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向量组的线性相关性


第四章
T T

向量组的线性相关性
T

1.设 v1 = (1, 1, 0) , v2 = (0, 1, 1) , v3 = (3, 4, 0) , 求 v1 v2 及 3v1 + 2v2 v3 . . 解

v1 v2 = (1, 1, 0)T (0, 1, 1)T = (1 0, 1 1, 0 1)T = (1, 0, 1)T 3v1 + 2v2 v3 = 3(1, 1, 0)T + 2(0, 1, 1)T (3, 4, 0)T
= (3 × 1 + 2 × 0 3, 3 × 1 + 2 × 1 4, 3 × 0 + 2 × 1 0)T = (0, 1, 2)T

T T T 2.设 3(a1 a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 其中 a1 = ( 2,5,1,3) , a2 = (10,1,5,10) , a3 = ( 4,1,1,1) ,求 a . . 求



由 3(a1 a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 整理得

a=

1 1 (3a1 + 2a2 5a3 ) = [3(2,5,1,3)T + 2(10,1,5,10)T 5(4,1,1,1)T ] = (1,2,3,4)T 6 6

3. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, 2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明 B 组能由 A 组线性表示, 但 A 组不能由 B 组线性表示. 证明 由
0 ( A, B) = 1 2 3 1 ~ 0 0 0
r

3 0 1 2

2 3 0 1

2 0 4 1 r 1 2 4 ~ 0 1 1 1 0 2 1 3 0

0 3 1 2 4 3 2 2 0 4 1 6 1 5 7 2 8 1 7 9 0 3 1 2 4 1 6 1 5 7 0 4 1 3 5 0 0 0 0 0

0 3 1 6 0 20 0 4

1 2 4 1 r 1 5 7 ~ 0 5 15 25 0 1 3 5 0

知 R(A)=R(A, B)=3, 所以 B 组能由 A 组线性表示. 由
2 0 4 1 0 2 1 r r B = 1 2 4 ~ 0 2 2 ~ 0 1 1 1 0 1 1 0 2 1 3 0 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0

知 R(B)=2. 因为 R(B)≠R(B, A), 所以 A 组不能由 B 组线性表示.
4. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T;
27

B: b1=(1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, 1)T, 证明 A 组与 B 组等价. 证明 由
1 1 3 0 (B, A) = 0 2 2 1 1 1 1 1 1 r 1 1 3 0 1 r 1 1 3 0 1 ~ 0 2 2 1 1 ~ 0 2 2 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 , 0

知 R(B)=R(B, A)=2. 显然在 A 中有二阶非零子式, 故 R(A)≥2, 又 R(A)≤R(B,
A)=2, 所以 R(A)=2, 从而 R(A)=R(B)=R(A, B). 因此 A 组与 B 组等价. 5. 已知 R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1 能由 a2, a3 线性表示; (2) a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示.

证明

(1)由 R(a2, a3, a4)=3 知 a2, a3, a4 线性无关, 故 a2, a3 也线性无关.

又由 R(a1, a2, a3)=2 知 a1, a2, a3 线性相关, 故 a1 能由 a2, a3 线性表示.
(2)假如 a4 能由 a1, a2, a3 线性表示, 则因为 a1 能由 a2, a3 线性表示, 故

a4 能由 a2, a3 线性表示, 从而 a2, a3, a4 线性相关, 矛盾. 因此 a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T.



(1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A. 因为 1 2 1 r 1 2 1 r 1 2 1 A = 3 1 4 ~ 0 7 7 ~ 0 1 1 , 1 0 1 0 2 2 0 0 0

所以 R(A)=2 小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B. 因为 2 1 0 | B |= 3 4 0 = 22 ≠ 0 , 0 0 2
28

所以 R(B)=3 等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关. 7. 问 a 取什么值时下列向量组线性相关? a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, 1)T, a3=(1, 1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A. 由
a 1 1 | A|= 1 a 1 = a(a 1)(a +1) 1 1 a

知, 当 a=1、0、1 时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.
8. 设 a1, a2 线性无关, a1+b, a2+b 线性相关, 求向量 b 用 a1, a2 线性表示的表

示式. 解 因为 a1+b, a2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2 使

由此得 设c=

λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0, λ λ λ λ b = 1 a1 2 a2 = 1 a1 (1 1 )a2 , λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2

λ1 , 则 λ1 + λ2
b=ca1(1+c)a2, c∈R.

9. 设 a1, a2 线性相关, b1, b2 也线性相关, 问 a1+b1, a2+b2 是否一定线性相关?

试举例说明之. 解 不一定.
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,

例如, 当 a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(1, 1)T, b2=(0, 0)T 时, 有 而 a1+b1, a2+b2 的对应分量不成比例, 是线性无关的.

10.举例说明下列各命题是错误的: .举例说明下列各命题是错误的 是线性相关的,则 线性表示. (1) 若向量组 a1 , a2 , , am 是线性相关的 则 a1 可由 a2 , am , 线性表示 (2) 若 有 不 全 为 0 的 数

λ1 , λ2 , , λm 使

λ1a1 + + λm am + λ1b1 + + λm bm = 0 成 立 , 则
29

a1 , , am
线性相关, 亦线性相关. 线性相关 b1 , , bm 亦线性相关 (3) 若只有当 λ1 , λ2 , , λm 全为 0 时,等式 等式

λ1a1 + + λm am + λ1b1 + + λm bm = 0 才能成立 则 才能成立,则 λ1 , λ2 , , λm 使

a1 , , am 线性无关 b1 , , bm 亦线性无关 线性无关, 亦线性无关.
(4) 若 a1 , , am 线 性 相 关 , b1 , , bm 亦 线 性 相 关 , 则 有 不 全 为 0 的 数 ,

λ1 a1 + + λ m a m = 0,
a2 ,, am , 线性表示.

λ1b1 + + λ m bm = 0. 同时成立 同时成立.

解 (1) 设 a1 = e1 = (1,0,0, ,0) , a2 = a3 = = am = 0 满足 a1 , a2 , , am 线性相关, 但 a1 不能由 (2) 有不全为零的数 λ1 , λ2 , , λm 使 原式可化为

λ1a1 + + λm am + λ1b1 + + λm bm = 0 λ1 (a1 + b1 ) + + λm (am + bm ) = 0

取 a1 = e1 = b1 , a2 = e2 = b2 , , am = em = bm . 其中 e1 , , em 为单位向量,则上式成立,而

a1 , , am , b1 , , bm 均线性相关.
(3) 由 λ1a1 + + λm am + λ1b1 + + λm bm = 0 (仅当 λ1 = = λm = 0 )

a1 + b1 , a2 + b2 , , am + bm 线性无关
取 α1 = α 2 = = α m = 0 , 取 b1 , , bm 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是 α1 ,α 2 ,,α m 线性无关的. (4)

a1 = (1,0)T a2 = (2,0) T b1 = (0,3)T b2 = (0,4) T λ1a1 + λ2 a2 = 0 λ1 = 2λ2 3 λ1 = λ2 = 0 与题设矛盾. λ1b1 + λ2b2 = 0 λ1 = λ2 4

11.设 b1 = a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a4 , b4 = a4 + a1 ,证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关 . 线性相关. 证明向量组 证明 设有 x1 , x2 , x3 , x4 使得

x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则 x1 (a1 + a2 ) + x2 (a2 + a3 ) + x3 (a3 + a4 ) + x4 (a4 + a1 ) = 0 ( x1 + x4 )a1 + ( x1 + x2 )a2 + ( x2 + x3 )a3 + ( x3 + x4 )a4 = 0
(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关,则存在不全为零的数 k1 , k 2 , k 3 , k 4 ,

k1 = x1 + x4 ; k 2 = x1 + x2 ; k3 = x2 + x3 ; k 4 = x3 + x4 ; 由 k1 , k 2 , k 3 , k 4 不全为零,知 x1 , x2 , x3 , x4 不全为零,即 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关.
1 0 0 1 x1 x1 + x4 = 0 x1 + x2 = 0 1 1 0 0 x 2 = 0 (2) 若 a1 , a2 , a3 , a4 线性无关, 则 x + x3 = 0 0 1 1 0 x3 2 0 0 1 1 x x3 + x4 = 0 4 1 0 0 1 1 1 0 0 = 0 知此齐次方程存在非零解. 则 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 由 0 1 1 0 0 0 1 1
综合得证. 线性无关,证明向量组 12.设 b1 = a1 , b2 = a1 + a2 , , br = a1 + a2 + + ar ,且向量组 a1 , a 2 ,, a r 线性无关 证明向量组 . 且向量组

b1 , b2 , , br 线性无关 线性无关. 证明 设 k1b1 + k 2 b2 + + k r br = 0 则
30

( k1 + + k r ) a1 + ( k 2 + + k r ) a 2 + + ( k p + + k r ) a p + + k r a r = 0
因向量组 a1 , a2 ,, ar 线性无关,故

k1 + k 2 + + k r = 0 k2 + + kr = 0 kr = 0

1 0 0

1

0

1 k1 0 1 k 2 0 = 1 k r 0

因为

1 0 0

1

0

1 1 = 1 ≠ 0 故方程组只有零解. 1

则 k1 = k 2 = = k r = 0 . 所以 b1 , b2 , , br 线性无关 13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组 .求下列向量组的秩 并求一个最大无关组 并求一个最大无关组:

1 9 2 2 4 100 (1) a1 = , a 2 = , a3 = ; 1 10 2 4 4 8 T T T (2) a1 = (1,2,1,3) , a2 = ( 4,1,5,6) , a3 = (1,3,4,7) .
解 (1)

2a1 = a3 a1 , a3 线性相关.
T a1 1 2 1 4 1 2 1 4 T 由 a2 = 9 100 10 4 ~ 0 82 19 32 T a3 2 4 2 8 0 0 0 0 秩为 2,一组最大线性无关组为 a1 ,a 2 .

T a1 1 2 1 3 T (2) a2 = 4 1 5 6 T a3 1 3 4 7 T T 秩为 2,最大线性无关组为 a1 , a2 .

~ 0

1

2 1 3 9 9 18 0 5 5 10

~ 0

1

2 1 3 9 9 18 0 0 0 0

14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示 .利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 并把其余列向量用最大无关组线性表示 并把其余列向量用最大无关组线性表示:

25 75 (1) 75 25

31 94 94 32

17 53 54 20

43 132 ; 134 48 25 0 0 0

1 0 (2) 2 1 31 1 1 1 17 2 3 3

1 2 0 1

2 2 1 5 3 1 0 4

1 1 . 3 1 25 0 0 0 31 1 0 0 17 2 1 0 43 3 3 0

解 (1)

25 75 75 25

31 94 94 32

17 53 54 20

43 r 3r1 132 2 ~ 134 r3 3r1 48 r4 r1

43 r r 3 4 3 ~ 5 r r 3 2 5

所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.

1 0 (2) 2 1

1 2 0 1

2 2 1 5 3 1 0 4

1 r 2r1 1 3 ~ 3 r r 4 1 1

1 1 2 2 1 r3 + r2 0 2 1 5 1 ~ 0 2 1 5 1 r r 4 0 0 2 2 2 3
31

1 0 0 0

1 2 2 1 0 2 0 0

2 1 5 1 , 2 2 0 0

所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.

15. 设向量组 (a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T 的秩为 2, 求 a, b. 解 因为
1 3 r 1 1 1 3 1 2 a 2 r 1 1 2 3 3 b ~ 0 1 a 1 1 ~ 0 1 a 1 1 , (a3, a4, a1, a2) = 1 1 1 3 0 1 1 b 6 0 0 2 a b 5

设 a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T.

而 R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以 a=2, b=5.
维向量,已知 维单位坐标向量 能由它们线性表示,证明 16.设 a1 , a2 , , an 是一组 n 维向量 已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , , en 能由它们线性表示 证明 .

a1 , a2 , , an 线性无关 线性无关.
证明

n 维单位向量 e1 , e2 , , en 线性无关. 不妨设: e1 = k11a1 + k12 a2 + + k1n an e2 = k 21a1 + k 22 a2 + + k 2 n an en = k n1a1 + k n 2 a2 + + k nn a n
所以
T e1 k11 T e2 = k 21 eT k n n1

k12 k 22 kn2



T k1n a1 T k 2 n a2 T k nn an

两边取行列式,得
T k11 k12 e1 T k k e2 = 21 22 T k n1 k n 2 en

k1n k2n k nn

T a1 T a2 T an



T e1 T e2 ≠0 T en

T a1 T a2 ≠0 T an

即 n 维向量组 a1 , a2 , , an 所构成矩阵的秩为 n . 故 a1 , a2 , , an 线性无关.

17.设 a1 , a2 , , an 是一组 n 维向量 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一 n 维向量都可由它们线性表 . 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是 证明它们线性无关的充分必要条件是: 示. 设 ε 1 , ε 2 , , ε n 为一组 n 维单位向量,对于任意 n 维向量 证明

a = (k1 , k 2 , , k n )T 则有 a = ε 1k1 + ε 2 k 2 + + ε n k n 即任一 n 维向量都可由单位向量线性表示.
必要性

a1 , a2 , , an 线性无关,且 a1 , a2 , , an 能由单位向量线性表示,即
α1 = k11ε 1 + k12ε 2 + + k1nε n α 2 = k 21ε 1 + k 22ε 2 + + k 2 nε n
α n = k n1ε1 + k n 2ε 2 + + k nnε n
32



T a1 k11 T a 2 = k 21 aT k n n1

k12 k 22 kn2




两边取行列式,得

T k11 k12 a1 T k k a2 = 21 22 T k n1 k n 2 an

T k1n ε 1 k 2 n ε T 2 k nn T ε n T k1n ε 1 T k2n ε 2 T k nn ε n



T a1 T a2 ≠0 T an

k11 k 21 k n1 k12 k 22 kn 2

k12 k 22 kn2



k1n k2n ≠0 k nn

T T k1n a1 ε 1T a1 ε 1T T T T T k2n ε ε a 1 a 令 An×n . 由 2 = A 2 A 2 = 2 aT ε T aT ε T k nn n n n n 即 ε 1 , ε 2 , , ε n 都能由 a1 , a2 , , an 线性表示,因为任一 n 维向量能由单位向量线性表示,故任一

k11 k = 21 k n1

n 维向量都可以由 a1 , a2 , , an 线性表示.
充分性



已知任一 n 维向量都可由 a1 , a2 , , an 线性表示,则单位向量组:

ε 1 , ε 2 , , ε n 可由 a1 , a2 , , an 线性表示,由 8 题知 a1 , a2 , , an 线性无关.

18. 设向量组 a1, a2, , am 线性相关, 且 a1≠0, 证明存在某个向量 ak (2≤k≤m), 使 ak 能由 a1, a2, , ak1 线性表示. 证明 因为 a1, a2, , am 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ,

λm, 使 λ1a1+λ2a2+ +λmam=0,
而且λ2, λ3, , λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a1=0, 由 a1≠0 知

λ1=0, 矛盾. 因此存在 k(2≤k≤m), 使 λk≠0, λk+1=λk+2= =λm=0,
于是

λ1a1+λ2a2+ +λkak=0, ak=(1/λk)(λ1a1+λ2a2+ +λk1ak1),
即 ak 能由 a1, a2, , ak1 线性表示.
19.设向量组 B : b1 , , br 能由向量组 A : a1 ,, a s 线性表示为 .
33

(b1 , , br ) = (a1 , , a s ) K , 矩阵, 组线性无关。 其中 K 为 s × r 矩阵,且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R ( K ) = r . 证明 若 B 组线性无关 令 B = (b1 , , br ) A = (a1 , , a s ) 则有 B = AK 由定理知 R ( B ) = R ( AK ) ≤ min{R ( A), R ( K )} ≤ R ( K ) 由 B 组: b1 , b2 , , br 线性无关知 R ( B ) = r ,故 R ( K ) ≥ r . 又知 K 为 r × s 阶矩阵则 R ( K ) ≤ min{r , s} 由于向量组 B : b1 , b2 , , br 能由向量组 A : a1 , a2 , , as 线性表示,则 r ≤ s ∴ min{r , s} = r 综上所述知 r ≤ R ( K ) ≤ r 即 R ( K ) = r . 若 R(k ) = r 令 x1b1 + x2b2 + + xr br = 0 ,其中 xi 为实数 i = 1,2, , r

x1 则有 (b1 , b2 , , br ) = 0 x r x1 又 (b1 , , br ) = ( a1 , , a s ) K ,则 (a1 , , a s ) K = 0 x r x1 x 由于 a1 , a2 , , as 线性无关,所以 K 2 = 0 x r
k11 x1 + k 21 x2 + + k r1 xr = 0 k x + k x ++ k x = 0 22 2 r2 r 12 1 即 k x + k x ++ k x = 0 2r 2 rr r 1r 1 k1s x1 + k 2 s x2 + + k rs xr = 0 由于 R ( K ) = r 则(1)式等价于下列方程组: k11 x1 + k 21 x2 + + k r1 xr = 0 k x + k x ++ k x = 0 12 1 22 2 r2 r k1r x1 + k 2 r x2 + + k rr xr = 0
由于

(1)

k11 k 21 k r1 k12 k 22 k r 2 ≠0 k1r k 2 r k rr

所以方程组只有零解 x1 = x2 = = xr = 0 .所以 b1 , b2 , , br 线性无关, 证毕.

20. 设

34

α 2 + α 3 + +α n β1 = β 2 =α1 + α + +α 3 n , β =α +α +α + +α n 1 2 3 n 1
证明向量组α1, α2, , αn 与向量组β1, β2, , βn 等价. 证明 将已知关系写成
0 1 (β1, β 2, , β n ) = (α1, α 2, , α n ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 , 0

将上式记为 B=AK. 因为
0 1 | K |= 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 = (1)n1(n 1) ≠ 0 , 0

所以 K 可逆, 故有 A=BK 1. 由 B=AK 和 A=BK 1 可知向量组α1, α2, , αn 与向量组β1, β2, , βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, , αn 与向量组

β1, β2, , βn 等价.
21. 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x=3AxA2x, 且向量组 x, Ax, A2x

线性无关.
(1)记 P=(x, Ax, A2x), 求 3 阶矩阵 B, 使 AP=PB;



因为
AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3AxA2x)
0 0 0 = ( x, Ax, A x) 1 0 3 , 0 1 1
2

0 0 0 所以 B = 1 0 3 . 0 1 1
35

(2)求|A|. 解 由 A3x=3AxA2x, 得 A(3xAxA2x)=0. 因为 x, Ax, A2x 线性无关, 故 3xAxA2x≠0, 即方程 Ax=0 有非零解, 所以 R(A)<3, |A|=0.
22.求下列齐次线性方程组的基础解系: 22.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 x4 = 0

x1 8 x2 + 10 x3 + 2 x4 = 0 3 x1 + 8 x2 + 6 x3 2 x4 = 0

(2) 3 x1 + 5 x2 + 4 x3 2 x4 = 0

2 x1 3 x2 2 x3 + x4 = 0

8 x1 + 7 x2 + 6 x3 3 x4 = 0

(3) nx1 + ( n 1) x2 + 2 xn 1 + xn = 0 .

0 1 8 10 2 初等行变换 1 0 4 3 1 解 (1) A = 2 4 5 1 ~ 0 1 4 4 3 8 6 2 0 0 0 0 x1 = 4 x3 所以原方程组等价于 3 1 x2 = x3 + x4 4 4 取 x3 = 0, x4 = 4 得 x1 = 0, x2 = 1 . 取 x3 = 1, x4 = 3 得 x1 = 4, x2 = 0 ; 4 0 0 , ξ = 1 因此基础解系为 ξ1 = 1 2 0 3 4 2 1 1 0 19 19 2 3 2 1 初等行变换 0 1 14 7 (2) A = 3 5 4 2 ~ 19 19 8 7 6 3 0 0 0 0 2 1 x1 = 19 x3 + 19 x4 所以原方程组等价于 14 7 x2 = x3 + x4 19 19 取 x3 = 1, x4 = 2 得 x1 = 0, x2 = 0 ; 取 x3 = 0, x4 = 19 得 x1 = 1, x2 = 7 . 0 1 0 , ξ = 7 因此基础解系为 ξ1 = 1 2 0 2 19
(3)原方程组即为

xn = nx1 (n 1) x2 2 xn1 取 x1 = 1, x2 = x3 = = xn 1 = 0 得 xn = n 取 x2 = 1, x1 = x3 = x4 = = xn1 = 0 得 xn = (n 1) = n + 1



取 xn1 = 1, x1 = x2 = = xn 2 = 0 得 xn = 2

36

0 1 1 0 所以基础解系为 (ξ1 , ξ 2 , , ξ n1 ) = 0 0 n n +1
23. 23.设 A =

0 0 1 2



2 2 1 3 ,求一个 4 × 2 矩阵 B ,使 AB = 0 ,且 R ( B ) = 2 . 9 5 2 8 1 0 0 1 . 则由 AB = 2 2 1 由于 R ( B ) = 2 ,所以可设 B = x1 x2 9 5 2 x x 3 4

1 0 3 0 1 0 0 = 可得 8 x1 x2 0 0 x x 3 4

1 0 2 0

0 1 0 2

3 0 8 0

0 x1 2 3 x2 2 = , 0 x3 9 8 x4 5

解此非齐次线性方程组可得唯一解

11 1 0 2 x1 1 0 1 x2 = 2 , 故所求矩阵 B = 11 1 . x3 5 2 2 x 2 5 1 4 2 2 1 2 24.求一个齐次线性方程组 使它的基础解系为 ξ1 = (0,1,2,3) T , ξ1 = (3,2,1,0)T . .求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
解 显然原方程组的通解为

x1 0 3 x2 = k 1 + k 2 ,( k , k ∈ R ) x3 1 2 2 1 1 2 x 3 0 4


x1 x2 x 3 x4

= 3k 2 = k1 + 2k 2 = 2k1 + k 2 = 3k1

消去 k1 , k 2 得

2 x1 3 x2 + x4 = 0 x 3x + 2 x = 0 3 4 1

此即所求的齐次线性方程组.

25. 设四元齐次线性方程组

x + x =0 x x + x = 0 I: 1 2 x x = 0 , II: x1 x2 + x3 = 0 . 2 4 2 3 4
求: (1)方程 I 与 II 的基础解系; (2) I 与 II 的公共解. 解

x = x (1)由方程 I 得 1 x = x 4 . 2 4

取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T;
37

取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(1, 1)T. 因此方程 I 的基础解系为

ξ1=(0, 0, 1, 0)T, ξ2=(1, 1, 0, 1)T.
x = x4 由方程 II 得 1 x = x x . 2 3 4
取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(1, 1)T. 因此方程 II 的基础解系为

ξ1=(0, 1, 1, 0)T, ξ2=(1, 1, 0, 1)T.
(2) I 与 II 的公共解就是方程
x1 + x2 = 0 x x = 0 III: 2 4 x x + x =0 x1 x2 + x3 = 0 2 3 4

的解. 因为方程组 III 的系数矩阵
1 A=0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 r 1 ~ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 , 1 2 0 0

所以与方程组 III 同解的方程组为
x1 = x4 x2 = x4 . x3 = 2x4

取 x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(1, 1, 2)T, 方程组 III 的基础解系为

ξ=(1, 1, 2, 1)T.
因此 I 与 II 的公共解为 x=c(1, 1, 2, 1)T, c∈R.
26.设 n 阶矩阵 A 满足 A = A , E 为 n 阶单位矩阵 证明 . 阶单位矩阵,证明
2

R ( A) + R( A E ) = n
(提示 利用矩阵性质 6 和 8。) 提示:利用矩阵性质 提示 。

证明

∵ A( A E ) = A A = A A = 0 所以由 21 题所证可知 R ( A) + R ( A E ) ≤ n 又 ∵ R ( A E ) = R ( E A)
2

由 11 题所证可知

R( A) + R( A E ) = R( A) + R( E A) ≥ R( A + E A) = R( E ) = n
38

由此 R ( A) + R( A E ) = n .

27. 设 A 为 n 阶矩阵(n≥2), A*为 A 的伴随阵, 证明

n R( A*) = 1 0
证明 当 R(A)=n 时, |A|≠0, 故有

当R( A) = n 当R( A) = n 1 . 当R( A) ≤ n 2

|AA*|=||A|E|=|A|≠0, |A*|≠0, 所以 R(A*)=n. 当 R(A)=n1 时, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0, 即 A*的列向量都是方程组 Ax=0 的解. 因为 R(A)=n1, 所以方程组 Ax=0 的 基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为 1. 因此 R(A*)=1. 当 R(A)≤n2 时, A 中每个元素的代数余子式都为 0, 故 A*=O, 从而 R(A*)=0.
28.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

= 5, x1 + x2 (1) 2 x1 + x2 + x3 + 2 x4 = 1, 5 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 3;


x1 5 x2 + 2 x3 3 x4 = 11, (2) 5 x1 + 3 x2 + 6 x3 x4 = 1, 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 + x4 = 6.

1 1 0 0 5 初等行变换 1 0 1 0 8 (1) B = 2 1 1 2 1 ~ 0 1 1 0 13 5 3 2 2 3 0 0 0 1 2 8 1 13 , ξ = 1 ∴η = 0 1 2 0
1 0 1 5 2 3 11 初等行变换 (2) B = 5 3 6 1 1 ~ 0 1 2 4 2 1 6 0 0 1 9 1 2 ,ξ = 1 ,ξ = 1 ∴η = 0 1 7 2 0 0 0 2 9 1 1 7 2 1 1 2 7 2 0 0 0

是它的三个解向量. 29. 29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知 η1 , η 2 , η3 是它的三个解向量.且
39

2 1 3 ,η + η = 2 η1 = 2 3 4 3 5 4
求该方程组的通解. 求该方程组的通解. 解 由于矩阵的秩为 3, n r = 4 3 = 1 ,一维.故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于 η1 , η 2 , η3 均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得

3 4 2η1 (η 2 + η 3 ) = (η1 η 2 ) + (η1 η 2 ) = = 齐次解 5 (齐次解) (齐次解) 6
3 2 4 3 为其基础解系向量,故此方程组的通解: x = k + , ( k ∈ R ) 5 4 6 5

30. 设有向量组 A: a1=(α, 2, 10)T, a2=(2, 1, 5)T, a3=(1, 1, 4)T, 及 b=(1, β, 1)T, 问α, β为何值时 (1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示; (2)向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解

1 1 2 α 1 r 1 2 α 1 1 2 β ~ 0 1 1+α β +1 . (a3, a2, a1, b) = 4 5 10 1 0 0 4 +α 3β

(1)当α=4, β≠0 时, R(A)≠R(A, b), 此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示 . (2)当α≠4 时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组 a1, a2, a3 线性无关, 而向量 组 a1, a2, a3, b 线性相关, 故向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一. (3)当α=4, β=0 时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 , 且表示式不唯一. 当α=4, β=0 时,
1 2 4 1 r 1 0 2 1 (a3, a2, a1, b) = 1 1 2 0 ~ 0 1 3 1 , 4 5 10 1 0 0 0 0

方程组(a3, a2, a1)x=b 的解为
40

x1 2 1 2c +1 x = c 3 + 1 = 3c 1 , c∈R. x2 1 0 c 3

因此 即

b=(2c+1)a3+(3c1)a2+ca1, b= ca1+(3c1)a2+(2c+1)a3, c∈R.

31. 设 a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线

l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2≠0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0, 相交于一点的充分必要条件为: 向量组 a, b 线性无关, 且向量组 a, b, c 线性 相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
a1x + b1 y + c1 = 0 a1x + b1 y = c1 a2 x + b2 y + c2 = 0 , 即 a2 x + b2 y = c2 a3 x + b3 y + c3 = 0 a3 x + b3 y = c3

有唯一解. 上述方程组可写为 xa+yb=c. 因此三直线相交于一点的充分必 要条件为 c 能由 a, b 唯一线性表示, 而 c 能由 a, b 唯一线性表示的充分必 要条件为向量组 a, b 线性无关, 且向量组 a, b, c 线性相关.
32. 设矩阵 A=(a1, a2, a3, a4), 其中 a2, a3, a4 线性无关, a1=2a2 a3. 向量

b=a1+a2+a3+a4, 求方程 Ax=b 的通解. 解 由 b=a1+a2+a3+a4 知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程 Ax=b 的一个解. 由 a1=2a2 a3 得 a12a2+a3=0, 知ξ=(1, 2, 1, 0)T 是 Ax=0 的一个解. 由 a2, a3, a4 线性无关知 R(A)=3, 故方程 Ax=b 所对应的齐次方程 Ax=0 的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, 2, 1, 0)T 是方程 Ax=0 的基础解系. 方程 Ax=b 的通解为 x=c(1, 2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c∈R.
41

33. 的一个解, 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 33.设 η 是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解, ξ1 , , ξ nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证


线性无关; 线性无关。 明: (1) η , ξ1 , , ξ n r 线性无关; (2) η , η + ξ1 , , η + ξ nr 线性无关。


证明 (1)反证法,假设 η , ξ1 , , ξ n r 线性相关,则存在着不全为 0 的数 C0 , C1 , , Cnr 使得下式成立:


C 0η + C1ξ 1 + + C n r ξ n r = 0
由于 η 为特解, ξ1 , , ξ nr 为基础解系,故得


(1)

其中, C0 ≠ 0 否则, ξ1 , , ξ nr 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。

A(C0η + C1ξ1 + + C nrξ nr ) = C0 Aη = C0b
而由(1)式可得 故 b = 0 ,而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 b ≠ 0 产生矛盾,假设不成立, 故

A(C0η + C1ξ1 + + C nrξ nr ) = 0

η , ξ1 , , ξ nr 线性无关.


(2)反证法,假使 η , η + ξ1 , , η + ξ nr 线性相关.


则存在着不全为零的数 C0 , C1 , , Cnr 使得下式成立:

C0η + C1 (η + ξ1 ) + + C n r (η + ξ nr ) = 0
即 (C0 + C1 + + C n r )η + C1ξ1 + + C n rξ n r = 0


(2)

1) 若 C0 + C1 + + C n r = 0 , 由 于

ξ1 , , ξ nr 是 线 性 无 关 的 一 组 基 础 解 系 , 故


C0 = C1 = = Cnr = 0 ,由(2)式得 C0 = 0 此时 C0 = C1 = = Cnr = 0 与假设矛盾.
2) 若 C0 + C1 + + C n r ≠ 0 由题(1)知, η , ξ1 , , ξ n r 线性无关,故

C0 + C1 + + C n r = C1 = C2 = = C nr = 0
综上,假设不成立,原命题得证.

与假设矛盾,

34. 个解, 为实数, 34.设 η1 , , η s 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 s 个解, k1 , , k s 为实数,满足 k1 + k 2 + + k s = 1 .证明

x = k1η1 + k 2η 2 + + k sη s 也是它的解. 也是它的解. 由于 η1 , , η s 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 s 个解. 证明 故有 Aηi = b (i = 1, , s ) 而 A(k1η1 + k 2η 2 + + k sη s ) = k1 Aη1 + k 2 Aη2 + + k s Aη s = b(k1 + + k s ) = b 即 Ax = b ( x = k1η1 + k 2η 2 + + k sη s )
从而 x 也是方程的解. 35. 个线性无关的解( 35.设非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵的秩为 r , η1 , , η n r +1 是它的 n r + 1 个线性无关的解(由 个线性无关的解) 题 24 知它确有 n r + 1 个线性无关的解).试证它的任一解可表示为 x = k1η1 + k 2η2 + + k n r +1ηnr +1 (其中 k1 + + k n r +1 = 1 ).

证明 设 x 为 Ax = b 的任一解. 由题设知: η1 , η 2 , , η n r +1 线性无关且均为 Ax = b 的解. 用反证法证: ξ1 , ξ 2 , , ξ n r 线性无关.

取 ξ1 = η 2 η1 , ξ 2 = η3 η1 , , ξ n r = η n r +1 η1 ,则它的均为 Ax = b 的解. 反设它们线性相关,则存在不全为零的数: l1 , l2 , , l n r 使得

l1ξ1 + l 2ξ 2 + + l nrξ n r = 0
即 亦即

l1 (η 2 η1 ) + l2 (η3 η1 ) + + l n r (ηnr +1 η1 ) = 0

(l1 + l2 + + l nr )η1 + l1η2 + l2η3 + + ln rη nr +1 = 0
42

由 η1 , η 2 , , η n r +1 线性无关知

(l1 + l 2 + + l nr ) = l1 = l2 = = lnr = 0
矛盾,故假设不对. ∴ ξ1 , ξ 2 , , ξ nr 线性无关,为 Ax = b 的一组基. 由于 x, η1 均为 Ax = b 的解,所以 x η1 为的 Ax = b 解 x η1 可由 ξ1 , ξ 2 , , ξ nr 线性表出.

x η1 = k 2ξ1 + k3ξ 2 + + k nr 1ξ nr = k 2 (η2 η1 ) + k 3 (η3 η1 ) + + k nr +1 (η nr +1 η1 ) x = η1 (1 k 2 k3 k nr +1 ) + k 2η 2 + k3η3 + + k nr +1η n r +1 = 0
令 k1 = 1 k 2 k 3 k n r +1 则 k1 + k 2 + k 3 + + k n r +1 = 1

x = k1η1 + k 2η2 + + k n r +1ηnr +1 ,
36.设 .

证毕.

V1 = {x = ( x1 , x2 , , xn )T x1 , , xn ∈ R满足x1 + x2 + + xn = 0} V2 = {x = ( x1 , x2 , , xn )T x1 , , xn ∈ R满足x1 + x2 + + xn = 1}
是不是向量空间?为什么? 问 V1 ,V2 是不是向量空间?为什么? 集合 V 成为向量空间只需满足条件: 证明 若 α ∈ V , λ ∈ R ,则 λα ∈ V 若 α ∈ V , β ∈ V ,则 α + β ∈V

α1 + α 2 + + α n = 0 . β = ( β1 , β 2 , , β n ) T β1 + β 2 + + β n = 0 . α + β = (α1 + β1 , α 2 + β 2 , , α n + β n )T , 且 (α 1 + β 1 ) + (α 2 + β 2 ) + + (α n + β n ) = ( β1 + β 2 + + β n ) + (α1 + α 2 + + α n ) = 0 故 α + β ∈ V1 λ ∈ R, λα = (α1 , α 2 , , α n ) λα1 + λα 2 + + λα n = λ (α1 + α 2 + + α n ) = λ 0 = 0 故 λα ∈ V1
V2 不是向量空间,因为: (α 1 + β 1 ) + (α 2 + β 2 ) + + (α n + β n ) = ( β1 + β 2 + + β n ) + (α 1 + α 2 + + α n ) = 1 + 1 = 2 故 α + β V2 λ ∈ R, λα = (λα1 , λα 2 , , λα n ) . λα1 + λα 2 + + λα n = λ (α1 + α 2 + + α n ) = λ 1 = λ 故当 λ ≠ 1 时, λα V2
37.试证:由 a1 = (0,1,1) , a2 = (1,0,1) , a3 = (1,1,0) 所生成的向量空间就是 R 3 . .试证 由
T T T

V1 是向量空间,因为: α = (α1 , α 2 , , α n )T

证明

设 A = ( a1 , a2 , a3 )

0 1 1 1 1 0 1 A = a1 , a2 , a3 1 0 1 = (1) 1 0 1 = 2 ≠ 0 1 1 0 0 1 1
于是 R ( A) = 3 故线性无关.由于 a1 , a2 , a3 均为三维,且秩为 3, 所以 a1 , a2 , a3 为此三维空间的一组基,故由 a1 , a2 , a3 所生成的向量空间就是 R 3 . 38.由 a1 = (1,1,0,0) T , a 2 = (1,0,1,1) T , 所生成的向量空间记作 L1 ,由 b1 = (2,1,3,3)T , a2 = (0,1,1,1) T , 所 . 由 试证 生成的向量空间记作 L2 ,试证 L1 = L2 . 证明 设 V1 = x = k1a1 + k 2 a 2 k1 , k1 ∈ R ,

{

}

V2 = {x = λ1 β1 + λ2 β 2 λ1 , λ1 ∈ R}
43

任取 V1 中一向量,可写成 k1a1 + k 2 a2 , 要证 k1a1 + k 2 a2 ∈ V2 ,从而得 V1 V2 由 k1a1 + k 2 a2 = λ1 β1 + λ2 β 2 得

k1 + k 2 = 2λ1 k1 = λ2 λ1 2λ1 = k1 + k 2 k = 3λ λ λ + λ = k 1 2 2 1 1 2 k 2 = 3λ1 λ2 上式中,把 k1 , k 2 看成已知数,把 λ1 , λ2 看成未知数 2 0 λ1 , λ2 有唯一解 D1 = =2≠0 1 1 ∴V1 V2 1 1 同理可证: V2 V1 (∵ D2 = 故 V1 = V2 ≠0) 1 0
T T T

的一个基,并把 39.验证 a1 = (1,1,0) , a2 = ( 2,1,3) , a3 = (3,1,2) 为 R 3 的一个基 并把 v1 = (5,0,7) T , v2 = ( 9,8,13) T . 用这个基线性表示. 用这个基线性表示

1 2 3 解 由于 a1 , a2 , a3 = 1 1 1 = 6 ≠ 0 0 3 2
即矩阵 ( a1 , a 2 , a3 ) 的秩为 3. 故 a1 , a2 , a3 线性无关,则为 R 3 的一个基. 设 v1 = k1a1 + k 2 a2 + k 3 a3 ,则

k1 + 2k 2 + 3k3 = 5 k1 + k 2 + k3 = 0 3k 2 + 2k3 = 7 故 v1 = 2a1 + 3a2 a3 设 v2 = λ1a1 + λ2 a2 + λ3 a3 ,则

k1 = 2 k 2 = 3 k 3 = 1

λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 9 k1 = 3 λ1 + λ2 + λ3 = 8 k 2 = 3 3λ2 + 2λ3 = 13 k 3 = 2 故线性表示为 v2 = 3a1 3a 2 2a3

40. 已知 R3 的两个基为 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T. 求由基 a1, a2, a3 到基 b1, b2, b3 的过渡矩阵 P. 解 设 e1, e2, e3 是三维单位坐标向量组, 则
1 1 1 (a1, a2, a3) = (e1, e2, e3)1 0 0 , 1 1 1

44

1 1 1 (e1, e2, e3) = (a1, a2, a3)1 0 0 , 1 1 1

1

于是

1 2 3 (b1, b2, b3) = (e1, e2, e3) 2 3 4 1 4 3 1 1 1 1 2 3 = (a1, a2, a3)1 0 0 2 3 4 , 1 1 1 1 4 3
1

由基 a1, a2, a3 到基 b1, b2, b3 的过渡矩阵为
1 1 1 1 2 3 2 3 4 P = 1 0 0 2 3 4 = 0 1 0 . 1 1 1 1 4 3 1 0 1
1

45


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