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高中数学理科选修2-3模块综合测试


选修 2-3 模块综合检测 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.在通过国家司法考试的考生中,统计发现重点大学理工科非法律专业的考生占了一定的比例,说明严密的逻辑思 维与法律专业的理解学习存在什么关系( ) . A.正相关 B.负相关 C.无相关 D.不确定 2.已知随机变量 ? 的分布列如下

,则 p 的值是 ( ).

?

-1

0

1

P

1 2

1 3

p
A. 0 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

3.下面四个等式: (1) (4)

m An ?

n n m ?1 m m k k ?1 An ?1 , Cn ?1 , (2) kCn ? nCn?1 , (3) Cn ? n?m m
) . D. 4 个 C. 3 个 ).

m m An ? nAn??1 中正确的有( 1

A. 1 个

B. 2 个

4.下列说法中正确的是(

① 独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法;② 独立性检验就是选取一个假设 H 0 条件下的小概率事件, 若在一次试验中该事件发生了,这是与实际推断相抵触的“不合理”现象,则作出拒绝 H 0 的推断;③ 独立性检 验一定能给出明确的结论. A. ① ② B.① ③ C.② ③ D.①③ ② 5.在 3 张卡片的正反两面上,分别写着数字 1 和 2 , 4 和 5 , 7 和 8 ,将它们并排组成 三位数,不同的三位数的个数是( ) . 6.设 ? 是随机变量,且 D(10? ) A. 0.4 B. 4 A. 48 B. 38 C. 42 ? 40 ,则 D(? ) ? C. 40 D. 32 ( ) . D. 400

7.设服从二项分布 B(n, 的值分别是( A. 50, ) .

p) 的随机变量 ? 的期望与方差分别是 15 和

45 ,则 n 、 p 4

1 1 3 3 B. 60, C. 50, D. 60, 4 4 4 4 8.平面内有 9 个点,其中 4 个点在一条直线上,此外无三点共线,连接这样的 9 个点,
可以得到不同的直线的条数为( ) . A. 31 条 B. 30 条 C. 28 条 D. 26 条 3 3 4 50 9. (1 ? x) ? (1 ? x) ???? ? (1 ? x) 展开式中, x 的系数是( ) . A. C51 的值分别是( A. 0 和 1
9

3

B. C50 ) .

4

C. C51

4

D. C47

4

10.设随机变量 ? 的概率分布为 P(? B.

? k ) ? pk (1 ? p)1?k (k ? 0,1) ,则 E? 、D?
C.

p 和 p2

p 和1 ? p

D.

p 和 (1 ? p) p

11. (a ? b) 按 a 的降幂排列展开,若 a 第三项值相等时, a 的值为( A. ) .

? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,当展开式第二项与
C.

12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c ( a, b, c ? (0,1) ) ,已知 他投篮一次得分的期望为 2 ,则

1 5

B.

1 4

4 5

D.

3 5

2 1 ? 的最小值为( a 3b

) .

1

A.

32 3

B.

28 3

C.

14 3


D.

16 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集的 数据为 14.设随机变量的分布列为 P (?

k 1 5 , k ? 1, 2,3, 4 ,则有 P( ? ? ? ) ? _________ . 10 2 2 3 2 4 7 15 . 在 (ax ? 1) 的 展 开 式 中 , x 的 系 数是 x 的 系 数 与 x 的 系 数 的 等差 中项 , 若 实 数 a ? 1 , 则 a 的 值 ? k) ?
为 .

16.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中目标的概率为

2 3

,乙命中目标的概率



4 5

,若命中目标的人数为 ? ,则 E?

? __________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 从四男三女中选出一部分人,组成一个有男有女的小组,规定小组中男的数目为偶数,女的数目为奇数,不同 的组织方法共有多少种?

18. (本小题满分 12 分) 在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了 124 人,其中六十岁以上的 70 人,六十岁以下的 54 人,六十岁 以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主, 另外 27 人则以肉类为主; 六十岁以下的人中有 21 人饮食以蔬菜为主, 另外 33 人则以肉类为主.(1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)判断人的饮食习惯是否与年龄有关.

19. (本小题满分 12 分)

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为 选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P (?

? 0) ?

7 . 10

(1) 求文娱队的人数;

(2)写出 ? 的概率分布列并计算 E? .

20. (本小题满分 12 分) 从 0,1, 2,3, 4,5 这六个数字组成的无重复数字的自然数,求: (1)有多少个含有 2, 3 , 但它们不相邻的五位数?(2)有多少个数字 1, 2,3 必须由大到小顺序排列的六位数? 2

21. (本小题满分 12 分) 已知 m, n 是正整数,在 (1)求 (2)当

f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n 中的 x 系数为 7 . f ( x) 的展开式, x 2 的系数的最小值 ? ; f ( x) 的展开式中的 x 2 系数为 ? 时,求 x3 的系数 ? .

22. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中 10 环的概率为 0.5 ,乙射击一次命中 10 环的概率为 立的射击两次,设乙命中 10 环的次数为 ? ,则 E? 的值及 ? 的分布列及数学期望.

p ,若他们独
p

?

4 3

,? 为甲与乙命中 10 环的次数的差的绝对值.求

3

选修 2-3 模块综合检测答案与解析:

1.A 逻辑思维严密,一定程度上促进法律专业的学习,呈正相关关系.2.D

1 1 ? ? p ? 1 ,得 2 3

p?

1 .3.D 6

; n n (n ? 1)! n! m m An?1 ? ? ? ? An n?m n ? m (n ? m ? 1)! (n ? m)!

k ?1 nCn ?1 ? n

; (n ? 1)! n! kn ! k ? ? ? kCn (n ? k )!(k ? 1)! (n ? k )!(k ? 1)! (n ? k )!k (k ? 1)! ,四个等式都是正确的.

n m?1 n (n ? 1)! n! m Cn?1 ? ? ? ? Cn ; m m (n ? m)!(m ? 1)! (n ? m)!m !

m nAn ??1 ? n 1

(n ? 1)! n! m ? ? An (n ? m)! (n ? m)!

4.A 5.A 6.A 7.B

独立性检验的思想方法的理解应用. 先不考虑卡片的正反两面,有 ∵ (10? ) ? 10 D
2

3 3 A3 ? 6 ,而 3 张卡片都有正反两面,则有 2 ? 2 ? 2 A3 ? 48 .

D? ? 40 ,∴D? ? 0.4 .

由 ?np ? 15 得, ?n ? 60 . ? ? ? 45 ? 1 ?np (1 ? p ) ? 4 ?p ? 4 ? ? 先假设无三点共线,则有 C9
( 1? x 3 ? (? x 4 ? ??? ? ?(x ) 1 ) 1
50

8.A 9.C 10.D

2

2 ? 36 ,然而有 4 个点在一条直线上,即 C4 ? 6 ,
48

即 C9

2

2 ? C4 ? 1 ? 31.

?)

( 1? x 3 [? ? 1 ) 1 (x x

) ]

?

(1 ? x)3 ? (1 ? x)51 , (1 ? x)51 中含 x 4 的系数是 C 4 . 51 x

设随机变量 ? 的概率分布为 P(?

? k ) ? pk (1 ? p)1?k (k ? 0,1) ,则 P(? ? 0) ? p , P(? ? 1) ? 1 ? p , E? ? 0 ? p ? 1? (1 ? p) ? 1 ? p ,
得b ? 1 ,a ? 4 . 5 5

11.C 12.D

D? ? [0 ? (1 ? p)]2 ? p ? [1 ? (1 ? p)]2 ? (1 ? p) ? p(1 ? p) . 1 8 2 T2 ? C9 a ,b T C 7 ,而 C9a8b ? C9 a7b2 ,即 a ? 4b ,而 a ? b ? 1 , ? 2 a 2 b 1 3 9
由题 3a ? 2b ? 2 ,其中 0 ? a ? , 0 ? b ? 1 , 所以 a ? 3b ?
2 1 3a ? 2b 2 1 1 2b a 10 16 ?( ? ) ? 3? ? ? ? ? 2 ? .(当且仅当 2 a 3b 3 a 2b 3 3

2 3

a ? 2b ?

1 时取等号). 2

13.女教授人数,男教授人数,女副教授人数,男副教授人数. 14.

3 10

因为

1 5 ? ? ? ,实际上就是 ? ? 1 或 ? ? 2 ,由概率的可加性得 2 2
? 1 ,得 a ? 1 ? 10 .
5

1 5 1 2 3 . P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? 2 2 10 10 10

15.

1?

10 5

5 3 4 C7 a2 ? C7 a4 ? 2C7 a3 , 21a2 ? 35a4 ? 70a3 , a ? 0 ,得

5a 2 ? 10a ? 3 ? 0 ? a ? 1 ?

10 5

,而 a

22 16. E? ? 15

2 4 1 2 4 2 4 2 因为 P(? ? 0) ? (1 ? 3 ) ? (1 ? 5 ) ? 15 , P(? ? 1) ? (1 ? 3 ) ? 5 ? 3 ? (1 ? 5 ) ? 5 , P(?
2 1 2 3

2 4 8 2 8 22 ? 2) ? ? ? , 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3 5 15
4 1 4 3

17. 若两男一女, 解: 则有 C4 C3 ; 若两男三女, 则有 C4 C3 ; 若四男一女, 则有 C4 C3 ; 若四男三女, 则有 C4 C3 , 即 C4 C3
2 1 2 3 4 1 4 3 ? C4 C3 ? C4 C3 ? C4 C3 ? 28 .

18.解:(1) 2 ? 2 的列联表如 (2) 提出统计假设, H 0 :假设人的饮食习惯与年龄无关,

?2 ?

124(43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 , 70 ? 54 ? 64 ? 60

六十岁以下 六十岁以下 合计

主食蔬菜 21 43 64

主食肉类 33 27 60

合计 54 70 124

当统计假设 H 0 成立时, ? 2 ? 5.024 的概率约为 2.5 0 0 , 即有 97.5 0 0 的把握认为“人的饮食习惯与年龄有关” . 19.解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有 (7 ? x) 人, 那么只会一项的人数是 (7 ? 2 x) 人.

P (1)∵ (?

? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?

7 , 10

4

(2) ? 的概率分布列为

3 P ∴ (? ? 0) ? , 10 故文娱队共有 5 人.

2 C 7?2x (7 ? 2x)(6 ? 2x) 3 3 即 2 ? ,∴x ? 2 ? ,∴ (7 ? x )(6 ? x ) 10 C 7?x 10

?
P

0

1

2

3 10

4 5

1 10

C2 1 ? 2) ? 2 ? , 2 C5 10 3 4 1 E ? 1? ? 2 ? ? 1 . ∴ ? ? 0? 10 5 10 3 20.解: (1)不考虑 0 在首位, 0,1, 4,5 先排三个位置,则有 A4 , 2, 3 去排四个空档,
C1 ? C1 4 P(? ? 1) ? 2 2 4 ? , P(? 5 C5

有 A4 ,即

2

3 2 A4 A4 ;而 0 在首位时,有 A32 A32 ,

即 A4 A4

3

2

2 2 ? A3 A3 ? 252 ;

(2)在六个位置先排 0, 4,5 ,不考虑 0 在首位,则有 即 A6
3

3 A6 ,去掉 0 在首位,

2 ? A5 , 0, 4,5 三个元素排在六个位置上留下了三个空位,

3 2 1, 2,3 必须由大到小进入相应位置,并不能自由排列,所以 A6 ? A5 ? 100 .

21.解: (1)由 Cm
2

1

1 ? Cn ? 7 ,得 m ? n ? 7 ,
2

7 35 2 ? Cn ? m2 ? 7m ? 21 ? (m ? ) 2 ? , 2 4 当 m ? 3, n ? 4 ,或 m ? 4, n ? 3 时, ? ? 9 ;
而 x 的系数 Cm (2)当 m ? 3, n ? 4 ,或 m ? 4, n ? 3 时, x 的系数 ?
3

2 3 ? C3 ? C4 ? 5 .

22.解:由已知可得 ?

4 2 , p ? .有 ? 的取值可以是 0,1, 2 . 3 3 1 2 1 2 1 甲、乙两人命中 10 环的次数都是 0 次的概率是 ( ) ? ( ) ? , 2 3 36 1 1 1 1 2 1 1 2 2 甲、乙两人命中 10 环的次数都是 1 次的概率是 ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? , 2 2 2 2 3 3 3 3 9 1 1 2 2 1 甲、乙两人命中 10 环的次数都是 2 次的概率是 ( ? ) ? ( ? ) ? , 2 2 3 3 9 1 2 1 13 ? ? ? 所以 P (? ? 0) ? ; 36 9 9 36 1 2 1 2 1 甲命中 10 环的次数是 2 且乙命中 10 环的次数是 0 次的概率是 ( ) ? ( ) ? , 2 3 36 1 1 2 2 1 甲命中 10 环的次数是 0 且乙命中 10 环的次数是 2 次的概率是 ( ? ) ? ( ? ) ? , 2 2 3 3 9 1 1 5 1 ? ? 所以 P(? ? 2) ? ,故 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 2) ? , 36 9 36 2 所以 ? 的分布列是 ? 0 1 2 13 1 5 P 2 36 36 7 所以 ? 的数学期望是 E? ? . 9

? B(2, p) ,故 E? ? 2 p ?

5


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