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教案《直线与方程小结复习》


陕西省西安中学附属远程教育学校

直线与方程小结复习
教学目标: (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及 一般式) ,了解斜截式

与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距 离. 教学方法:探究、交流、讲授结合 教学计划:2 课时 教学过程: 第一课时: 知识点梳理: 1.倾斜角:一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的 倾斜角,范围为 ?0, ? ? . 斜率:当直线的倾斜角不是 90 ? 时,则称其正切值为该直线的 斜率,即 k ? tan ? ; 当直线的倾斜角等于 90 ? 时,直线的斜率 不存在。 说明: (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; (2) 斜率为倾斜角的函数: 2.斜率的求法: (1)定义法: k ? tan ? ( ? ? 90? ) (2)坐标法:过两点 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ? x1 ? x2 ? 的直线的斜率 公式: k ? tan ? ?
y2 ? y1 x2 ? x1

若 x1 ? x2 ,则直线 PP 1 2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 ? .
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(3)由直线方程求其斜率:直线 Ax ? By ? C ? 0 的斜率为 k ? ?
3. 直线方程的几种形式:

A B

名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式
y ? kx ? b

方 程

适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x ? x0 不含直线 x ? x1 ( x1 ? x2 )和 直线 y ? y1 ? y1 ? y2 ?

y ? y0 ? k ? x ? x0 ?
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用

Ax ? By ? C ? 0 ( A2 ? B2 ? 0)

基本题型: 问题 1:斜率与倾角 : 例 1:已知两点 A ? ?1, 2? , B ? m,3? . (1)求直线 AB 的斜率 k ;
? 3 ? ? 1, 3 ? 1? ,求 AB 的倾斜角 ? 的范围. (2)若实数 m ? ? ? ? 3 ?

例 2.已知直线 l 过点 P ? 0,0? 且与以点 A ? ?2, ?2? , B ?1, ?1? 为端点的线段相交, 求直线 l 的斜率及倾斜角 ? 的范围. 问题 2.直线 l 的方程 例 3:求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)过两点 A? 2,3? , B ? 6,5? ; (2)过 A ?1, 2 ? ,且斜率为 k ?
3 ; 2

(3)过 P ?3,2? ,倾斜角是直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角的 2 倍; (4)过 A ? ?5, 2? ,且在 x 轴, y 轴上截距相等; (5)在 y 轴上的截距为 ?3 ,且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6 .

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同步练习: 1、如右图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,则 A. k1 ? k2 ? k3 B. k3 ? k1 ? k2 C. k3 ? k2 ? k1 D. k1 ? k3 ? k2 2、下面命题中正确的是: A.经过定点 P 0 ? x0 , y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示. B.经过任意两个不同的点 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 的 直 线 都 可 以 用 方 程
O

l1

y

l2 l3

x

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示;
C.不经过原点的直线都可以用方程
x y ? ? 1 表示 a b

D.经过点 A? 0, b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 3、过点 ? ?2,1? 在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4、已知点 A(-2,4) 、B(4,2) ,直线 l 过点 P(0,-2)与线段 AB 相交,则 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 .

5、一直线过点 A ? ?3, 4? ,且在两轴上的截距之和为 12 ,则此直线方程是 6、已知点 A(-2,4) 、B(4,2) ,直线 l 过点 P(0,-2)与线段 AB 相交,则 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 .

7、已知 A ? ?a,3? , B ? 5, ?a ? 两点,直线 AB 的斜率为 1 ,若一直线 l 过线段 AB 的 中点且倾斜角的正弦值为
3 ,求直线 l 的方程; 10

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第二课时: 4、直线与直线的位置关系 1.平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交. (1)当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定 斜截式 方 相 垂 平 重 程 交 直 行 合 一般式

l1 : y ? k1 x ? b1 l2 : y ? k2 x ? b2 k1 ? k2 k1k2 ? ?1 k1 ? k2 且 b1 ? b2 k1 ? k2 且 b1 ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 0

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 或? ? B C ? B C ? 0 ? 2 1 1 2 ? A1C2 ? A2C1 ? 0
A1B2 ? A2 B1 ? B2C1 ? B1C2 ? AC 1 2 ?A 2C1 ? 0

(2)当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系. 2.点到直线的距离、直线与直线的距离: (1)点 P ? x0 , y0 ? 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为:

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

( A2 ? B2 ? 0)

(2)直线 l1 ∥l2 ,且其方程分别为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 则 l1 与 l2 的距离为: d ? 3.对称问题 (1)点 P ? a, b? 关于 x 轴的对称点的坐标为 ? a, ?b ? ;关于 y 轴的对称点的坐标为

C1 ? C2 A ?B
2 2

( A2 ? B2 ? 0)

? ?a, b ? ;关于 y ? x 的对称点的坐标为 ? b, a ? ;关于 y ? ? x 的对称点的坐标为

? ?b, ?a ? .
(2)点 P ? a, b? 关于直线 ax ? by ? c ? 0 的对称点的坐标的求法:
? a ? x0 b ? y0 ? ①设所求的对称点 P' 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 PP ' 的中点 ? , ? 一定在 2 ? ? 2

直线 ax ? by ? c ? 0 上. ②直线 PP ' 与直线 ax ? by ? c ? 0 的斜率互为负倒数,即
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y0 ? b ? a ? ? ? ? ? ? ?1 x0 ? a ? b ?

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(3)点 ? x, y ? 关于定点 ? a, b ? 的对称点为 ? 2a ? x,2b ? y ? ,曲线 C : f ? x, y ? ? 0 关 于定点 ? a, b ? 的对称曲线方程为 f ? 2a ? x, 2b ? y ? ? 0 . 4.直线系方程: (1)直线 y ? kx ? b ( k 为常数, b 参数; k 为参数, b 位常数). (2)过定点 M ? x0 , y0 ? 的直线系方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 及 x ? x0 (3)与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 Ax ? By ? C1 ? 0 ( C ? C1 ) (4)与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 Bx ? Ay ? m ? 0 (5)过直线 l1:a1x ? b1 y ? c1 ? 0 和 l2:a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的交点的直线系的方程为:

? a x ? b y ? c ? ? ? ? a x ? b y ? c ? ? 0 (不含 l )
1 1 1 2 2 2

2

典例分析: 问题 1. 已知两条直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 和 l2 : ? a ?1? x ? y ? b ? 0 ,求满足下列条 件的 a , b 值: (1) l1 ? l2 ,且过点 ? ?3, ?1? (2) l1 ∥l2 ,且坐标原点到这两条直线 的距离相等. 问题 2. 已知两条直线 l1 : 2 x ? y ? a ? 0 ? a ? 0 ? 。直线 l2 : ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 且 l1 与 l2 的距离是
7 5 . 10

求 a 的值;

x ? y ? 1 ? 0 上, 问题 3. 一条光线经过点 P ? 2,3? , 射在直线 l : 反射后穿过点 Q ?1,1? .

(1)求入射光线的方程; (2)求这条光线从点 P 到点 Q 的长度. 问题 4. 根据下列条件,求直线的直线方程 (1)求通过两条直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 和 3x ? y ? 0 的交点,且到原点距离为 1 ; (2)经过点 A?3,2? ,且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行; (3)经过点 B ?3,0? ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直. 问题 5. 综合问题 (1)已知直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变化时所得的直线都经过的定点为 (2)求证:不论 m 取何实数,直线 ? m ?1? x ? ? 2m ?1? y ? m ? 5 总通过一定点. .

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(3)求点 P ?1,1? 关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点 Q 的坐标. (4)已知: P ? a, b? 与 Q ?b ?1, a ? 1? ,? a ? b ?1? 是对称的两点,求对称轴的方程. (5)光线沿直线 l1 : x ? 2 y ? 5 ? 0 射入,遇到直线 l2 : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 反射,求反 射光线所在的直线 l3 的方程. ( 6 )已知点 A ? ?3, 5? , B ? 2,15? ,试在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上找一点 P ,使

PA ? PB 最小,并求出最小值.
(7)若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
?? ? ? A. ? , ? ?6 3 ? ?? ? ? B. ? , ? ?6 2? ?? ? ? C. ? , ? ?3 2? ?? ? ? D. ? , ? ?6 2?

课后作业:
1. 已知直线 l1 : ? m ? 2? x ? ? m ? 3? y ? 5 ? 0 和直线 l2 : 6x ? ? 2m ?1? y ? 5 ,求满足

下列条件的实数 m 的取值范围或取值: (1) l1 与 l2 相交; (2) l1 ∥ l2 : ; (3) l1 ? l2 ; .



2. 若直线 x ? ?1? m? y ? m ? 2 ? 0 与直线 mx ? 2 y ? 8 ? 0 平行,则实数 m 的值为
A. 1 B. ?2 C. 1 或 ?2 D. ?1 或 ?2

3. 若两平行线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与 6 x ? 8 y ? k ? 0 之间的距离为 2 ,则 k ? 4. 如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a ? A. ?3 5. 直线 B. ?6 C. ?

.

3 2

D.

2 3

?

3 ? 2 x ? y ? 3 和直线 x ?
B. 垂直

?

?

2 ? 3 y ? 2 的位置关系是
C. 平行 D. 重合

?

A. 相交不垂直

6. 两条直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的充要条件是:

A. A1 A2 ? B1B2 ? 0

B. A1 A2? B1 B? 2 0

C.

A1 A2 ? ?1 B1 B2

D.

B1 B2 ?1 A1 A2

7. 过点 ? ?1,3? 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为
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A. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 5 ? 0

C. x ? 2 y ? 5 ? 0

D. x ? 2 y ? 7 ? 0

8. 已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 A.

0

B. ?8

C. 2

D. 10

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