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浙江省2017届高三下学期期初联考数学试题 Word版含答案


2016 学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟期初联 考 高三年级数学学科 试题

考生须知: 1.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟;2.答题前,请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考 证号并填涂相应数字; 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题纸。 参考公式:

第I卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题 目要求的. 1.在复平面内,复数 z 的对应点为(1,1),则 z2= ( ) A.

2

B.2i

C.2

D. 2+2i )

2. 命题 p:x∈R 且满足 sin2x=1.命题 q:x∈R 且满足 tanx=1.则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 3.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 0 ?

则 2x?y 的取值范围为(



A.*?1,3+ B.*?3,?1+ C.*?1,6+ D. *?6,1+ 4.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( A.34+6 5 C.34+6 3 B.44+12 5 D.32+6 5



1

5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0+∞, a 满足 f(log3a)+f( log 1 a )≥2f(1), 则 a 的取值范围是(
3

)单调递减,若实数 )

A.(0,3] 6.过双曲线

B.(0,

]

C.[

,3]

D.[1,3] 的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的两条切线, 切点分别为 A,B, 双 )

曲线左 顶点为 M,若∠AMB=1200,则该双曲线的离心率为( A.

2

B.

3

C. 3

D.2

7.在?ABC 中,BC=7,AC=6,cosC=

2 6 .若动点 P 满足 7


,(λ∈R),则

点 P 的轨迹与直线 BC,AC 所围成的封闭区域的面积为( A. 5 B. 10 C.2 6 D.4 6 , 且 g(x)= f(x)+

8.已知 f(x)=

x 有三个零点, 则实数 a 的取值范围为 ( 2



A. ( ,+∞)

B. [1,+∞)

C. (0,

)

D.(0,1] 的整数部分是

9.已知数列{a }满足 a = ( A. 1 ) B. 2

4 ,an+1?1=an2?an (n∈N*),则 m= 3
D.4

C. 3

10.已知函数 f(x)=x+

2b +a,x∈[a,+∞),其中 a>0,b∈R,记 m(a,b)为 f(x)的最小值,则当 x
) D.b< C.b>

m(a,b)=2 时,b 的取值范围为( A. b> B.b<

第 II 卷
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 11.已知全集为 R,集合 A={y|y=3x,x≤1},B={x|x2?6x+8≤0},则 A∪B=__________ A∩CRB=_________. 12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n2 +2n?1(n∈N* ),则 a1= ;数列 ?an ? 的通项公

式为 an= . 13.有 10 道数学单项选择题, 每题选对得 4 分, 不选或选错得 0 分.已知某考生能正确答对其 中的 7 道题,余下的 3 道题每题能正确答对的概率为 .假设每题答对与否相互独立,记ξ 为 该考生答对的题数,η 为
2

该考生的得分,则 P(ξ =9)=__________,Eη =__________(用数字作答). 14.若 sin(π +x)+cos(π +x)= ,则 sin2x= , = .

15.已知直线 2x+my?8=0 与圆 C:(x?m)2+y2=4 相交于 A、B 两点,且?ABC 为等腰直角三角形, 则 m= . 16.若正数 a,b,c 满足 ,则 的最小值是 .

17.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 3 ,将?ABD 沿对角线 BD 向上翻折,若 翻折过程中 AC 长度在[ ]内变化,则点 A 所形成的运动轨迹的长度

为 . 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 3 cos2x? 3 . (I)求函数 f(x)的单调减区间; (II)已知?ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中 b=2, 若锐角 A 满足 f( )= 3,且 ,求边 c 的取值范围.

19.(本题满分 15 分)等腰?ABC,E 为底边 BC 的中点,沿 AE 折叠,如图,将 C 折到点 P 的 位置,使二面角 P?AE?C 的大小为 120°,设点 P 在面 ABE 上的射影为 H. (I)证明:点 H 为 BE 的中点; (II)若 AB=AC=2 2 ,AB⊥AC,求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正切值.

20. (本题满分 15 分)已知 f(x)=|x|(x2?3t)(t∈R). (I)当 t=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (II)设 g(x)=|f(x)|(x∈[0,2]),求 g(x)的最大值 F(t).

21.(本题满分 15 分)椭圆 C1 :

=1(a>b>0)的右焦点与抛物线 C2 :y2=2px(p>0)的焦

3

点重合, 曲线 C1 与 C2 相交于点(

).

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)过右焦点 F2 的直线 l(与 x 轴不重合)与椭圆 C1 交于 A、C 两点,线段 AC 的中点为 G, 连接 OG 并延长交椭圆 C1 于 B 点(O 为坐标原点) ,求四边形 OABC 的面积 S 的最小值. 22.(本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1=3,an+1=an2+2an,n∈N* , 设 bn=log2(an+1). (I)求{an}的通项公式; (II)求证:1+ <n(n≥2);

(III)若 2 n =bn,求证:2≤ (

c

cn ?1 n ) <3. cn

2016 学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A 9.B 10.D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 11. (0,4] 、 (0,2) 12. 2 、 ?

?2, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2
17.

13.

2 , 32 9

14. ?

3 8 2 、? 4 3

15. 2或14

16.

1 ? 17 2

3 ? 12

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 解: (1)? f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3

? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 3 ? ? 3? ?当2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z时,解得
2 3 2

?

3分

k? ?

?
12

?x?

7? ? k? , k ? Z 12

6分

因此,函数 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? (2)由 f (

A ? ? ? ) ? 3 且角 A 为锐角得: A ? 2 6 3
4

, ? k? ]( k ? Z ) 12 12

? 7?

7分 9分

又由正弦定理

b c ? 及b ? 2 得 sin B sin C
12 分 14 分

c?
?

2 sin C 2 sin (A ? B) sin B ? 3 cos B 3 ? ? ? 1? sin B sin B sin B tan B
?B?

?
4

?
3

?2 ? c ? 1? 3

19. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)依题意, AE ? BC ,则 AE ? EB , AE ? EP , EB ? EP ? E . ∴ AE ? 面 EPB . 故 ?CEP 为二面角 C ? AE ? P 的平面角,则点 P 在面 ABE 上的射影 H 在 EB 上. 由 ?CEP ? 120? 得 ?PEB ? 60? .????????????????????????3 分

1 1 ∴ EH ? EP ? EB . 2 2
∴ H 为 EB 的中点. ????????????????????????6 分 (Ⅱ) (法一: )过 H 作 HM ? AB 于 M ,连 PM ,过 H 作 HN ? PM 于 N ,连 BN , 则得 AB ? 面 PHM .即面 PHM ? 面 PAB , ∴ HN ? 面 PAB .故 HB 在面 PAB 上的射影为 NB . ∴ ?HBN 为直线 BE 与面 ABP 所成的角.????????????9 分

1 1 依题意, BE ? BC ? 2 . BH ? BE ? 1 . 2 2
在 △ HMB 中, HM ?
2 , 2

在 △EPB 中, PH ? 3 , ∴在 Rt△PHM 中, HN ?
21 . 7

21 HN 21 7 sin ?HBN ? ? HB 1 7 ∴ .??????????????????????13 分

tan?HBN ?

3 2 3 . ????????????15 分 2

?直线BE与平面ABP所成角的正切值为
(法二: )

5

h , 其中h为E到平面ABP的距离, BE 在?ABP中,AP ? 2 2,BP ? 2 sin ? ? ?VE ? ABP ? VP ? ABE 1 1 1 1 ? ? ? 2? 7 ? h ? ? ? 2? 2? 3 3 2 3 2 2 21 ?h ? 7 21 ? sin ? ? .......... .......... .......... 13分 7 3 ? tan? ? .......... .......... .......... ....15分 2
?直线BE与平面ABP所成角的正切值为 3 . 2

(法三: )如图,分别以 EA,EB 所在直线为 x,y 轴,以过 E 点且平行于 PH 的直线为 Z 轴建立 空间直角坐标系。

则E ?0,0,0?,B(0, 2, 0), A(2, 0, 0), P(0, 1,3 )......... .......... .......... ...8分 BE ? (0,?2,0), AB ? (?2,2,0), AP ? (?2,1, 3 ) 设平面ABP的一个法向量n ? ( x, y, z ) ?? 2 x ? 2 y ? 0 , 取n ? (3,3,3) .......... .......... .......... .......11分 ? ?? 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? sin? ? ? tan? ? BE ? n BE ? n 3 2
3 . .................................15 2

?

6 2 ? 21

?

21 .......... .......... .......... ........ 13分 7

?直线BE与平面ABP所成角的正切值为
20. (本题满分 15 分)

?1? f ?x ? ? ? ?
/

? x 3 ? 3 x, x ? 0
3 ? ?? x ? 3 x , x ? 0

…………………………………………………..2 分

2 ? ?3x ? 3, x ? 0 ? f ?x ? ? ? 2 ? ?? 3x ? 3, x ? 0

6

…………………………………………………..5 分 ?-1, ? f ?x?的递增区间为 0?? , 1 , ? ??。

?2?x ? ?0,2?, f ?x ? ? x 3 ? 3xt , f / ?x ? ? 3?x 2 ? t ? 当t ? 0时, f / ? x ? ? 0,f ? x ?在?0,2?上递增。 ? f ?0 ? ? 0,
? g ?x?max ? f ?2? ? 8 ? 6t
……………………………………………………7 分

当t ? 0时,令f / ?x ? ? 0,取x ? t , 若 t ? 2,即t ? 4,f ?x ?在?0,2?上递减。 ? f ?0 ? ? 0,

? g ?x?max ? ? f ?2? ? 6t ? 8

……………………………………………………9 分

若 t ? 2,即0 ? t ? 4, ?令f ?x ? ? 0,x ? 3t
① 当 3t ? 2,即

4 ? t ? 4, g ?x ?max ? ? f ( t ) ? 2t t 3 4 ② 当 3t ? 2,即0 ? t ? , g ? x ?max ? max ? f ( t ), f (2) , 3

?

?

4 ? ?2t t ,1 ? t ? ?? 3 ? 8 ? 6 t , 0 ? t ? 1 ?
综上所述, F?t ? ? g ?x ?max

……………………………………………………14 分

?8 ? 6t , t ? 1 ? ? ?2t t ,1 ? t ? 4 ?6t ? 8, t ? 4 ?

…………………………………………15 分

21.(1)解:? 点 ( ,

2 2 6 )在y 2 ? 2 px上 3 3

?p ?2

? y 2 ? 4x

?椭圆C1的右焦点为( 1 , 0)

?a 2 ? b 2 ? 1 ? x2 y 2 ? ? ? 4 24 ? 椭圆C1的标准方程为: ? ?1 4 3 ? 9 ? 9 ?1 ? a2 b2 ?

5分

7

8

22. (本题满分 15 分)
2 (1)解:由 an?1 ? an ? 2an 得 an?1 ?1 ? an ? 2an ?1 ? (an ?1 ) 2 2

由 a1 ? 3 易得 an ? 0 ,所以两边取对数得到
2 即 bn?1 ? 2bn log2 (an?1 ?1) ? log( ) ? 2 log( ) 2 an ? 1 2 an ? 1

2分

又 b1 ? log2 (a1 ? 1) ? 2 ? 0

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列.即 bn ? 2n
又?bn ? log2 (an ? 1) (2)用数学归纳法证明:
9

3分 4分

? an ? 22 ? 1

n

1o 当 n ? 2 时,左边为 1 ?

1 1 11 ? ? ? 2 =右边,此时不等式成立; 2 3 6

5分

2o 假设当 n ? k ? 2 时,不等式成立,
则当 n ? k ? 1 时,左边

? 1?

1 1 1 1 1 1 ? ?? ? k ? k ? k ? ? k ?1 2 3 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1
k

6分

2 个 ?? ? ??? ? 1 1 1 1 1 1 ?k? k ? k ? ? k ?1 ? k ? k ? k ?? k 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ? k ? 1 =右边

? 当 n ? k ? 1 时,不等式成立.
综上可得:对一切 n ? N * , n ? 2 ,命题成立. (3)证明:由 2cn ? bn 得 cn ? n 9分

?(

cn?1 n 1 ? n n 1 ) ?( ) ? (1 ? ) n cn n n
1 n
n 0 1

首先 (1 ? ) ? Cn ? Cn 其次? Cn
k

1 2 1 k 1 n 1 ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ?2 2 k n n n nn

10 分

1 n(n ? 1)? (n ? k ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (k ? 2) k k n k!n k! k (k ? 1) k ? 1 k

1 0 1 1 2 1 k 1 n 1 ? (1 ? ) n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn 2 k n n n n nn 1 1 1 1 1 1 ? 1?1?1? ? ? ?? ? ? 3? ? 3 2 2 3 n ?1 n n
当 n ? 1 时显然成立.所以得证. 15 分

10


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