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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(10)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、单项选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.请把答案填写后面的选择 题答题卡中,否则不评分). 1、 复数 a ? bi (a, b ? R) 的平方是一个实数的充要条件是 (A) a=0 且 b≠0 (B) a≠0 且 b=0 (C) a=0 且 b=0 ( (D) a=0 或 b=0 ( ) )

2、△ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列,则 b 边所对的角为 (A) 锐角 (B) 钝角 (C) 直角 (D) 不能确定

3、函数 f ( x) ? x ln x ,则 (A) 在 (0, ? ) 上递增; (B) 在 (0, ) 上递增; (B)在 (0, ? ) 上递减; (D)在 (0, ) 上递减





1 e

1 e

4、五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队 不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有 (A) C C 种
1 4 4 4

(
4 4

)

(B) C A 种

1 4

4 4

(C) C 种 (D) A 种

4 4

5、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ?1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 (A)-1<a<2 (C)a<-3 或 a>6 (B) -3<a<6 (D) a<-1 或 a>2 ( )

6、

?

4

?2

e dx 的值等于
4 2 (B) e ? e 4 2 (C) e ? e ? 2 4 ?2 (D) e ? e ? 2

x





( A) e4 ? e?2

7、已知 f(x)是定义域 R 上的增函数,且 f(x)<0,则函数 g(x)=x f(x)的单调情况一 定是 (A) 在(-∞,0)上递增 (C)在 R 上递增 (B)在(-∞,0)上递减 (D)在 R 上递减 ( ) ( )

2

8、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是

( A)

5

( B) 2 5

(C ) 3 5

(D) 0
( )

9、设 a、b 为正数,且 a+ b≤4,则下列各式中正确的一个是
第 1 页 共8页

(A)

1 1 ? ?1 a b

(B)

1 1 ? ?1 a b

(C)

1 1 ? ?2 a b

(D)

1 1 ? ?2 a b

10、已知函数 y ? xf ?( x ) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数),下面四个 图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )

y
1

x
1 2

-2

-1 -1

O

一、选择题答题卡(共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 11 、 一 物 体 以 v(t)=t -3t+8(m/s) 的 速 度 运 动 , 则 其 在 前 30 秒 内 的 平 均 速 度 为 ______________(m/s). 12、设平面内有 n 条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( 4) =____________;当 n ? 4 时,
2

f (n) ? __________________________. n 表示) (用
13、编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中有 且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有 种.(用数字作答)

14、已知 f ( x) ? lg x ,函数 f (x ) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ; ② 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ;



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

④ f( .

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

上述结论中正确结论的序号是

第 2 页 共8页

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分) 求抛物线 y2 ? 2x 与直线 y ? 4 ? x 围成的平面图形的面积.

第 3 页 共8页

16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x (I)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值. (II)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程.

3 2

第 4 页 共8页

17、 (本小题满分 14 分)

1 1 1 1 1 当 n ? N *时,S n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n 1 1 1 1 Tn ? ? ? ?? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n (1)求S1 , S2 , T1 , T2 . (2)猜想 Sn 与Tn 的关系, 并用数学归纳法证明.

第 5 页 共8页

18、 (本小题满分 14 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ?1) x2 ? nx ?1的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的 取值范围.

第 6 页 共8页

19、 (本小题满分 14 分) 如图,在直线 y ? 0和y ? a(a ? 0) 之间表示的是一条河流,河流的一侧河岸(x 轴)是一 条公路,且公路随时随处都有公交车来往. 家住 A(0,a)的某学生在位于公路上 B(d,0) (d>0) 处的学校就读. 每天早晨该学生都要从家出发, 可以先乘船渡河到达公路上某一点, 再乘公交车去学校,或者直接乘船渡河到达公路上 B( d, 0)处的学校. 已知船速为 ?0 (?0 ? 0) ,车速为 2?0 (水流速度忽略不计). (Ⅰ)若 d=2a,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所用的最短时间; (Ⅱ)若 d ?

a ,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所用的最短时间. 2

第 7 页 共8页

20、 (本小题满分 14 分) 2 已知 A(-1,2)为抛物线 C: y=2x 上的点,直线 l1 过点 A,且与抛物线 C 相切,直 线 l2 :x=a(a≠-1)交抛物线 C 于 B,交直线 l1 于点 D. (1)求直线 l1 的方程. (2)设 ?BAD 的面积为 S1,求 BD 及 S1 的值. (3)设由抛物线 C,直线 l1 , l2 所围成的图形的面积为 S2,求证 S1:S2 的值为与 a 无 关的常数.

第 8 页 共8页

参考答案
一、选择题答题卡(共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 。 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 B 10 C

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 11、263 12、5,

1 (n ? 2)(n ? 1) 2

13、20

14、①③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分) 解: 由方程组 ?

? y 2 ? 2x 解出抛物线和直线的交点为(2, 2)及(8, -4)……2 分 ?y ? 4 ? x
2 x ,下半支方程为 y ? ? 2 x 所以……3 分
……………………………………5 分
,2) (2

解法 1:选 x 作为积分变量,由图可看出 S=A1+A2 在 A1 部分:由于抛物线的上半支方程为 y ?

S A1 ? ? [ 2 x ? (? 2 x )]dx ? 2 2 ? x 2 dx
0 0

2

2

1

2 ? 2 2 ? x2 3
8 2

3 2 0

16 ? 3

…………………………………………………………7 分
8

S A2 ? ? [4 ? x ? (? 2 x )]dx

…………………………………………………9 分
(8,-4)
3 2 8 2

1 2 2 ? (4 x ? x 2 ? x ) 2 3
于是: S ?

?

28 ……………………………………………11 分 3

16 38 ? ? 18 ………………………………………………………………12 分 3 3

解法二: 选 y 作积分变量,将曲线方程写为

y2 x? 及x ? 4? y 2 S??
2

………………………………………………………………2 分

?4

[(4 ? y ) ? y2 y3 ? ) 2 6

y2 ]dy 2
2 ?4

…………………………………………………………6 分

? (4 y ?

……………………………………………………………10 分

第 9 页 共8页

? 30 ?12 ? 18

…………………………………………………………………………12 分

16、 (本小题满分 12 分) 解: (I) f '( x) ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ? [?3, ?1) 或 x ? (1, ] 时, f '( x) ? 0 , ……………………………………………2 分

3 2

3 ?[?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x) 的单调增区间 2 当 x ? ( ?1,1) 时, f '( x) ? 0 , ?[?1,1] 为函数 f ( x ) 的单调减区间
又因为 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( ) ? ? 所以当 x ? ?3 时, f ( x)min ? ?18 当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2

3 2

9 ,………………………………5 分 8

………………………………………………6 分

3 (II)设切点为 Q ( x? , x? ? 3 x? ) ,则所求切线方程为

y ? ( x?3 ? 3x? ) ? 3( x?2 ? 1)( x ? x? )
3 ?

………………………………………………8 分

2 由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x ? 3 x? ) ? 3( x? ? 1)(2 ? x? ) ,

解得 x? ? 0 或 x? ? 3

………………………………………………10 分 ………………………………………………12 分

所以切线方程为 y ? ?3x或y ? 6 ? 24( x ? 2) 即

3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0
17、 (本小题满分 14 分) 解: (1) S1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 ? ? , T2 ? ? ? 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12 * (2)猜想: S n ? Tn ( n ? N ) 即:

…………………………………4 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . (n∈N*)……5 分 2 3 4 2n ?1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n
下面用数学归纳法证明 ① n=1 时,已证 S1=T1 ………………………………………………………………6 分 ② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? . ………………8 分 2 3 4 2k ?1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k 1 1 ? 则 S k ?1 ? S k ? 2k ? 1 2(k ? 1)

第 10 页 共 8 页

? Tk ? ?
?

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

……………………………………………………10 分 ……………………11 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)
? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?? ? ? k ?2 k ?3 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ?

?

1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

? Tk ?1
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立. ………………………………………14 分 18、 (本小题满分 14 分) 解(I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ?1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 ……………………………………3 分 (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ?1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? ……4 分 m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

x
f ?( x) f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
-

2 ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x) 的变化如下表: m 2 ? 2 ? 1? 1 ?1,?? ? ?1 ? ,1? m ? m ?
0 + 0 -

单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ………………………………………………………………………………………………8 分 故有上表知, m ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??,1 ? 当

? ?

2? 2 在 在 ? 单调递减, (1 ? ,1) 单调递增, (1, ?? ) m? m

上单调递减.………………………………………………………………………………9 分 (III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ?1) x ? 2 ? 0 …………………………10 分

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,……11 分 m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ??1 ? 0 ?
又 m ? 0 所以 x2 ? 即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? …………………………………………………………14 分 19、 (本小题满分 14 分) 错误!解: (I)设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上某一点 P(x,0) (0≤x≤d),再乘
第 11 页 共 8 页

? 4 ? 3

? ?

公交车去学校,所用的时间为 t,则 t ? f ( x) ? 分 令 f ?( x) ? 0, 得x ?

a2 ? x2

?0

?

d?x (0 ? x ? d ) .……3 2? 0

3 a. ……………………………………………………5 分 3

且当 0 ? x ? 3 a时, f ?( x) ? 0, …………………………………………………6 分 3 当 3 a ? x ? d时, f ?( x) ? 0, ……………………………………………………7 分 3 当x ?

3 a 时,所用的时间最短,最短时间为: 3
3 2 a) 3 d? 3 a 3 ? (1 ? 3 ) a .………………………………9 分 2? 0 2 ?0

a2 ? ( t?

?0

?

答:当 d=2a 时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是 (1 ? 3 ) a . 2 ?0 (II)由(I)的讨论可知,当 d= 时, t ? f ( x)为(0, ] 上的减函数,所以当 x ?

a 2

a 2

a 时, 2

即该学生直接乘船渡河到达公路上学校,所用的时间最短.……………………12 分 最短的时间为 t ? 答:当 d ?
a a2 ? ( )2 2 ? 5a ………………………………………………14 分 ?0 2? 0

5a a 时,该学生从家出发到达学校所用的最短时间是 . 2? 0 2
………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分 ……………………5 分 ………………………………6 分

20、 (本小题满分 14 分) (1)由 y ? 2x2得y? ? 4x, 当 x=1 时,y'=-4 ∴ l1 的方程为 y-2=-4(x+1)即 y=-4x-2 (2) ?

? y ? 2 x2

?x ? a ?x ? a 由? 得 D 点坐标( a ,-4 a -2) ? 4 x ? y ? 12 ? 0
点 A 到直线 BD 的距离为 a ? 1 ,

得 B 点坐标为( a,2a2 )

BD = 2 a 2+4 a +2=2( a +1)2
∴S1= a ? 1
3

………………………………7 分
第 12 页 共 8 页

(3)当 a >-1 时,S1=( a +1) ,

3

………………………………………8 分

S 2? ?

[2 x 2 ? (?4 x ? 2)]dx ?1 a ? ? (2 x 2 ? 4 x ? 2)dx ?1 a 2 ? ( x3 ? 2 x 2 ? 2 x) ?1 3 ? 2 (a ? 1)3 3

a

…………………………………………9 分

…………………………………………10 分

3 ∴S1:S2= ………………………………………………………………………11 分 2 3 当 a <-1 时,S1= -( a +1) ……………………………………………………12 ?1 2 S 2 ? ? [2 x ? (?4 x ? 2)]dx a ……………………………………………13 分 ?1 2 2 3 ? ? (2 x ? 4 x ? 2)dx ? ? (a ? 1) a 3 3 ∴S1:S2= 2 3 综上可知 S1:S2 的值为与 a 无关的常数,这常数是 …………………………………14 分 2

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