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三角函数、解三角形 (10)


第6讲

正弦定理和余弦定理

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2013· 盐城模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=________. 解析 答案 a2+b2-c2 3ab 3 由 a -c +b = 3ab,得 cos C= 2ab = 2ab = 2 ,所以 C=30° .

2 2 2

30°

3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为________. 解析 1 1 3 3 S=2×AB· ACsin 60° =2×2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2=AB2

+AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 3

3.(2013· 新课标全国Ⅱ卷改编)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, π π 已知 b=2,B=6,C=4,则△ABC 的面积为________. 解析 b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 3+1

4.(2013· 山东卷改编)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A, a=1,b= 3,则 c=________. 解析 a b a b 1 3 3 由sin A=sin B, 得sin A=sin 2A, 所以sin A=2sin Acos A, 故 cos A= 2 ,

π π π 又 A∈(0,π),所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2.

答案

2

5.(2013· 陕西卷改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为________三角形(填“直角”、 “锐角” 或“钝角”). 解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即 sin(B+

C)=sin2 A,而 B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0 π <A<π,sin A>0,∴sin A=1,即 A=2. 答案 直角

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 解析 π? π ? 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B=4,根 ? ?

a b 2 2 1 据正弦定理可知sin A=sin B,可得sin A= π,所以 sin A=2,又 a<b,故 A sin4 π =6. 答案 π 6

7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2- b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 解析 a2+c2-b2 3 由余弦定理,得 tan B= 2 , 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B·

3 π 2π ∴sin B= 2 ,∴B=3或 3 . 答案 π 2π 3或 3

8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b 1 =2,cos C=4,则 sin B 等于________. 解析 1 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C

15 b c bsin C 2 15 15 = 4 .由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c 15 =2,所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 答案 二、解答题 1 9.(2014· 扬州质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2c +bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 解 1 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C, 15 4

又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C, 1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5. 10.(2013· 深圳二模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3, b=5,c=7. (1)求角 C 的大小; π? ? (2)求 sin?B+3?的值. ? ? 解 a2+b2-c2 32+52-72 1 (1)由余弦定理,得 cos C= 2ab = =-2.∵0<C<π,∴C 2×3×5

2π =3. b c (2)由正弦定理sin B=sin C,得

2π 5sin 3 bsin C 5 3 sin B= c = 7 = 14 , 2π ∵C= 3 ,∴B 为锐角, ∴cos B= 1-sin2 B= ?5 3?2 11 ?= . 1-? ? 14 ? 14

π? π π ? ∴sin?B+3?=sin Bcos 3+cos Bsin 3 ? ? 5 3 1 11 3 4 3 = 14 ×2+14× 2 = 7 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 2 2 →· → 的最 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB AC 大值为________. 解析 1 4 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,

2 2 1 →· → =bccos A=1bc≤1. 即 bc≤3,又∵sin A= 3 ,∴cos A=3,所以AB AC 3 答案 1

2. (2013· 青岛一中调研)在△ABC 中, 三边长 a, b, c 满足 a3+b3=c3, 那么△ABC 的形状为________三角形.(填“锐角”、“钝角”或“直角”). 解析 由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大,

所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 a2+b2-c2 c <ca +cb ,所以 c <a +b .根据余弦定理,得 cos C= 2ab >0,所以
3 2 2 2 2 2

π 0<C<2,即三角形为锐角三角形. 答案 锐角

3.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________ . 解析 AB 3 BC 由正弦定理知sin C=sin 60° =sin A,

∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120° ,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120° -C) =2(sin C+2sin 120° cos C-2cos 120° sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C)=2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= 2 ,α 是第一象限角,由于 0° <C<120° ,且 α 是第一象限角,因 此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7

二、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B;

→· → =4,b=4 2,求边 a,c 的值. (2)若BC BA
解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B,

得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3.

→· → =4,所以BC →· → =|BC → |· → |· (2)因为BC BA BA |BA → |· → |=12,即 ac=12.① cos B=4,所以|BC |BA
又因为 cos B=
2 2

a2+c2-b2 1 2 2 2ac =3,整理得,a +c =40.②
解得?
?a=2, ? ?c=6 ?

?a +c =40, ? 联立①②? ?ac=12, ?

或?

?a=6, ? ?c=2. ?


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