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2011-2015全国理科数学----三角函数与解三角形


2016 年高考题型专题

三角函数

【命题特点】 纵观前五年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大, 题型是一大一小或 两小一大,总体难度不大,解答题通常放在第一个,属容易题,要求每一位同学不失分。主 要考查三大方面; 一.三角变换.主要考查的内容有三角函数的恒等变形 (用到的公式主要有二倍角公式, 辅助角公式)已知三角函数值求角(要注意已知角的范围,有的是条件直接给出,有的是三角 形的内角,要留心锐角三角形的内角的限制条件).同角三角函数的基本关系式和辅助角公式 等。 二. 三角函数的图象与性质。要注意图象的特征点(最高点,零点和对称中心) 、特征 线(对称轴)及最小正周期的求法,也要注意三角函数的最值问题,包括利用辅助公式将已 知三角函数式转化为一个三角函数求最值, 或转化为以某一三角函数为自变量的二次函数的 最值问题。 三. 解三角形问题。正弦、余弦定理的应用。注意面积公式的应用。 最后,要注意向量和三角函数的交汇性试题的备考,及书写格式的规范性与完整性。同 时,要控制复习的难度,重点突破以上三方面问题及理解、记忆它们涉及到的所有公式和知 识点。 【试题常见设计形式】 本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种 情况会继续保持下去。 特点:文科:偏重化简求值,三角函数的图象和性质。理科:偏重三角变换,解斜三角形, 三角函数试题注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形 能力,对三角变换的要求有所降低。 常见题型①三角函数的图象与性质;②化简和求值;④解斜三角形。对高考重点、常考 题型进一步总结,强化规律。解法定模,便于考试中迅速提取,自如运用。 【突破方法技巧】] 要正确对待命题趋势与备考实践的关系: 它们的对应与错位, 用命题趋势来指导备考实 践,我们就会多一份清醒,少一份盲目,比如试题的来源为我们开发备考资源指明了方向; 主干内容的基本取向指导我们恰当地选择编选例题, 把复习引向必要的深度; 创新题目设计 的思路也会给我们一些警示,有助于我们调整复习方式。这是问题的重要方面,同时我们应 该注意,两者之间除了一致之外,还有必要的错位,比如近几年高考在三角方面的要求降低 了, 从逻辑难度讲, 三角变换题简单了, 但考生在三角题上的表现反而不尽如人意, 这说明, 当我们对某一内容的要求标准降低时, 产生的效果可能更低。 我们把这种现象叫做“低标准 暗示效应”,命题研究中的很多观点,“多考一点理解,少考一点记忆”,“多考一点想, 少考一点算”, “重点与非重点”在实际操作中是可做而不可说的——做, 有利于提高效益: 说,可能产生负效应。 【考点分析】 要想做好三角函数解答题,考生必须要熟练记忆诱导公式,同角三角函数的基本关系, 两角和、差的三角函数公式及二倍角公式。另外对与特殊角的三角函数值应非常熟悉。掌握 一些技巧, 培养自己的观察能力, 寻找角与角之间联系的能力都将有助于高考三角函数题的 解答。 题型一:三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型:⑴考查运用诱导公式和 逆用两角和的正弦、 余弦、 正切公式化简三角函数式能力, 以及求三角函数的值的基本方法.

⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值 的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形 及求角的基本知识. ( 2011 新课标) 5. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线

y ? 2 x 上,则 cos 2? =( B )
(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

【命题意图】考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系。 (2011 大纲)14.已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,sin ? =

4 5 ,则 tan2 ? = 3 5

【命题意图】考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式。 (2012 大纲)7.已知 ? 为第二象限角,sin ? +cos ? =

3 ,则 cos2 ? = ( A ) 3
(D)

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

5 3

【命题意图】考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式。 (2013 大纲) 13.已知 α 是第三象限角,sin α= ? 【命题意图】考查同角三角函数的基本关系。 (2014 新课标)8.设 ? ? (0,

1 ,则 cot α= 2 2 3

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( C ) 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 3? ? ? ?

?
2
?

C . 2? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【命题意图】考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式。 (2015 新课标) (2) sin 20 cos10 ? cos160 sin 10 ? ( D )
? ? ?

(A) ?

3 2

( B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

【命题意图】考查诱导公式、两角差的正弦公式,特殊角三角函数值。 3 π (2016 全国 2) (9)若 cos( –α)= 5,则 sin 2α=( D ) 4 7 1 1 7 (A)25 (B)5 (C)–5 (D)–25 【命题意图】考查二倍角公式,诱导公式,也可利用两角差的余弦公式展开条件再平方,由 二倍角公式可得。 (2016 全国 3) (5)若 tanα= (A)

64 25

3 ,则 cos2α+2sin2α=( A ) 4 48 16 (B) (C)1 (D) 25 25

【命题意图】考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系(转化为齐次式) 。 突破方法技巧:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结 构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核 心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技 巧有: ①变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和 差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

题型二:解三角形 此类题目以考查正弦定理,余弦定理,两角差的正弦公式,同角三角函 数间的关系式和诱导公式等基本知识,以及考查基本的运算为主要特征,突出考查边角互化 的转化思想的应用.解此类题目要注意综合应用上述知识. (2011 大纲) (17) (本小题满分 10 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90° ,a+c= 2b ,求 C.( C ? 15 )
?

【命题意图】考查正弦定理,内角和定理,二倍角公式。

(2011 新课标) (16)在 ?ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 2 7 【命题意图】 考查正弦定理, 内角和定理, 辅助角公式, 也可利用余弦定理转化为边的关系, 再利用方程有解 ? ? 0 求解。 (2012 大纲)17.(本小题满分 10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已 知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 C(C=30°) 。 【命题意图】考查内角和定理,两角和与差的余弦公式,正弦定理。 (2012 新课标) (17) (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (Ⅰ)求 A; (A=60°) (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c。 (b=c=2) 【命题意图】考查正弦定理,内角和定理,两角和的正弦公式,辅助角公式,余弦定理,三 角形面积公式。 (2013 大纲) 18 .(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a +b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B; (B=120°) (2)若 sin Asin C=

3 ?1 ,求 C(C=15°或 C=45°). 4

【命题意图】考查余弦定理,内角和定理,两角差的正弦公式,辅助角公式,也可用积化和 差。 (2013新课标)17、(本小题满分12分) C 如图, 在△ABC中, ∠ABC=90°, AB= 3 , BC=1, P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 7 (1)若 PB= ,求 PA; (PA= ) 2 2 (2)若∠APB=150°, 求 tan∠PBA (tan∠PBA= P A B

3 ) 4

【命题意图】考查三角形内角之间的关系,直角三角形中的三角函数,以及正弦定理与余弦 定理。 (2014 大纲)17.(本小题满分 10 分) ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?

1 3? ,求 B.( B ? ) 3 4

【命题意图】考查正弦定理,同角三角函数的基本关系,两角和的正切公式。 ( 2014 新 课 标 ) 16. 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a =2 , 且

(2 ? b )(sinA ? sin B ? ) c(? b ) sin C,则 ?ABC 面积的最大值为 3 .
【命题意图】考查正弦定理与余弦定理,基本不等式,三角形面积公式。 (2015 大纲)17.(本小题满分 12 分) (17)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 是△ADC 面积的 2 倍。

(Ⅰ) 求

sin ?B 1 ; (答案: ) sin ?C 2

(Ⅱ) 若 AD=1,DC=

2 ,求 BD 和 AC 的长(答案:BD= 2 ,AC=1) 2

【命题意图】考查三角形面积公式,正弦定理与余弦定理,方程思想。 (2015 新课标) (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是 . ( 6 - 2,6+ 2) 【命题意图】考查正弦定理,函数思想以及不等式知识。 (2016 全国 1) (17) (本题满分为 12 分)

? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (C=60°) (II)若 c ? 7,? ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长( 5 ? 7 ) . 2

【命题意图】考查正弦定理,两角和的正弦公式,内角和定理, 诱导公式, 三角形面积公式, 余弦定理。 (2016 全国 2)(13)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= a=1,则 b=

4 5 ,cos C= , 5 13

21 . 13

【命题意图】考查同角三角函数的基本关系,内角和定理,诱导公式,两角和的正弦公式, 正弦定理。 (2016 全国 3) (8)在△ABC 中,B= (A) 3 10
10

? 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cosA=( C ) 4 3
(C) ? 10
10

(B)

10 10

(D) ? 3 10
10

【命题意图】考查直角三角形中的三角函数,余弦定理。 突破方法技巧: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方 和大于第三边的平方. (2)正弦定理:

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C

注意:①正弦定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ;

? ii ? sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; 2R 2R 2R
②已知三角 形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能

有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定
2 2 2

2bc

三角形的形状. (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C .

2

2

特别提醒: ( 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A? B ?C ?? 这 个 特 殊 性 :

(?B ? ) A ? B ?? ? C , s i nA

s C in

,A c? oB s (? ?

)C

A? B C c o s ,? sin ; 2 2

cos

(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角 互化。 如(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条
?

件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ; (2)在 ?ABC 中, a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____(答: ?

, c别 是 角 (4) 在 ?ABC 中 , a , b 分

1 ) ; 2

A 、 B 、 C

所 对 的 边 , 若

( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____(答: 60? ) ;
(5)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c2 ? ,则 ?C =____(答: 30 ) ; 4 3

(6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直
?

径是___(答:

2 39 ) ; 3

(7)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C ?

?
6

) ;

题型三: 三角函数的图象和性质 考查三角函数的图象和性质的题目, 是高考的重点题型. 此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的值域与最值、单 调性、奇偶性、周期性、对称性等性质灵活运用.会进行三角函数的图像变换,会用数 形结合的思想来解题. (2011 大纲) (5) 设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? , 将 y?f ? x

长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于( C ) (A)

? 的图像向右平移 3 个单位
(D)9

?

1 3

(B)3

(C)6

【命题意图】考查三角函数图像的平移与周期性。 (2011 新课标) (11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周

期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则( A ) (A) f ( x ) 在 ? 0,

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

(B) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

(C) f ( x ) 在 ? 0,

(D) f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

【命题意图】考查运用辅助角公式化简三角函数式,以及三角函数奇偶性与单调性。 (2011 新课标)(12)函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点 x ?1

的横坐标之和等于(B) (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【命题意图】考查三角函数与幂函数的图像变换与画法,图像的对称性,数形结合思想。 (2012 大纲)14.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2π) 取得最大值时,x=

5? 6

【命题意图】考查运用辅助角公式化简三角函数式,以及三角函数的最值点。 (2012 新课标)(9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

?? ? ) 在 ? ,? ? 单调递减,则 ? 的 4 ?2 ?
(C) (0, ] (

取值范围是 ( A )

(A) [ , ]

1 5 2 4

(B) [ , ]

1 3 2 4

1 2

D) (0,2]

【命题意图】考查三角函数的单调性。 (2013 大纲) 12.已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是( C A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图像关于直线 x = C.f(x)的最大值为

).

π 对称 2

3 2

D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 【命题意图】考查函数对称性的验证,诱导公式,周期性,利用导数求函数的最值。 (2013 新课标)15、设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ= ?

2 5 5

【命题意图】考查运用辅助角公式化简三角函数式,三角函数的最值点,诱导公式。 (2014 大纲)3.设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则( C )

A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 【命题意图】考查诱导公式,同角三角函数的基本关系,三角函数的单调性。 (2014 大纲)16.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 是 ? ??, 2? .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围 6 2

【命题意图】考查二倍角公式,二次函数的单调性,也可利用导数,已知单调性求参数取值 范围。 (2015 新课标)(8)函数 f(x)= 区间为(D) 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ? 【命题意图】考查利用三角函数的图像求解析式,三角 函数的单调性。 ( 2016 全 国 1 ) 12. 已 知 函 数

f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0, ? ?

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对

称轴,且 f ( x ) 在 ?

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( B ) ? 18 36 ?

(A)11 (B)9 (C)7 (D)5 【命题意图】考查三角函数的图像、对称性、周期性和单调性。 π (2016 全国 2) (7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图象的对 12 称轴为( B ) kπ π (A)x= – (k∈Z) 2 6 kπ π (C)x= – (k∈Z) 2 12 kπ π (B)x= + (k∈Z) 2 6 kπ π (D)x= + (k∈Z) 2 12

【命题意图】考查三角函数的图像变换与对称性。 (2016 全国 2) (14)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至少 向右平移

2? 个单位长度得到. 3

【命题意图】考查辅助角公式,三角函数图像的相位变换。 突破方法技巧: 三角函数的最值主要有以下几种 类型:①、形如 y=Asin(ωx+?)、y= asinx+bcosx 的, 充分利用其有界性去求最值;②、形如 y=sinx+cosx+sinxcosx 的,换元去处理;③、形如 y= asinx+bsin2x 的,转化为二次函数去处理;④、形如 y= 2-cosx 的,可采用反表示的方法, 2-sinx

再利用三角函数的有界性去解决,也可转化为 斜率去通过数形结合解决。 研究复杂三角函数的性质,一般是将这个复杂的三角函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式再 求解,这是解决所有三角函数问题的基本思路.

如果由图象来求正弦曲线 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

, x ? R) 的解析式时,其参

数 A 、 ? 、 ? 的确定:由 图象的最高点或最低点求振幅 A ,由周期 或半个周期(相邻最值 点的横坐标间的距离)确定 ? ,考虑到 ? 的唯一性,在确定 A 、 ? 的基础上将最值点的坐 标代入正弦函数的解析式,在给定的区间内求出 ? 的值. 对于单调区间,要把 ωx+φ 看作一个整体,如由 2kπ-

? ? ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出的 x 的 2 2

取值区间即为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间. 题型四: 实际应用 将三角知识和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题,解决这 类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想,全方位的多方向进行思考. (2013 新课标)12、 设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… cn+an bn+an 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= , cn+1= ,则( B ) 2 2 A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】考查三角形的面积与数列的单调性。也可这样定性考虑:△AnBnCn 的周长不 变,an 不变,bn, cn 两边越来越接近 an,也就是说△ABC 越来越接近等边三角形,等边三角 形是所有等周长三角形中面积最大的。 (2014新课标)6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足 为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在 [0, ? ]上的图像大致为( C )

【命题意图】考查三角函数的定义,二倍角公式以及三角函数的图像。 (2015 大纲) 10.如图, 长方形 ABCD 的边 AB=2, BC=1, O 是 AB 的中点, 点 P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动, ∠BOP=x。 将动点 P 到 AB 两点距离之和表 C D P 示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为( B )

X A O B

【命题意图】考查三角形中的三角函数,勾股定理,函数的单调性,函数图像的非线性和对 称性。


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