2001 ? 1 , N ? 2002 ,则 M 与 N 的大小关系为( 10 2001 ? 1 20 ?1
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)

A M>N B M=N C M<N D 无法判断 2 三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( ) A 15 B 30 C 36 D 以上都不对 3 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距 离之差最大,则 P 点坐标是_________ 4 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切, 则光线 l 所在直线方程为_________
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函数 f(θ )=

sin? ? 1 的最大值为_________,最小值为_________ cos? ? 2

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6 设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立, x 的范 则 围为_________ 7 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点, 分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一直线上 (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 8 设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,?),a、b 是常数且 b
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13

≠0

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(1)证明 (2)证明
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{an}是等差数列 以(an,
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Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,?)都落在同一条直线上,并 n

写出此直线的方程 (3)设 a=1,b=

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1 ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、 2
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P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围 参考答案: 1 解析 将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,
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102001)连线的斜率大小,因为 B、C 两点的直线方程为 y= 线的下方,∴kAB>kAC,即 M>N 答案 A
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1 x,点 A 在直 10

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解析

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?0 ? x ? 11 ? 设三角形的另外两边长为 x,y,则 ?0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?

y C 11

B

点(x,y)应在如右图所示区域内 A 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11; o 11 x 当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11 以上共有 15 个,x,y 对调又有 15 个,再加上(6,6) ,(7,7) ,(8,8) ,(9, 9) ,(10,10) 、(11,11)六组,所以共有 36 个 答案 C 3 解析 找 A 关于 l 的对称点 A′, A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点
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答案 P(5,6) 4 解析 光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相 切 答案 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0
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解析
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f(θ )= 0

sin? ? 1 表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率 cos? ? 2

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答案
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6 解析 原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1- 2x,-2≤m≤2,则 f(-2)<0,且 f(2)<0
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7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2 7 (1)证明 设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,?点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2)
答案
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因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 别为(x1,log2x1) 2,log2x2) 、(x 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则
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log8 x1 log8 x2 ? ,又点 C、D 的坐标分 x1 x2

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kOC ?

log2 x1 3 log8 x1 log2 x2 3 log8 x2 ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2
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由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上 (2)解 由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13
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将其代入

log8 x1 log8 x2 ? ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2
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由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 )
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9 (1)证明 由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列 (2) 证 明 ∵ b ≠ 0, 对 于 n ≥ 2, 有
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(

Sn S na ? n(n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a (n ? 1)b 1 n 1 a ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2

Sn 1 -1)(n=1,2,?)都落在通过 P1(a,a-1)且以 为斜率的 2 n 1 直线上 此直线方程为 y-(a-1)= (x-a),即 x-2y+a-2=0 2 1 1 n?2 (3)解 当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, ),使 P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1) 2 2 2
∴所有的点 Pn(an,
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都落在圆 C 外的条件是

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?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1) 2 ? r 2 ?
由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r<

?( r ? 1 2 ? 0 ) ① ? 17 ? 即 ? r 2 ? 5r ? ? 0 ② 4 ? 2 ?r ? 8r ? 1 0 0 ③ ? ?

5 5 - 2 或 r> + 2 2 2

由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6

5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2 故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是 5 (0,1)∪(1, - 2 )∪(4+ 6 ,+∞) 2
再注意到 r>0,1<
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课前后备注

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21、题目 高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法 高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件 的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其 转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性 质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和 运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标 化,列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲 线、抛物线、圆等),可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方 程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化, 我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”
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与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解 y 例 1 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一 Q B 点,A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 R APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求 o P 曲线的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的 距离公式建立线段 AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求 Q 的轨迹方程, 应先求 R 的轨迹方 程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较 易于求得的点的轨迹方程, 再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关 点,求得轨迹方程 解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2 -|OR|2=36-(x2+y2)
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又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹 上运动
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设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
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整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设 A、 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时, B 注意对 1=x2” “x 的讨论 技巧与方法 将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消 y 掉这些量,从而就建立了关于 x、y 的关系 A 解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线 AB 的方程为 x=my+a
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17

o

N
M B

x

由 OM⊥AB,得 m=-

y x

由 y2=4px 及 x=my+a,消去 x,得 y2-4pmy-4pa=0 所以 y1y2=-4pa, x1x2=

( y1 y2 ) 2 ? a2 (4 p) 2

所以,由 OA⊥OB,得 x1x2 =-y1y2 所以 a2 ? 4 pa ? a ? 4 p 故 x=my+4p,用 m=-

y 代入,得 x2+y2-4px=0(x≠0) x
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故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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解法二

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设 OA 的方程为 y ? kx ,代入 y2=4px 得 A(

2p 2p , ) k2 k

1 x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk 2 , ?2 pk ) k k ( x ? 2 p) ,过定点 N (2 p, 0) , ∴AB 的方程为 y ? 1? k 2
则 OB 的方程为 y ? ?
由 OM⊥AB,得 M 在以 ON 为直径的圆上(O 点除外) 故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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解法三

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设 M(x,y) (x≠0),OA 的方程为 y ? kx ,

2p 2p , ) k2 k 1 则 OB 的方程为 y ? ? x ,代入 y2=4px 得 B(2 pk 2 , ?2 pk ) k
代入 y2=4px 得 A( 由 OM⊥AB,得 M 既在以 OA 为直径的圆 又在以 OB 为直径的圆 除外) , ① ?k +②得 x2+y2-4px=0(x≠0)
2
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x2 ? y 2 ?

2p 2p x? y ? 0 ??①上, 2 k k

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x2 ? y2 ? 2 pk 2 x ? 2 pky ? 0 ??②上(O 点

故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同 号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转 化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义,求两曲线的交点 错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺 利解答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆 心的轨迹方程 解 设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切 y 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 P |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5-r)=2 5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2 5 的椭圆上, A o 其方程为 B
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x

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 25 3

Q



同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x-

1 2 4 2 ) + y =1 2 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) , 14 14 14 14



由①、②可解得 P(

∴r=

3 9 12 3 ? ( )2 ? ( )2 ? 2 14 14 7

故所求圆柱的直径为

6 cm 7

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例 4 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线 y 解 建立坐标系如图所示, M(x,y) 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0) 设 M(x,y)是轨迹上任意一点 | MA | 则由题设,得 =λ ,坐标代入,得 | MB | o B(a,0) A(-a,0)
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x

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( x ? a) 2 ? y 2 ( x ? a) 2 ? y 2

=λ ,化简得

(1-λ 2)x2+(1-λ 2)y2+2a(1+λ 2)x+(1-λ 2)a2=0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹 是直线(y 轴)
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(2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x2+y2+

2a(1 ? ?2 ) x+a2=0 2 1? ?

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点M的

轨迹是以(-

a (1 ? ?2 ) 2 a? ,0)为圆心, 为半径的圆 2 1? ? | 1 ? ?2 |
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学生巩固练习 1 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线
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x y ? =1 的长轴两个端点, 1、 2 是垂直于 A1A2 P P 9 4 的弦的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )
2
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设 A1、 2 是椭圆 A

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 ? ?1 C D 9 4 a a 3 △ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- ,0),C( ,0),且满足条 2 2 1 件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________ 2 4 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上, 且相距 10 m, 如果把 两旗杆底部的坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端 仰角相等的点的轨迹方程是_________ E F 5 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6, O' D ⊙O′切直线 l 于点 A, 又过 B、 作⊙O′异于 l 的两切线, C A B 设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程
A
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x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 9 4

B

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C

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双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点, a 2 b2
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引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程

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已知双曲线

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点 m2 n2

y M A1 o A2

P

为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、 Q (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、 准线方程和离心率
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x

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Q

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已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上 a 2 b2
y P Q R

一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平分线为 l, 点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程;
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(2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l

F1
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o

F2

x

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y=k(x+ 2 a)与曲
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线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值 参考答案 1 解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 答案 A 2 解析 设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)
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∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3
2 2

∵A2、P2、P 共线,∴

x y 9 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 解得 x0= , y0 ? x x 9 4 9 4 答案 C
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由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2
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∴应为双曲线一支,且实轴长为

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21

答案

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16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a
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4

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设 P(x,y) ,依题意有

5 ( x ? 5) 2 ? y 2
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?

3 ( x ? 5) 2 ? y 2

,化简得 P

点轨迹方程为 4x2+4y2-85x+100=0 答案 4x2+4y2-85x+100=0 5 解 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于 点 P 由切线的性质知 |BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE| , 故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立
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坐标系,可求得动点 P 的轨迹方程为 6 解 设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y) ∵A1(-a,0),A2(a,0)
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x2 y2 ? =1(y≠0) 81 72

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y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y0 y ? ? y0 ? ? ? ?1 y ? ? x ? a x0 ? a ?
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2 即 b2(-x2)-a2(
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x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y
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化简得 Q 点的轨迹方程为 a2x2-b2y2=a4(x≠±a) 7 解 (1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-
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m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为

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y=

y1 ( x ? m) x1 ? m



A2Q 的方程为

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y=-

y1 ( x ? m) x1 ? m
2 2



①?②得

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y =-

2

y1
2

x1 ? m

( x 2 ? m2 )



22

又因点 P 在双曲线上,故

x1 y n2 2 2 ? 12 ? 1,即y1 ? 2 ( x1 ? m 2 ). 2 m n m
此即为 M 的轨迹方程
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2

2

代入③并整理得

x2 y2 ? 2 =1 m2 n

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(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆

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(ⅰ)当 m>n 时,焦点坐标为(± m2 ? n2 ,0),准线方程为 x=±

m2 m2 ? n2

,

离心率 e=

m2 ? n2 ; m

(ⅱ)当 m<n 时,焦点坐标为(0,± m2 ? n2 ),准线方程为 y=±

n2 n2 ? m2

,

离心率 e=
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n2 ? m2 n

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8 解 (1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一直线上,设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0) |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2
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x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 ? 0 2 ? 得 x1=2x0-c,y1=2y0 ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2 故 R 的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0)
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a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a2 2
(2)如右图,∵S△AOB=
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y C A

B

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此时弦心距|OC|=

| 2ak |
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o

x

1? k2
23

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3
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课前后备注

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22、题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点, 主要考查学生识图、 画图、 数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解 决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人 还常常将它与对称问题、 弦长问题、 最值问题等综合在一起命制难度较大的 题,解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定 量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆 的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方 程得到量的大小 典型题例示范讲解 C' 18m C 例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部 20m 分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、 A' 14m A A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端 点,B、B′是下底直径的两个端点,已知 AA′=14 m, CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出 22m B B' 该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基 础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程; 积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 y 解 如图, 建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上, AA′ C' C 的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于 x 轴
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A'

24

o

A

x

B'

B

设双曲线方程为

x2 y2 1 ? 2 =1(a>0,b>0),则 a= AA′=7 2 a b 2

又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上,所以有

112 y1 92 y ? 2 ? 1, 2 ? 22 ? 1 72 b 7 b
由题意,知 y2-y1=20,由以上三式得 故双曲线方程为
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2

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y1=-12,y2=8,b=7 2

x2 y2 ? =1 49 98 例 2 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上
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y

y= x A 2 1 2 且离心率为 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 y= x 过 2 2 线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 x o 1 B l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求 曲线方程的方法,设计新颖,基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题, 对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰 当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的等式 解法 二,用韦达定理
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解法一

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由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? ,从而 a2=2b2,c=b ,得 a 2 2 a2
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设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两 式 相 减 得 , (x12 - x22)+2(y12 -
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y22)=0,

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 1 1 ,又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0, 2 y0 2 2

25

于是-

x0 =-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1 2 y0

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右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),

? y? ? x? ? b ? 1 ? x? ? 1 ? 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y ? ? ? x? ? b ? 1 ?2 2 ?
由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为

9 2 9 ,a ? 16 8

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8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1 9 9
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解法二

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由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b a 2 2 a2

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设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的 方 程 代 入 C 的 方 程 , 得 (1+2k2)x2 - 4k2x+2k2 - 2b2=0, 则 x1+x2=

2k 4k 2 ,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

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直线 l

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y=

?k 1 2k 2 x ? x2 y1 ? y2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 , , 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2 2
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解得 k=0,或 k=-1 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1), 即 y=-x+1,以下同解法一
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例 3 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 ,P 为线段 4

P1

P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线

13 P 的双曲线方程 2 o 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方 P2 程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上, 点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关 键,正确地表示出
且过点 P 的离心率为
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26

△P1OP2 的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建 立关于参数 a、b 的两个方程,从而求出 a、b 的值 解 以 O 为原点, 1OP2 的角平分线为 x 轴建立如 ∠P 图的直角坐标系
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y

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P1

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P

设双曲线方程为

x2 y2 ? =1(a>0,b>0) a 2 b2

o
P2

x

由 e2=

c2 b 13 2 b 3 ? 1 ? ( )2 ? ( ) ,得 ? 2 a 2 a a 2

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∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0),则由点 P 分 P P2 所成的比λ 1 2 2

=

P1 P x2 4 y2 x ? 2 x2 x1 ? 2 x2 =2,得 P 点坐标为( 1 ),又点 P 在双曲线 2 ? 2 =1 , PP2 a 9a 3 2
( x1 ? 2 x 2 ) 2 ( x1 ? 2 x 2 ) 2 ? =1, 9a 2 9a 2


上,所以

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2

9 2 13 9 2 13 2 x1 ? x1 , | OP |? x 2 ? x 2 ? x2 4 2 4 2 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 1 ? tan P1Ox 1 ? 9 13 4 1 1 13 12 27 ? S ?P1OP2 ? | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 ? ? x1 x 2 ? ? , 2 2 4 13 4 又 | OP1 |? x1 ?
2

即 x1x2=

9 2
x2 y2 ? =1 4 9



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
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例 4 双曲线

x2 y2 ? =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b2
27

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________ 解析 设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F 2 2 2 |PF1| +|PF2| =2(|PO| +|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|?|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|?|PF2|=|F1F2|2=4c2
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17 , 3 5 17 又∵c2=4+b2< ,∴b2< ,∴b2=1 3 3
∴16+8c2<50+2c2,∴c2<
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答案 1 学生巩固练习 1 已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( ) A 3 B -3 C 1 D -1
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2

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中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0

截得的弦的中点的横坐标为

1 ,则椭圆方程为( 2

)

2x 2 2 y 2 2x 2 2 y 2 ? ?1 B. ? ?1 25 75 75 25 x2 y2 x2 y2 C. ? ?1 D. ? ?1 25 75 75 25 3 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P, 若过点 P 且以双曲线 12x2 -4y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ 4 已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长 A.
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为 4 3 ,则该圆的方程为_________
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5 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F, M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存
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4 10 ,试求椭圆的方程 3 6 某抛物线形拱桥跨度是 20 米, 拱高 4 米, 在建桥时 每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长 20 7 已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= ,椭圆 C2 的 3 C D A
在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
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E

F

B

28

方程为

2 x2 y2 ? 2 =1(a>b>0),C2 的离心率为 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、 2 2 a b
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B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程 参考答案: 1 解析 将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)
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则 y1y2=

12 ? m ,y1+y2=4 5

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又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3 答案 A
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解析

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由题意,可设椭圆方程为

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y2 x2 ? =1,且 a2=50+b2, a2 b2

即方程为

y2 x2 ? 2 =1 50 ? b 2 b

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将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75 答案 C 3 解析 所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可
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解 4
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答案 解析
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x y ? =1 5 4 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

2

2

?(4 ? a) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? ? 则有 ?(?1 ? a) 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?| a | ?(2 3 ) ? r ?
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?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或?b ? 4 ? 2 ? 2 ?r ? 13 ?r ? 27

由此可写所求圆的方程 答案 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 5 解 |MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,
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∴b2=4,设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 a2
29



设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得 (4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0),
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② ③

则 x0=

4m a 2m 1 (x1+x2)= ,y0=-x0+m= 2 4 ? a2 4?a 2

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代入 y=x,得

a 2m 4m ? , 2 4?a 4 ? a2
C'

y
D'

o

E' F'

x

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 又|M1M2|= 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4a , 4 ? a2
A C D E F B

2

4 10 , 3
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x2 y2 ? =1 5 4 6 解 以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,如图,由题意知, |AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 2 设抛物线方程为 x =-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p?(-4),解得 p=12 5, 于是抛物线方程为 x2=-25y 由题意知 E 点坐标为(2, -4), E′点横坐标也为 2, 2 代入得 y=-0 16, 将 从而|EE′|=(-0 16)-(-4)=3 84 故最长支柱长应为 3 84 米
代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为
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由 e=

2 x2 y2 ,可设椭圆方程为 2 ? 2 =1, 2 2b b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又

x1 y x y x ?x y ?y ? 12 ? 1, 2 2 ? 22 =1,两式相减,得 1 2 2 ? 1 2 2 =0, 2 2b b 2b b 2b b
2 2 2 2 2 2 2 2
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即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0 化简得

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y1 ? y 2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, x1 ? x 2
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代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0 又|AB|= 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

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有Δ =24b2-72>0,

20 , 3
30

y A o B x

得 2?

24b 2 ? 72 20 ,解得 b2=8 ? 9 3
x2 y2 ? =1 16 8
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故所求椭圆方程为 课前后备注
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23、题目 高中数学复习专题讲座 直线与圆锥曲线问题的处理方法(1) 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出 现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题 等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想 方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考 生“档次” ,有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究 它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题, 此时要注意用好 分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设 而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法” 设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化 同 时还应充分挖掘题目的隐含条件, 寻找量与量间的关系灵活转化, 往往就能 事半功倍 典型题例示范讲解 y 例 1 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标
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为(5,0),倾斜角为

?
4

N

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O

或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直 o B A x 线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积 M 命题意图 直线与圆锥曲线相交, 一个重要的问题就是 有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题 的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与 方程的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后,没有确定 m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件
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31

技巧与方法 涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦 长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算 解法一 由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0
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?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0 y ? 4x ?
∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1?x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m)
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点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m
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2

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)?(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128 3
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∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号

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故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 解法二 由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5
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由方程组 ?

?x ? y ? m ? y ? 4x
2

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0



∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立, 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4,y 1?y 2=-4m, ∴S△=

1 1 (5 ? m) | y1 ? y2 |? (5 ? m) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2
5 2 1 m) 2

=4 ( ?

5 1 5 1 (1 ? m) =4 ( ? m)( ? m)(1 ? m) 2 2 2 2

32

5 1 ? 5 1 ? ? ( 2 ? 2 m) ? ( 2 ? 2 m) ? (1 ? m) ? ?4 ? ? ?8 2 3 ? ? ? ?
∴S△≤8 2 ,当且仅当 ( ?

3

5 2

1 m) ? (1 ? m) 即 m=1 时取等号 2
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例 2 已知双曲线 C 2x2-y2=2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点, 两个交点,没有交点 (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在 y 命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问 2 P 题,归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆 Q 1 锥曲线问题的第二种方法——“点差法” 知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的 -1 o 1 斜率公式、中点坐标公式 错解分析 第一问,求二次方程根的个数,忽略了 二次项系数的讨论 第二问, 算得以 Q 为中点弦的斜率 为 2,就认为所求直线存在了 技巧与方法 涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦 所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化 解 (1)当直线 l 的斜率不存在时, 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点 l 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整 理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
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x

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(ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<

3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点 2

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3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2
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3 2 <k< 时,方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点 2
33

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3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点 2 3 综上知 当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2 3 当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2 3 当 k> 时,l 与 C 没有交点 2
③当Δ <0,即 k>
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(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12- y12=2,2x22-y22=2 两式相减得 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1
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即 kAB=

y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点, 所以假设不正 确,即以 Q 为中点的弦不存在 例 3 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭
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圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
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10 ,求椭圆方程 2 解 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2)
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?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, mx ? ny 2 ? 1 ?
Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴

2(n ? 1) 2n +1=0, ? m?n m?n


∴m+n=2

4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 将 m+n=2,代入得
又2 m?n=

3 4



由①、②式得 m=

1 3 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2
34

故椭圆方程为 学生巩固练习 1 值为( A
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x2 3 2 3 2 1 2 + y =1 或 x + y =1 2 2 2 2

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斜率为 1 的直线 l 与椭圆 )
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x2 2 +y =1 相交于 A、 两点, B 则|AB|的最大 4

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2

B

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4 5 5

C

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4 10 5

D

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8 10 5 2 抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐 标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A x3=x1+x2 B x1x2=x1x3+x2x3 C x1+x2+x3=0 D x1x2+x2x3+x3x1=0 3 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________ 4 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 y B l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围 (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的 o 最大值
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N

x

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5

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已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
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21 3

A

的双曲线过点 P(6,6) (1)求双曲线方程 (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N, 问 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论 参考答案:
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弦长|AB|= 2 ?

4 10 4 ? 5 ? t2 ≤ 5 5

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解方程组 ?

? y ? ax 2 ? y ? kx ? b
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,得 ax2 -kx-b=0,可知 x1+x2=

k ,x1x2=- a

b b ,x3=- ,代入验证即可 a k
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B
35

3 解析 设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出 |CD|的长,利用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长 答案 18 或 50 4 解 (1)设直线 l 的方程为 y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2 -2(a+p)x+a2=0
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∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p 又∵p>0,∴a≤-

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∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2

p 4

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(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=

x1 ? x2 y ? y2 x1 ? x2 ? 2a =p ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2

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∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p), 从而 N 点坐标为(a+2p,0)? | a ? 2p ? a| ? 2p 点 N 到 AB 的距离为 2

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2 p 当 a 有最大值- 时,S 有最大值为 2 p2 4
从而 S△NAB=
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(1)如图,设双曲线方程为

x2 y2 ? =1 a2 b2

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由已知得

62 62 a 2 ? b 2 21 ? 2 ? 1, e 2 ? ? ,解得 a2=9,b2=12 3 a2 b a2
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x2 y2 ? =1 9 12 (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2)
所以所求双曲线方程为
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则有

2 2 ? x1 ? x2 ? 4 ?12 x1 ? 9 y1 ? 108 y ? y 12 4 ? 4 ,? ? 1 2 ? ? ,∴kl= ? 2 2 3 x1 ? x2 9 3 ? y1 ? y2 ? 4 ?12 x2 ? 9 y2 ? 108 ?

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3
36
A1 M

y
N G

P

o

A2

x

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0 4 y ? ( x ? 2) ? 3 ?
∵Δ =16-4?28<0,∴所求直线 l 不存在 课前后备注
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24、题目 高中数学复习专题讲座 直线与圆锥曲线问题的处理方法(2) 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出 现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题 等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想 方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考 生“档次” ,有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究 它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题, 此时要注意用好 分类讨论和数

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