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陕西省师大附中2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题


陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 10 道小题,每道小题 5 分,共 50 分) 1.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 (A) 2 ? i (B) 2 ? i

5i =( ) z (C) ?2 ? i (D) ?2 ? i

2.设全集 U ? R, A ? {x | x

( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则 A ? (? B) 是( ) U (A) (?2,1) (B) (?2,1] (C) [1, 2) (D) (1, 2)

3.已知三条直线 l1 : 4 x ? y ? 1 ,l2 : x ? y ? 0 ,l3 : 2x ? my ? 3 , l1 关于 l2 的对称直线与 l3 若 垂直,则实数 m 的值是( ) (A) ?8 (B) ?

1 2

(C) 8

(D)

1 2

4.下列有关命题的说法正确的是( )
2 2 (A)命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . 2 (B) x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “

(C)命题“存在 x ? R, 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对任意 x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” . (D)命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图, 俯视图是边长为 2 的正三角形, 那么该三棱锥的左 视图可能为( )

6.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 分图象如图所示,则( )

?
2

) 的一部

开始 输入 f 0 ( x)

? ? ) ? 1 (B) f ( x) ? 2sin(3x ? ) ? 2 3 6 ? ? (C) f ( x) ? 2sin(3 x ? ) ? 2 (D) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? 7.已知 AB ? ( k ,1) , AC ? (2, 4) ,若 k 为满足 | AB |? 4 的一
(A) f ( x) ? 3sin(2 x ? 否

i?0

i ? i ?1

fi ( x ) ? f i ? 1 ( x ) ?
i ? 2013
是 输出 fi ( x) 结束

随机整数,则 ?ABC 是直角三角形的概率为( ) (A)

1 7

(B)

3 7

(C)

1 3

(D)

2 3

8.在如右程序框图中,若 f 0 ( x) ? xe x ,则输出的是( ) (A) 2014e ? xe
x x

(B) 2012e ? xe
x

x

(C) 2013e ? xe
x

x

(D) 2013e ? x
x

x2 y 2 9.双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F ,顶点为 A , A2 , P 是双曲线上任意一点,则分别以 1 1 a b
线段 PF , A A2 为直径的两圆一定( ) 1 1 (A)相交 (C)相离 (B)相切 (D)以上情况都有可能

10.设 O 为坐标原点,第一象限内的点 M ( x, y ) 的坐标满足约束条件 ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 , ?x ? y ? 2 ? 0

???? ???? ? ???? 5 1 ON ON ? (a, b) (a ? 0, b ? 0) ,若 OM ? 的最大值为 40 ,则 ? 的最小值为( )
a b
9 (B) (C)1 4 二、填空题(本大题共 5 道小题,每道小题 5 分,共 25 分)

25 (A) 6

(D)4

11.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方 形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容 量为 160, 则中间一组(即第五组)的频数为 .

12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法 向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(?2,3) ,且法向 量 为 n ? ( 1, 2 的 直 线 ( 点 法 式 ) 方 程 为 1? ( x ? 2) ? (?2) ? ( y ? 3) ? 0 , 化 简 得 ? )

?

x ? 2 y ? 8 ? 0 . 类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(?2,1,3) 且法向量为

? n ? (1, ?2, ?1) 的平面(点法式)方程为
(请写出化简后的结果). 13.设函数 f ( x) ? ?

?2|x| , x ? (??,1) ?2 ? ln x, x ?[1, ??)

, 若 f ( x) ? 4 ,则实数 x 的取值范围是

.

14.已知数列 {an } 满足 a1 ? 66, an?1 ? an ? 4n, 则

an 的最小值为__________. n

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)若实数 x , y 满足 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 2x ? y 的最大值为 B.(几何证明选做题)如图,已知 Rt ? ABC 的两条直角 边 AC , BC 的长分别为 3cm, 4cm ,以 AC 为直径的圆 与 AB 交于点 D ,则 .

A D O

BD ? DA

.

B C

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程 为?

? x ? cos ? , 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 (?为参数) , ? y ? 1 ? sin ?
.

标方程为 ? cos ? ? 1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为

三、解答题(本大题共 6 道小题,满分 75 分) 16.(本小题 12 分) 已知 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn ? 4 . (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数 k ,使

Sk ?1 ? 2 ? 2 成立. Sk ? 2

2 17.(本小题 12 分)已知 f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2sin

?x
2

( ? ? 0) 的最小正周期为 3? .

(Ⅰ)当 x ? [

? 3?
2 , 4

] 时,求函数 f ( x) 的最小值;

2 (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2sin B ? cos B ? cos( A ? C) ,求 sin A 的值.

18.(本小题 12 分)如图,已知直角梯形 ACDE 所在的 平 面 垂 直 于 平 面 ABC , ?BAC ? ?ACD ? 90? , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE .

E

D

(Ⅰ)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 C A EAB ?请证明你的结论; B (Ⅱ) 求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦 值. 19.(本小题 12 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A, B, C 三个社区参加社会实践, 要求每个社区至少有一名同学.

(Ⅰ)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ? 的分布列和 E? 的值.

20.(本小题 13 分)已知平面内的一个动点 P 到直线 l : x ?

4 3 的距离与到定点 F ( 3,0) 3

的距离之比为

1 2 3 ,点 A(1, ) ,设动点 P 的轨迹为曲线 C . 2 3

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点.求 ?MAN 面积的最大值. 21.(本小题 14 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(理科)答案
一、选择题( 10 ? 5 ? 50 分) 1 2 3 题号 答案 A C D 二、填空题( 5 ? 5 ? 25 分) 11. 36 . 12. x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 . 14. 21 . 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 9 B 10 A

13. (??, ?2) ? (e2 , ??) .

15.

A.

11

.

B.

16 9

.

C.

(?1,1),(1,1)

.

三、解答题( 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)由题意, an ? Sn ? 4 , an?1 ? Sn?1 ? 4 , 由两式相减,得 (an?1 ? Sn?1 ) ? (an ? Sn ) ? 0 , 即 2an?1 ? an ? 0 , an ?1 ?

1 an , 2 又 2a1 ? a1 ? S1 ? 4 ,∴ a1 ? 2 ,

??????3 分

∴数列 {an } 是以首项 a1 ? 2 ,公比为 q ?

1 的等比数列.????6 分 2

1 2[1 ? ( )n ] 2 ? 4 ? 22 ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn ? ??????8 分 1 1? 2 4 ? 21?k ? 2 S ?2 ? 2, 又由 k ?1 ? 2 ,得 4 ? 22 ? k ? 2 Sk ? 2 2 3 1? k k ?1 整理得 ? 2 ? 1 ,即 1 ? 2 ? , ??????10 分 3 2 3 k ?1 ∵ k ? N * ,∴ 2k ?1 ? N * ,这与 2 ? (1, ) 相矛盾, 2 故不存在这样的 k ,使不等式成立. ??????12 分
17. (本小题满分12分) 【解析】∵ f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2 ?

1 ? cos(? x) 2

? ? (Ⅰ)由 2



2?

? 3 sin(? x) ? cos(? x) ? 1 ? 2sin(? x ? ) ? 1 ,???2分 6 2 2 ? ? 3? 得 ? ? ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 . ???4分 3 3 6 3? ? 2 ? 2? ?x? 得 ? x? ? , 4 2 3 6 3

?

∴当 sin( x ?

2 3

?
6

)?
2 3

3 3 时, f ( x) min ? 2 ? ? 1 ? 3 ? 1 .???6分 2 2

(Ⅱ)由 f (C ) ? 2sin( C ?

2 ? ) ? 1 及 f (C ) ? 1 ,得 sin( C ? ) ? 1 , 6 3 6 ? ? 2 ? 5? 2 ? ? 而 ? C? ? , 所以 C ? ? ,解得 C ? .???8分 2 6 3 6 6 3 6 2
在 Rt ?ABC 中,∵ A ? B ?

?

?

2

, 2sin B ? cos B ? cos( A ? C) ,
2

2 ∴ 2cos A ? sin A ? sin A ? 0 ,

??????10分

2 ∴ sin A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得 sin A ?

?1 ? 5 . 2




0 ? sin A ? 1



sin A ?

5 ?1 . 2

??????12分

E

D

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P .??????2 分 证明如下:

M A F B P

C

取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

1 AC , 2 取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形, 1 ∴ ED ? MC ? AC .??????4 分 2 又∵ ED // AC , ∴ ED // FP 且 ED ? FP ,四边形 EFPD 是平行四边形. ∴ DP // EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP // 平面 EAB .??6 分 (Ⅱ) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED // AC , ∴ ED // l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.??8 分 E D ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC ,

FP // AC , FP ?

又∵ l ? 平面 ABC ,? DC ? l , ∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角.??????10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? ∴ GD ? GC ? CD ? 7a ,
2 2

3a , GC ? 2a ,
F

M A
P

C

B

G

GC 2 7 . ???12 分 ? GD 7 (法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC ,
∴ cos? ? cos?DGC ? ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) .设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,得 B( 2a , 0 , 0) ,

E(0 , a , 3a) , D(0 , 2a , 3a) .
∴ EB ? (2a , ? a , ? 3a) , ED ? (0 , a , 0) ,???????8 分 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z) ,

?

z

E

D

? ??? ? ??? ? ? 则 n ? EB 且 n ? ED , ? ??? ? ?n ? EB ? 0 , ?2ax ? ay ? 3az ? 0 , ? ∴ ? ? ??? ∴? ? ?n ? ED ? 0 . ?ay ? 0 . ?
? 3 ?x ? z, 解之得 ? 2 ?y ? 0 . ?
F B

M A P

C

y

x

取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为 n ? ( 3 , 0 , 2) . 又∵平面 ABC 的一个法向量为 n? ? (0 , 0 ,1) . ??10 分

?

???10 分

??

? ?? cos ? ? cos ? n , n? ? ?
19.(本小题满分12分)

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 ( 3) ? 0 ? 2 ? 0 ? 0 ? 1
2 2 2 2 2 2

?

2 7 .???12 分 7

【解析】 (Ⅰ)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 EA ,那么 p( EA ) ? 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是

2 A2 1 ? , 2 3 C4 A3 18

1 . 18

??????2分
3 A3 1 ? ,?????4分 2 3 C4 A3 6

(Ⅱ)记甲、乙两人在同一社区为事件 E ,那么 p( E ) ?

所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是 p ( E ) ? 1 ? p ( E ) ?

5 . ?????6分 6

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为1,2.事件“ ? ? i (i ? 1, 2) ”是指有 i 个同学到 A 社区,
2 2 C4 A2 1 则 p(? ? 2) ? 2 3 ? .??????8分 C4 A3 3

所以 p (? ? 1) ? 1 ? p (? ? 2) ?

2 ,??????10分 3
1 2

? 的分布列是:

?
p

2 3

1 3

∴ E? ? 1?

2 1 4 ? 2 ? ? .??????12分 3 3 3

20. (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)设动点 P 到直线 l 的距离为 d ,则 点 P 的轨迹为椭圆. ∵ c ? 3, e ? ??????2 分

| PF | 3 ,根据圆锥曲线的统一定义, ? d 2

c 3 2 2 2 ,∴ a ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 1 . ? a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????4 分

(Ⅱ)若直线 l 存在斜率,设其方程为 y ? kx, l 与椭圆 C 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .

将 y ? kx 代入椭圆 C 的方程 ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? ∴ | MN |?

x2 ? y 2 ? 1并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ? 0 . 4
??????6 分

4 . 1 ? 4k 2

(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

16 4 1? k 2 . ? (1 ? k ) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
1 |k ? | 2 , 又点 A 到直线 l 的距离 d ? 1? k 2
∴ S?MAN ?

??????8 分

1 | 2k ? 1| (2k ? 1) 2 4k ,?????10 分 | MN | ?d ? ? ? 1? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

① 当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ; ②当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ; ③当 k ? 0 时, S?MAN ? 1 ?

4k 4 4 ? 1? ? 1? ? 2. 2 1 1 ? 4k 2 4 (? ) ? (?4k ) k

若直线 l 的斜率不存在,则 MN 即为椭圆的短轴,∴ | MN |? 2 ,∴ S?MAN ? 1 。 综上, ?MAN 的面积的最大值为 2 . 21. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 . 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ??2 分 ??????13 分

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 1 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;??????4 分 e e e e 1 1 ② ? t ? t ? 1 ,即 t ? 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t . e e
① 0?t ?

所以 f ( x ) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? . ?t ln t , t ? 1 ? e ?
2

??????????????6 分

(Ⅱ) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

3 , x

设 h( x) ? 2 ln x ? x ?

3 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 0) ,则 h?( x) ? ,??????8 分 x x2

① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减,② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 所以 a ? h( x)min ? 4 . (Ⅲ)问题等价于证明 x ln x ? ??????10 分

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e
1 1 ,当且仅当 x ? 时取到.?12 分 e e

由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? 设 m( x ) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x ,易知 x e e e 1 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. ??????14 分 e ex


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