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高二数学培优必修1-5综合题


高二数学培优必修 1-5 综合题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、 在数轴上的区间[0,3]上任取一点,则此点落在区间[2,3]上的概率是( A、 )

1 3

B、

1 2

C、

2 3

D、

3 4


2、已知 a p b p o, c p d p 0 ,那么下列判断中正确的是( A、 a ? c p b ? d 。B、

a b < d c
0

C、 ac > bd 。D、 ad > bc 。 )

3、满足条件 a = 4, b = 3 2, A = 45 的 ?ABC 个数是( A、一个、B、 两个 C、无数个 D、零个

4、如果圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 与 X 轴切于原点,那么(



A、 D=0,E ≠ 0,F ≠ 0。 B、E=F=0,D ≠ 0。 D、D=E=0,F ≠ 0。 C、 D=F=0,E ≠ 0 。 5、在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 300 与 600,则塔高为( A、



400 3

B、

400 3 3

C、

200 3 3

D、

200 3

6、已知下列命题:
2

⑴a

=a

2

(2)

ab a
2

=

b a

(3) (ab) = a ? b

2

2

2

(4) (a ? b) 2 = a ? 2ab + b

2

2

其中真命题的个数是( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 x y 7、已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,则 2 +4 的最小值是( A、8 B、6 C、



3 2

D、 4 2

8、下列函数中既是区间(0, A、 y = x 2 , x ∈ R C、 y = cos 2 x, x ∈ R

π
2

)上的增函数,又是以 π 为周期的偶函数是( B、 y = sin x , x ∈ R D、 y = e sin 2 x , x ∈ R ) D、2 n=5 s=0 WHILE s<14 s=s+n n=n-1 WAND PRINT n END



9、右图程序执行后输出的结果是( A、-1 B、0 C、1

10、已知 x1,x2 是方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根, 当 x12+x22 取最小值时,实数 m 的值是( ) A、2 B、

1 4

C、 ?

1 4

D、-1

1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、 数列

1 3 5 7 9 , , , , , 2 4 8 16 32

K 的一个通项公式

是 12、某市高二数学联考中,对 90 分以上 (含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图 如图所示,若 130-140 分数段的人数为 90 人 ,则 90-100 分数段的人数为 13、函数 y =

log 0.5 (4 x ? 3) 的定义域是

14 、 在 等 比 数 列

{a n }

中 , 已 知 .数列 {a n } 的前 2n 项和

a1 + a 2 = 90 , a 3 + a 4 = 60 ,则 a 5 + a 6 =

S2n= 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (12 分)函数 f ( x) =

x 2 ? 2 x ? 8 的定义域为 A,函数 g ( x) = lg(? x 2 + 2ax + 1 ? a 2 )

的定义域为 B,且 A ∩ B = 空集,求实数 a 的取值范围。

16(14 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成。 已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需 要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂生产一 张 A、 型桌子分别可获利润 2 千元和 3 千元。 B 试问工厂每天应生产 A、 型桌子各多少张, B 才能获得最大利润?

2

17、 (14 分)已知函数 f ( x) = (1)求 f (x ) 的值域 (2)判断 f (x ) 的奇偶性

2x ?1 2x +1

(3)证明 f (x ) 是 R 上的增函数

18、 (14 分)已知数列 {a n } 的前项和 S n = n + 2n, ( n ∈ N )
2 ?

(1)求通项 a n (2)求和:

1 1 1 1 + + +K+ a1 a 2 a 2 a3 a 3 a 4 a n a n +1

3

19、 (12 分)如图,半圆 O 的半径为 2,A 为直径延长线上的一点,且 OA=4,B 为半圆周 上任意一点,从 AB 向外作等边 ?ABC ,设 ∠AOB = θ ,问当 θ 为何值时,四边形 OACB 的面积最大?最大面积是多少?

20、 (14 分)已知四棱锥 S-ABCD,底面为正 方形,SA ⊥ 底面 ABCD,AB=AS=a,M,N 分 别为 AB,AS 中点。 (1)求四棱锥 S-ABCD 的表面积 (2)求证:MN∥平面 SAD

4

高二数学培优必修 1-5 综合题参考答案
1.A; 2.C; 3.B; 4.C; 5.A; 6.B; 7.D;
14.

8.B;
40 ;

9.C;

10.D;

2n ? 1 11.an= n ; 2

12. 810;

3 13. ( ,1] ; 4

? ? 2 ?n ? 270 ?1 ? ? ? ? 。 ? ?3? ? ? ?

解析: 解析
1 1.由两区间长度之比得 ,∴选 A。 3 2.-a>-b>0,-c>-d>0 , 两式相乘得 ac > bd , ∴选 C 。 a b 3 3.由 = 得 sinB= , 又 b>a , ∴B>A, sin A sin B 4 ∴B 可以是互补的两个角,∴有两解. ∴选 B 。 4.圆心在 y 轴上, ∴D=0,又圆过原点,∴F=0 , ∴选 C 。 400 5.设塔高为 h,则 200cot60°=(200-h)cot30°, ∴h= (m ) ,∴选 A 。 3 r r r r 、 6.由 a ? b = a ? b cos θ 知只有(1)(4)正确,∴选 B. 7.2x+4y ≥ 2 2 x + 2 y = 2 2 3 = 4 2
8.y = e sin2x 3 时等式成立,∴选 D. 2 π 不是偶函数,y = x2 不是周期函数,y = cos2x 不是(0, )上的增函数, 2
,

当 x=2y=

∴选 B。 9.该程序的功能是计算到 s=5+4+3+…+n 首次不小于 14 的 n-1 的值. 即(s,n)由以下运算得: 0,5)→(0+5,5-1)→(5+4,4-1)→(9+3,3-1) ( →(12+2,2-1) ,∴输出 n=1,∴选 C。 2 10.∵?=16m -16(m+2)=16(m2-m-2)≥0, ∴m≤-1 或 m≥2。
m+2 ? 1 ? 17 1 1 又∵x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=m -2 ? = ? m ? ? ? ,且 ? 1 ? < 2 ? 4 4 ? 16 4 4 ?
2 2 2 2
2

∴当 m=-1 时 x12+x22 有最小值,∴选 D.。 2n ? 1 11.分别观察分子分母规律得到 an= n 。 2 x 90 12.设 90 至 100 分的人数为 x, 则 = ,故 x=810. 0.45 0.05

1 1 1 1 1 9 13.y=(1+cotx) ( + 2 tan x) = +2+ cotx+2tanx≥ +2+2 cot x ? 2 tan x = , 2 2 2 2 2 2

1 1 9 cotx=2tanx 即 tanx= 时等式成立,∴y∈ [ , +∞) 。 2 2 2 60 2 14.a3+a4=(a1+a2)q2=60, ∴q2= = ,∴ a 5 + a 6 =(a3+a4)q2=40; 90 3 ∵{an}是等比数列,
5

∴ a 1 + a 2 , a 3 + a 4 , a 5 + a 6 ,…, a 2 n ?1 + a 2 n 成等比数列,公比为 q2, ? ? 2 ?n ? 90 ?1 ? ? ? ? (a1 + a 2 )(1 ? q 2 n ) = ? ? 3 ? ? = 270?1 ? ? 2 ? n ? ? ? ∴S2n= ? ? ? ? 2 1? q2 ? ?3? ? ? ? 1? 3 法二:∵{an}是等比数列, ∴ a 1 + a 2 、 a 3 + a 4 、 a 5 + a 6 成等比数列, 60 2 ∴( a 1 + a 2 ) a 5 + a 6 )=( a 3 + a 4 ) ,∴ a 5 + a 6 = ( =40 。 90
2

解答题: 三.解答题 解答题 15.由 ? x 2 + 2ax + 1 ? a 2 >0 得(x-a-1)(x-a+1)<0, ∴B={ x|a-1<x<a+1} 。 又∵A={x|x≥4 或 x≤-2},
A∩ B =φ ,

画数轴可知 a-1≥-2, 且 a+1≤4, ∴ a≥-1,且 a≤3 ∴实数 a 的取值范围是 {a ? 1 ≤ a ≤ 3}
16.设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张, 每天所获利润为 z 千元,则

? x + 2 y ≤ 8, ?3 x + y ≤ 9, ? ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0. ? 目标函数为 Z = 2 x + 3 y 如图,作出可行域, 把直线 l : 2 x + 3 y = 0 向右上方平移至 l ′ 的位置时,

直线经过可行域上的点 M,直线的纵截距最大, 此时 z=2x+3y 取得最大值. ?x + 2 y = 8 ?x = 2 解方程组 ? 得? ,即 M (2,3) ?y = 3 ?3 x + y = 9 ,

答:每天应生产A型桌子2张,B型桌子3张才能获最大利润 。

6

法二: 法二 目标函数 Z = 2 x + 3 y =

7 (x + 2 y ) + 1 (3 x + y ) ≤ 7 × 8 + 1 × 9 =13 5 5 5 5

?x + 2 y = 8 ?x = 2 ∵当 ? 即? 时取等号, ?3 x + y = 9 ? y = 3 ∴每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能获最大利润 。
2x ?1 1+ y 17. (1) 设 y = x ,则 2 x = >0, 1? y 2 +1

,值域是(-1,1) 。 2 法二:∵f(x)=1- x ,而 2x+1>1, 2 +1 2 2 ∴0< x <2, ∴-1 <1- x <1 2 +1 2 +1 ∴ 值域是(-1,1) 。
(2) ∵f(-x)= 2? x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 = =- x =- f(x) 2? x + 1 1 + 2 x 2 +1

∴-1 < y < 1

∴ f(x)是奇函数。
(3) 设 x1 < x2, 则 2 x1 ? 2 x2 <0

∵f(x)=1-

2 , 2 +1
x

2 2 x1 ? 2 x2 ∴f(x1) -f(x2) = x < 0, 2 1 + 1 2 x2 + 1

(

(

)(

)

)

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)是 R 上 的增函数;
18. 1)∵a1=S1=3, ( ∴ n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, n=1 代入上式得 an=3, ∴ an= 2n+1, n∈N*,

(2)∵

1 1 1 ? 1 1 ? = = ?? ? ? a n a n+1 (2n + 1)(2n + 3) 2 ? 2n + 1 2n + 3 ?
1 ?1 1 1 1 1 1 ? ?? ? + ? +L+ ? ? 2 ?3 5 5 7 2n + 1 2n + 3 ?

∴原式 =

n 1?1 1 ? = ? ? ?= 2 ? 3 2n + 3 ? 3(2n + 3)

7

19.

∵ AB2=22+42-2×2×4cosθ=20-16cosθ,
1 3 ∴SOACB= × 2 × 4 sin θ + (20 ? 16 cos θ ) 2 4 =4sinθ-4 3 cosθ+ 5 3 =8 sin(θπ )+5 3 3

∴当 θ =

5π 时 Smax=8+5 3 6

20(1)∵SA⊥底面 ABCD, ∴SA⊥AB,SA⊥AD,SA⊥BC, 又∵BC⊥AB,∴BC⊥平面 SAB, ∴BC⊥SB,同理,CD⊥SD, ∴ΔSAB≌ΔSAD , ΔSBC≌ΔSCD ,

又∵SB= 2 a, ∴S 表面积=2SΔSAB+2SΔSBC+ SABCD 1 1 = 2 × a 2 + 2 × a ? 2a + a 2 = (2 + 2 ) a 2 2 2 (2)取 SD 中点 P,连接 MN、NP、PA, 1 则 NP= CD,且 NP∥CD, 2 1 又∵AM= CD,且 AM∥CD, 2 ∴NP=AM ,NP∥AM, ∴AMNP 是平行四边形, ∴MN∥AP, ∵AP ? 平面 SAD, MN ? 平面 SAD ∴MN∥平面 SAD 。

S

P N A M B S C D

法二: 法二:取 CD 中点 Q,连 MQ、NQ, ∵M、N 是 AB、SC 的中点, ∴NQ∥SD,MQ∥AD, A ∴NQ∥平面 SAD,MQ∥平面 SAD。 M 又 MQ ∩NQ=Q, B ∴平面 MNQ∥平面 SAD, ∴MN∥平面 SAD。 法三:取 SB 中点 R,连 MR、NR, 证明平面 MNR∥平面 SAD,∴MN∥平面 SAD。 (过程略)

N D Q C

8


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