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姚 X-高三数学-讲义

2016 届江西省红色七校联考文科数学试题
一、选择题: 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | y ? 2x ? x 2 }, 集合 B ? { y | y ? 2x , x ? R} , 则 (C R A ) ?B? ( A. {x | x ? 2} 2.已知复数 z ? A. i B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 0} )

1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是 1? i
B. 1 ? i C. ? i D. 1 ? i )

3.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 3a1 , A.27 B.3

1 a ?a a3 ,2a2 成等差数列,则 11 13 =( 2 a8 ? a10
D.1 或 27

C.-1 或 3

4.已知平面向量 a ? (0,?1) , b A. B.

?

?

? (2,2) , ?a ? b ? 2 ,则 ? 的值为(
C.2 D.1

?

?

)

5.已知 x, y 的取值如下表:若 y 与 x 线性相关,且 y ? 0.5 x ? a ,则 a =(
x y 0 2.2 1 3.3 3 4.8 4 5.7



A.2.2

B.2.6

C.2.8

D.3.0

x x 6.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? (0,

?
2

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是 (
D. p ? (?q)

)

A. (?p) ? q

B. (?p) ? (?q)

C. p ? (?q) ) C.

7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A. 2016 B. 2

1 2

D. ? 1

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姚 X-高三数学-讲义

13

1

1

正(主)视 图

侧(左)视 图

2

俯视图

第 7 题图

第 8 题图 )

8.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个 四棱锥的体积为( A 1 B 2 C 3 D 4

9.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? , 若将其图像向右平移
)

? 个单 3

位后得到的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 的图像( A.关于直线 x ? C.关于点 (

?
12

对称 B.关于直线 x ? D.关于点 (

?
12

,0) 对称

5? ,0) 对称 12

5? 对称 12

?y ? x ? 10.已知变量 x, y 满足以下条件 ? x ? y ? 1, ( x, y ? R ) , z ? ax ? y ,若 的最大值为 3, ? y ? ?1 ?
则实数 a 的值为( A.2 或 5 ) C.2 D.5

B.-4 或 2

11.定义在 R 上的函数 f ( x)满足 f ( x) ? f ?( x) ? 2, ef (1) ? 2e ? 4, 则不等式 f ( x) ? (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. (1,??) B. (??,0) ? (1,??) ) C. (??,0) ? (0,??) D. (??,1)

4 ?2 ex

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12.已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不 B 同的 a2 b2


点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. ? , ?

?1 2? ?3 3?

1? B. ? ,

?1 ? ?2 ?

1? C. ? ,

?2 ? ?3 ?

1? D. ? , ? ? ? ,

?1 1? ?3 2?

?1 ? ?2 ?

二、填空题 13.点 P( x, y)是圆x 2 ? ( y ?1) 2 ? 1 内部的点,则 y ? x 的概率___________. 14.设数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 10 ,点 Pn (n, a n ) 对任意的 n ? N ? ,都有向量 P nP n?1 ? (1,2) ,则数 列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? .

?????? ?

15.在半径为 10 的球面上有 A, B, C 三点, 如果 AB ? 8 3 ,?ACB ? 600 , 则球心 O 到平面 ABC 的距离为___________. 16.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 , 则关于 x 的方程 ( f ( x)) ?
2

2 b af ( x) ? ? 0 的不同实根个数为 3 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在

x?

11? 处取得最小值. 12

(1)求角 A 的大小. (2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 ?ABC 的面积.
14

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18.某校在一次英语竞赛初赛考试成绩中随机抽取了 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第 1 组 [75,80) ,第 2 组 [80,85) ,第 3 组 [85,90) 第 4 组 [90,95) 第 5 组 [95,100) ,得到频率分布直方图如 图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为“优秀”,成绩小于 85 分的学生为“良好”. 且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格。 (1)求出第 4 组的频率;根据样本频率分布直方图估计样本的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

19.如图在直角梯形 ABCD 中, AB // CD, AB ? AD , ,且 2 AB ? 2 AD ? CD ? 4 ,现以 AD 为 一边向梯形外作矩形 ADEF , 然后沿边 AD 将矩形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂 直。

(1)求证: BC ? 平面BDE ; (2)若点 D 到平面 BEC 的距离为 2 ,求三棱锥 F ? BDE 的体积。

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1 x2 y2 20.如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3, 2 a b
点 P(2,1) 为椭圆外一点,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)求 ?ABP面积最大值时的直线 l 的方程。

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ?

1? a ? 1(a ? R) x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性 2 1 2 (2)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 .当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

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四、选做题:请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 23. ( 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 x?y 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 在以原点 ? 为极点, 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 ? 坐标为 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值.

?

?

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姚 X-高三数学-讲义

2016 届江西省红色六校联考文科数学参考答案
一、选择题

A A A C
二、填空题 13.

D D B B
3 1 ? , 4 2?
14.

B B A D
n2
15. 6 16. 3

17.解:f(x) ? 2cosx(sinx cosA - cosxsinA)+ sinA = 2sinxcosxc osA - 2cos2 xsinA+ sinA = sin2xcosA- cos2xsinA= sin(2x- A)
? f ( x)在x ?

11? 3? ? 11? ? A ? 2 k? ? , 其中k ? Z , 即A ? ? 2k? , k ? Z 处取得最小值 ? 2 ? 12 2 3 12

? A? (0,?),? A ?

? -----------------6 分
3

(2)由正弦定理 a ? b ? c 得 sin B ? sin C ? b ? c sin A ???.8 分 sin A sin B sin C a 即 13 3 ? b ? c ? 3 ,? b ? c ? 13 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得
14 7 2

a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A,即49=169-3bc, ?bc=40
1 1 3 ? S? ABC ? bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 --------------------------12 分 2 2 2

18. (1)因为其它组的频率为 (0.01? 0.07 ? 0.06 ? 0.02) ? 5 ? 0.8 , 所以第 4 组的频率为 0.2,??..3 分 设样本的中位数为 x ,则 5 ? 0.01 ? 5 ? 0.07 ? ( x ? 85) ? 0.06 ? 0.5 , 解得 x ?

260 260 ,所以样本中位数的估计值为 。?? 6 分 3 3

(2)依题意良好的人数为 40 ? 0.4 ? 16 人,优秀的人数为 40 ? 0.6 ? 24 人 优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良 好2人 ??????8 分

记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 M 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B,C, 考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10 个基本事件 事件 M 含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共 9 个
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??10 分

姚 X-高三数学-讲义

所以 P ( M ) ?

9 10

-------------12 分

19、 (1) 在正方形 ADEF 中, ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所 以 ED⊥平面 ABCD. 所以 ED⊥BC.在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BD ? 2 2 . 在 △BCD 中, BC ? BD ? 2 2 , CD ? 4 以 BC⊥平面 BDE. (6 分 (2)? BC ? 平面BDE,? BC ? BE,? BE ? 所以 BD ? BC ? CD . 所以 BC⊥BD.DE∩BD=D 所
2 2 2

DE 2 ? BD2

1 1 1 1 1 设DE ? x,VD ? BEC ? S ?BEC ? 2 ? ? ? 2 2 ? 8 ? x 2 2 ? VE ? BDC ,VE ? BDC ? ? ? 2 2 ? 2 2 x 3 3 2 3 2 8 1 1 8 4 6 x ? ,VF ? BED ? VB ? FED ? ? ? 2 ? ? 2 ? - - - - - - - - - - - - - 12分 3 2 9 3 3
20.解: (Ⅰ)由题: e ?

c 1 ? ; a 2

左焦点(-c,0)到椭圆上点的最远距离为 3,即使 a+c=3,可解得: a ? 2, c ? 1 ∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 。-------------------4 分 4 3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y=

1 x, 2

设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,R(x0,y0) 其中 y0=

1 x0 ∵A,B 在椭圆上, 2

? xA2 y A2 ? ?1 ? y ? yB 3 x A ? xB 3 ? 4 3 ∴? ? k AB ? A ?? ? ? ------------------6 分 2 2 x A ? xB 4 y A ? yB 2 ? xB ? y B ? 1 ? 3 ? 4
设直线 AB 的方程为 l:y= ?

3 x ? m (m≠0) , 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?4 3 ? 3x 2 ? 3m x ? m 2 ? 3 ? 0 代入椭圆: ? ?y ? ? 3 x ? m ? 2 ?

由? ? 0可得 - 2 3 ? m ? 2 3且m ? 0
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m2 ? 3 由上又有: x A ? xB ? m, x A xB ? -----------------8 分 3
∴|AB|= 1 ? k AB x A ? xB ? 1 ? k AB
2 2

( x A ? xB ) ? 4 x A xB ? 1 ? k AB
2

2

m2 4? 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?

? 3 ? m ?1 1 ? k AB
2

?

m?4 1 ? k AB
2

∴S△ABP=

1 1 m2 d|AB|= |m-4| 4 ? ,------------------10 分 2 2 3

当 m ? 1 ? 7时,S?ABP取最大值。 此时直线 l 的方程 y=- ?

3 x ? 1 ? 7 -------------------12 分 2

21.解:(I)因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 x

所以 f ?( x) ?

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? ? , , x ? (0,??) x x x2
1 a

, ? 1 -------------------2 分 令 f ' ( x) ? 0, 可得两根分别为 1
1. 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 , x ? (0,1) 时,此时 f ??x ? ? 0 ,函数 f ( x) 2 a 1 单调递减; x ? (1, ? 1) 时,此时 f ??x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1,?? ) 时,此时 f ? ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减:-------------------5 分 a 1 1 1 (II)因为 a ? ? (0, ) ,由(I)知,, ? 1 ? 3 ? (0,2) ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 单调 4 2 a
当0 ? a ? 递减;当 x ? ?1,2? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, 所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) ? ?

1 2

由于“对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 等价于 g ?x ? 在[1,2]上的最小值不大 于 f ( x) 在(0,2)上的最小值 ?

1 ”(*) 2

-------------------8 分

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又 g ( x) ? ( x ? b) 2 ? 4 ? b2 , x ?[1,2] ,所以 ①当 b ? 1 时,因为 [ g ( x)]min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 此时与(*)矛盾 ②当 1 ? b ? 2 时,因为 [ g ( x)]min ? 4 ? b 2 ? 0 同样与(*)矛盾 ③当 b ? 2 时, 因为 [ g ( x)]min ? g (2) ? 8 ? 4b , 且当 b ? 2 时,8 ? 4b ? 0 ,解不等式 8 ? 4b ? ? 可得 b ?

1 , 2

17 -------------------12 分 8
得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0

2 ? ? x ? 3? 2 t 23.解:(1)由 ? y ? 5 ? 2 t ? ? 2

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 即

x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

.

...............5 分

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 t? 得 ?3? ? ? ?? ? 2 t? ? ? 5 ,即 2 ? ? ? ?
由于 ? ? 3 2

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1, t2 是上述方程的两实数根,

t1 ?t2 ?3 2 t ,t 所以 t1t2 ? 4 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 1 2

?

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 .

...................10 分

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2016 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. 若复数 z 满足 zi ? ?1 ? i ,则在复平面内, z 所对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知 U ? R , 函数 y ? ln(1 ? x) 的定义域为 M , 集合 N ? {x 0 ? x ? 2} , 则 M ? (?U N ) ? A. (??, 0] B. (0,1) C. [1, 2) D. [2, ??)

3. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 , a10 ? 3a3 ,则 {an } 的前 12 项和 S12 ? A. 120 B. 132 C. 144 D. 168

4. 曲线 C : y ? x ln x 在点 M (e,e) 处的切线方程为 A. y ? x ? e B. y ? x ? e C. y ? 2 x ? e D. y ? 2 x ? e

? x ? y ? 10 ? 5. 设变量 x, y 满足 ?0 ? x ? y ? 20 ,则 2 x ? 3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?

C. 45 D. 55 ? 6. 已知 f ( x) ? sin(2x ? ? ) 的图像向右平移 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,则“函 12 ? ? 数 g ( x) 的图像关于点 ( , 0) 中心对称”是“ ? ? ? ”的 6 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
开始

A. 20

B. 35

7. 已知函数 f ( x) ? x ln(e2 x ? 1) ? x2 ? 1 , f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为 A. 1 8. 已知 sin ? ? cos ? ? A. B. 0 C. ?1 D. ?2

S =1, k=10 否 是 S = S+k 结束 k=k 1 输出S

? 2 10 ,则 tan(? ? ) ? 4 5

1 1 B. 2 C. ? D. ?2 2 2 9. 若图的框图所给的程序运行结果为 S ? 20 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 A. k ? 9 ? B. k ? 8 ? C. k ? 8 ? D. k ? 8 ? 2

10. 某一简单几何体的三视图如图所示,该几何体的外接球的表面积是
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2 2

2 3

正视图

侧视图

俯视图

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A. 13? C. 25?

B. 16? D. 27?

11. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右两个焦点,若在双曲 a 2 b2

线 C 上存在点 P 使 ?F1PF2 ? 90? , 且满足 2?PF1F2 ? ?PF2 F1 , 那么双曲线 C 的离心 率为 A. 3 ? 1 B. 2 C.

3

D.

5 2

12. 若函数 f ( x) ? 2e x ln( x ? m) ? e x ? 2 存在正的零点,则实数 m 的取值范围为 A. (??, e) B. ( e, ??) C. (??, e) D. (e, ??)
7 , 则在这 5 位 10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 从某班 5 位老师中随机选两位老师值班, 有女老师被选中的概率为 老师中,女老师有_______人. 14. 在 ?ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是 a, b, c ,且 b cos B 是 a cosC, c cos A 的等差中 项,则 B 的大小为_______. 15. 抛物线 C : y 2 ? 4x 上到直线 l : y ? x 距离为
2 的点的个数为________. 2

16. 在等腰直角 ?ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 , M 、 N 为 AC 边上两个动点, ???? ? ???? 且满足 MN ? 2 ,则 BM ? BN 的取值范围为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn ?1 ( n ? N* ). (1)求证:数列 {an } 为等比数列; (2)若 bn ? (2n ? 1)an ,求 {bn }的前 n 项和 Tn .
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18. (本小题满分 12 分) 某射击爱好者想提高自己的射击水平,制订了一个训练计划,为了了解训练效果, 执行训练计划前射击了 10 发子弹(每发满分为 10.9 环) ,计算出成绩中位数为 9.65 环, 总成绩为 95.1 环,成绩标准差为 1.09 环,执行训练计划后也射击了 10 发子弹,射击成 绩茎叶图如图所示: (1)请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差; (2) 如果仅从已知的前后两次射击的数据分析,你认为训练计划对该射击爱好者 射击水平的提高有无帮助?为什么?

7. 8. 9. 10.

8 8 0 3 6 7 8 8 4 8

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC 1 1C ? 侧面 ABB 1A 1 , AC ? AA 1 ? 2 AB ,

?AAC 1 1 ? 60? , AB ? AA 1 , H 为棱 CC1 的中点, D 为 BB1 的中点.
(1)求证: A1D ? 平面 AB1H ; (2)若 AB ? 2 ,求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积.
A B D B1 A1 C H C1

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20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴,焦距为 2 ,且长轴长是短轴长的 2 倍. (1)求椭圆 ? 的标准方程; (2)设 P(2, 0) ,过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 A 、 B 两点,若对满足条件的

??? ? ??? ? 任意直线 l ,不等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立,求 ? 的最小值.

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21(本小题满分 12 分) 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)当 a ?
x2 ? a ln x . 1? x

3 时,求 f ( x) 的最小值; 4

(2)求证: f ( x) 有唯一的极值点.

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请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 写清楚题号. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程选讲

? x ? 2cos ? 23 已知直线 l 的方程为 y ? x ? 4 , 圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数), 以 ? y ? 2 ? 2sin ?
原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值.

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一、选择题: 1 2 3 B A D 解析:

4 C

5 D

6 B

7 B

8 D

9 D

10 C

11 A

12 A

1 1 1 x 1 ? ?( ) ? ex 2 e 2 1 1 1 1 1 1 ∵ y ? ( ) x ? 过点 (0, ) ,且单调减函数.∴ x ? 0 时, y ? ( ) x ? ? 2 e 2 e 2 2 1 问题等价于 y ? ln( x ? m) ? , x ? 0 恒成立. 2 1 ∵ y ? ln( x ? m) 在 (0, ??) 上为增函数,∴ ln m ? , m ? e 2 ? 3 二、填空题:13. 2 14. 15. 3 16. [ , 2] 3 2

第 12 题:令 2ex ln( x ? m) ? ex ? 2 ? 0 ,则 ln( x ? m) ?

解析: 第 16 题:以 A 为原点建立直角坐标系,如图,则 B( 2, 2) ,设 M ( x,0)(0 ? x ? 2) ∵ MN ? 2 ,则 N ( x ? 2,0) ??? ? ???? ??? ? AB 4 AC ∴ AP ? ??? ? ? ???? ? (1, 4) ,即 P(1, 4) AB AC

y

B

A

M

N C

x

???? ? ??? ? 2 2 3 ) ? ∴ BM ? BN ? ( x ? 2, ? 2) ? ( x, ? 2) ? x2 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 2 2 ???? ? ???? 3 ∵ 0 ? x ? 2 ,∴ BM ? BN ? [ , 2] . 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn ?1 ( n ? N* ). (1)求证:数列 {an } 为等比数列;
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姚 X-高三数学-讲义

(2)若 bn ? (2n ? 1)an ,求 {bn }的前 n 项和 Tn . 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? 2Sn ?1 , an?1 ? 2Sn?1 ? 1 两式相减得 an ? an?1 ? 2an , ∴ an ? ?an?1 ∴ 数 列 列. ??3 分 , 公 比 为 ??1 分

{an }

是 首 项 为

1

?1 的 等 比 数

??5 分 ??6 分

(2)由(1)可得 an ? (?1)n?1 ,∴ bn ? (2n ? 1) ? (?1)n?1

Tn ? 3? (?1)0 ? 5 ? (?1)1 ? 7 ? (?1)2 ? ?? (2n ?1) ? (?1)n?1 ?Tn ? 3 ? (?1)1 ? 5 ? (?1)2 ??? (2n ?1) ? (?1)n?1 ? (2n ?1) ? (?1)n
两式相减得 ??8 分

2Tn ? 3 ? 2 ? (?1)1 ? 2 ? (?1)2 ? ?? 2 ? (?1)n?1 ? (2n ? 1) ? (?1)n
? 3 ? 2?


??9 分 ?? 10

?[1 ? (?1)n?1 ] ? (2n ? 1) ? (?1)n 1 ? (?1)

? (2n ? 2) ? (?1)n?1 ? 2
11 分 ∴数列 {bn }的前 n 项和 Tn ? (n ? 1) ? (?1)n?1 ? 1 .

??

??

12 分 18. (本小题满分 12 分) 某射击爱好者想提高自己的射击水平,制订了一个训练计划,为了了解训练效果, 执行训练计划前射击了 10 发子弹(每发满分为 10.9 环) ,计算出成绩中位数为 9.65 环, 总成绩为 95.1 环,成绩标准差为 1.09 环,执行训练计划后也射击了 10 发子弹,射击成 绩茎叶图如图所示: (1)请计算该射击爱好者执行训练计划后射击成绩的中位数、总成绩与标准差; (2) 如果仅从已知的前后两次射击的数据分析,你认为训练计划对该射击爱好者 射击水平的提高有无帮助?为什么?

7. 8 19 / 24 8. 8 9. 0 3 6 7 8 8 10. 4 8

姚 X-高三数学-讲义

解: (1)训练后成绩中位数为 分 平 环 方
(?
2

9.6 ? 9.7 ? 9.65 环 ??1 分 2 ? 9.3 ? 9.6 ? 9.7 ? 9.8 ? 9.8 ? 10.4 ? 10.8 ? 环 95 总成绩为 7.8? 8.8? 9.0 ?? 3



成 差



为 ??4 分
? ? .

9

.


2 ?

? ?

? ?

? ?

? 10

1 ?

?

?0

标 环.





为 ??7 分

0

(2)中位数与总成绩训练前相同 ∵ 95.1 ? 95 ,总成绩训练前都比训练后大 而 这 是 衡 量 一 个 人 平 均 射 击 水 平 的 主 要 指 标 ??9 分 可 见 训 练 前 的 平 均 水 平 还 比 训 练 后 的 平 均 水 平 要 好 ??11 分 故 此 训 练 计 划 对 该 射 击 爱 好 者 射 击 水 平 的 提 高 没 有 帮 助 ??12 分 【答案二】 尽管总成绩训练后都比训练前稍小,但相差并不大,并无显著差异 ?? 9分 而 0.8 ? 1.09 ,训练后的标准差比训练前的标准差要小很多 成绩稳定性显著提高了,说明该射击爱好者心理素质更稳定了 这 也 是 射 击 水 平 提 高 的 表 现. ??11 分 故 此 训 练 计 划 对 该 射 击 爱 好 者 射 击 水 平 的 提 高 有 帮 助. ??12 分 19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC 1 1C ? 侧面 ABB 1A 1 , AC ? AA 1 ? 2 AB ,

?AAC 1 1 ? 60? , AB ? AA 1 , H 为棱 CC1 的中点, D 为 BB1 的中点.
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姚 X-高三数学-讲义

(1)求证: A1D ? 平面 AB1H ; (2)若 AB ? 2 ,求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积. 解: (1)连结 AC1 ,∵ ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点 ∴ AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 又面 AAC 1 1C ? 平面 ABB 1A 1
AH ? 平面 AAC 面 AAC 1 1C ? 平面 ABB 1A 1 ? AA 1, 1 1C
B A D M B1 A1 C H C1

∴ AH ? 平面 ABB1 A1 又 A1D ? 平面 ABB1 A1 ,∴ AH ? A1D ① 设 AB ? 2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ∴ AC ? AA1 ? 2a , DB1 ? a ,则
DB1 AB 1 ? ? 1 1 B1 A1 2 AA1

??2 分

又 ?DB1 A1 ? ?B1 A1 A ? 90? ,∴ ?A1DB1 ∽ ?AB1 A1 ,∴ ?B1 AA1 ? ?B1 A1D 又 ?B1 A1D ? ?AA1D ? 90? ,∴ ?B1 AA1 ? ?AA1D ? 90? 设 AB1 ? A1D ? O ,则 A1D ? AB1 ?② 由①②及 AB1 ? AH ? A ,可得 A1D ? 平面 AB1H ??5 分 ??6 分

(2)取 AA1 中点 M ,连结 C1M ,则 C1M // AH ∴ C1M ? 面 ABB1 A1
1 1 6 ∴ VC1 ? AB1 A1 ? S?AB1 A1 ? C1M ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

??7 分 ??10 分 ??12 分

∴三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 3VC1 ? AB1 A1 ? 6
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姚 X-高三数学-讲义

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴,焦距为 2 ,且长轴长是短轴长的 2 倍. (1)求椭圆 ? 的标准方程; (2)设 P(2, 0) ,过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 A 、 B 两点,若对满足条件的

??? ? ??? ? 任意直线 l ,不等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立,求 ? 的最小值.
解:

?a ? 2b ? (1)依题意, ?c ? 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

??1 分

解得 a 2 ? 2 , b 2 ? 1,∴椭圆 ? 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

??3 分

??? ? ??? ? (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 PA ? PB ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
当直线 l 垂直于 x 轴时, x1 ? x2 ? ?1 , y1 ? ? y2 且 y12 ?
1 2

??? ? ??? ? 此时 PA ? (?3, y1 ) , PB ? (?3, y2 ) ? (?3, ? y1 )
??? ? ??? ? 17 ∴ PA ? PB ? (?3) 2 ? y12 ? 2

??6 分

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) 由? 2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ?x ? 2 y ? 2
4k 2 2k 2 ? 2 ∴ x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??8 分

∴ ??? ? ??? ? PA ? PB ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2
? (1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 4k 2 2 ? ( k ? 2) ? ? 4 ? k2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

17k 2 ? 2 17 13 17 ? ? ? ? 2 2 2k ? 1 2 2(2k ? 1) 2
22 / 24

??11 分

姚 X-高三数学-讲义

??? ? ??? ? 要使不等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立
??? ? ??? ? 17 17 只需 ? ? ( PA ? PB ) max ? ,即 ? 的最小值为 . 2 2 21. (本小题满分 12 分)

12 分

设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)当 a ? 解: (1) f ?( x) ?

x2 ? a ln x . 1? x

3 时,求 f ( x) 的最小值; (2)求证: f ( x) 有唯一的极值点. 4

2 x(1 ? x) ? x 2 a x3 ? (2 ? a) x 2 ? 2ax ? a ? ? (1 ? x)2 x x(1 ? x)2

??2 分

当a ?

3 4 x3 ? 5x 2 ? 6 x ? 3 ( x ? 1)(4 x 2 ? 9 x ? 3) 时, f ?( x) ? ? 4 4 x(1 ? x)2 4 x(1 ? x)2

??4 分

由于 x ? 0 时,

4 x2 ? 9 x ? 3 ?0 4 x( x ? 1) 2

故当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增 即当 x ? 1 时, f ( x) 取极小值即最小值 f (1) ? (2)由(1)知 f ?( x) ?
1 . 2

??6 分

x3 ? (2 ? a) x 2 ? 2ax ? a ,令 g ( x) ? x3 ? (2 ? a) x2 ? 2ax ? a x(1 ? x)2
??7 分

要证 f ( x) 有唯一的极值点,即证 g ( x) 在 (0, ??) 上有唯一的变号零点 事实上, g?( x) ? 3x2 ? (4 ? 2a) x ? 2a 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 其中 x1 ? 0 , x2 ? 0 ∵ g ?(0) ? ?2a ? 0 ,且 g ?( x) 的图像是开口向上的抛物线 故在区间 (0, x2 ) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 递减,∴ g ? x2 ? ? g ? 0? ? ?a ? 0 在区间 ( x2 , ??) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增
23 / 24

a ? 2 ? a 2 ? 2a ? 4 a ? 2 ? a 2 ? 2a ? 4 , x2 ? 3 3

??9 分

姚 X-高三数学-讲义

∵ g ( x) ? x3 ? (2 ? a) x2 ? 2ax ? a ? x2 ( x ? a) ? 2x( x ? a) ? a ∴ g (a ? 1) ? (a ? 1)2 ? 2(a ? 1) ? a ? (a ? 1)2 ? a ? 2 ? 0 ∴ g ( x2 ) ? g (a ? 1) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点 即 f ( x) 在 (0, ??) 上有唯一的极值点,且为极小值点. 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程选讲 ??12

? x ? 2cos ? 已知直线 l 的方程为 y ? x ? 4 , 圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数), 以原 ? y ? 2 ? 2sin ?
点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 解: (1)直线 l : y ? x ? 4 ,圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ??1 分 ??3 分 ??5 分

?y ? x ? 4 ? x ? ?2 ? x ? 0 由? 2 , 解得 或? , ? 2 y ? 4 y ? 2 x ? ( y ? 2) ? 4 ? ? ?
对应的极坐标分别为 (2 2,
3? ? ) , (4, ) . 2 4

(2)[方法 1]设 P(2cos ? , 2 ? 2sin ? ) ,则 d ?

2cos ? ? 2sin ? ? 2 2

? 2

2 cos(? ? ) ? 1 4

?

? 当 cos(? ? ) ? 1 时, d 取得最大值 2 ? 2 . 4
[方法 2]圆心 C (0, 2) 到直线 l 的距离为

??10 分

2 2

? 2 ,圆的半径为 2
??10 分

∴ P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 2 ? 2 .

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