当前位置:首页 >> 数学 >>

【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数


成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

第三章 3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

自主预习学案

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

结合实例,借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导
数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的 多项式函数的单调区间.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

重点:利用求导的方法判断函数的单调性.

难点:探索发现函数的导数与单调性的关系.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

函数的单调性与导函数正负的关系
新知导学

负 1. 观察函数 y=x2 的图象, x<0 时, 切线的斜率都取_______ 正 值,函数 值,函数单调递减;x>0 时,切线的斜率都取______
单调递增. 再观察函数 y= x的图象,除原点外每一点的切线斜率都 正 取_______ 值,函数单调递增.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

思维导航 1.结合高台跳水运动和函数 y=3x,y=x2,y=x3,y= x, 1 y=x 的单调性与导函数值正负的关系,你能得出什么结论?

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

新知导学
2.设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1) 如果在区间 (a , b) 内, f ′(x)>0 ,则 f(x) 在此区间单调

递增 __________ ;
(2) 如果在区间 (a , b) 内, f ′(x)<0 ,则 f(x) 在此区间内单调 递减 __________ .

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

函数的变化快慢与导数的关系 思维导航
2.上面我们已经知道f ′(x)的符号反映f(x)的增减情况,那 么能否用导数解释f(x)变化的快慢呢?

3.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y=,y=x2,
y=x3的图象,观察x>0时,函数增长的快慢,与各函数的导数 值的大小作对比,你发现了什么?

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

新知导学
3 .如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么 快 这 个 函 数 在 这 个 范 围 内 变 化 较 __________ ,其图象比较

陡峭 __________ .

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

牛刀小试 3 1.函数 y=f(x)在定义域(-2,3)内可导,其图象如图所 示.记 y=f(x)的导函数为 y=f ′(x),则不等式 f ′(x)≤0 的解 集为( )

1 A.[-3,1]∪[2,3) 3 1 C.(-2,2]∪[1,2]

1 4 8 B.[-1,2]∪[3,3] 3 1 4 8 D.(-2,-1]∪[2,3]∪[3,3)
第三章 3.3 3.3.1

[答案] A

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[解析] 依题意,当 f ′(x)≤0 时,函数 y=f(x)是减少的, 1 由图象知,x∈[-3,1]∪[2,3).

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

2.函数y=x3+x的单调递增区间为(
A.(0,+∞) C.(1,+∞) [答案] D [解析] ∵y′=3x2+1>0恒成立, B.(-∞,1)

)

D.(-∞,+∞)

∴函数y=x3+x在(-∞,+∞)上是增函数,故选D.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

3.若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是( 1 A.(3,+∞) 1 C.[3,+∞) [答案] C ) 1 B.(-∞,3] 1 D.(-∞,3)

[解析] y′=3x2+2x+m, 由条件知 y′≥0 在 R 上恒成立, 1 ∴Δ=4-12m≤0,∴m≥3.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

4.若在区间(a,b)内有f ′(x)>0,且f(a) ≥0,则在(a,b)内
有( ) A.f(x)>0 C.f(x)=0 [答案] A [解析] ∵在区间(a,b)内有f ′(x)>0,且f(a)≥0, ∴函数f(x)在区间(a,b)内是递增的,且f(x)>f(a)≥0. B.f(x)<0 D.不能确定

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

5 .函数 y = ax3 - 1 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上是减函数,则 a 的取值
范围是__________. [答案] (0,+∞) [解析] ∵y′=3ax2≤0恒成立, ∴a≤0. 当a=0时,y=-1不是减函数, ∴a≠0. 故a的取值范围是(0,+∞).

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

典例探究学案

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

利用导数求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并画出其大致图象. (1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); (2)f(x)=x3-2x2+x. [ 分析 ] 由于函数的单调性与函数导数的符号有关,因 此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.

[解析]

(1)因为f ′(x)=cosx-1<0,因此,函数f(x)=sinx

-x在(0,π)是减少的,其大致图象如图①所示.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

(2)显然函数 f(x)的定义域为 R, ∵f ′(x)=(x3-2x2+x)′=3x2-4x+1, 1 1 令 f ′(x)>0,得 x<3或 x>1;令 f ′(x)<0,得3<x<1, 1 ∴函数 f(x)的递增区间是(-∞,3)和(1,+∞),减区间是 1 (3,1).其大致图象如图②所示.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[ 方法规律总结 ]

1. 函数的单调区间是定义域的子集,利

用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间,必须先 考虑函数的定义域,写函数的单调区间时,一定要注意函数的 不连续点和不可导点. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f ′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

(2014·三亚市一中月考)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间 是( ) A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] ∵f(x)=(x-3)ex, ∴f ′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex, B.(0,3) D.(2,+∞)

由f ′(x)>0得x>2,∴选D.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

已知函数的单调性,确定参数的取值范围
1 3 1 2 若函数 f(x)=3x -2ax +(a-1)x+1 在区间(1,4) 内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求 a 的取值范围.

[解析] 解法一:(数形结合) 如图所示,f ′(x)=(x-1)[x-(a-1)].∵ 在(1,4)内 f ′(x)≤0,在(6,+∞)内 f ′(x)≥0, 且 f ′(x)=0 有一根为 1,∴另一根在[4,6]上.
? ?f ∴? ? ?f ? ′?4?≤0 ?3?5-a?≤0 ,即? , ? ′?6?≥0 ?5?7-a?≥0

∴5≤a≤7.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

解法二:(转化为不等式恒成立的问题)

f ′(x) = x2 - ax + a - 1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内单调递减,所以 f
′(x)≤0在(1,4)上恒成立.即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以 a≥x +1,因为 2<x +1<5 ,所以当 a≥5时,f ′(x)≤0 在 (1,4) 上恒成 立, 又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f ′(x)≥0在(6,+∞) 上恒成立, 所以 a≤x + 1 ,因为 x + 1>7 ,所以 a≤7 时,f ′(x)≥0 在 (6 ,+ ∞)上恒成立.

综上知5≤a≤7.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[ 方法规律总结 ]

1. 已知函数 f(x) 在某区间A 上单调求参数

的值或取值范围时,一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增 时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解,有时也用 数形结合方法求解. 2 . y = f(x) 在 (a , b) 内可导, f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 且 y = f(x) 在 (a,b)内导数为0的点仅有有限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单 调函数,例如: y = x3 在 R 上 f ′(x)≥0 ,所以 y = x3 在 R 上单调递 增.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在(-∞,+∞)上是减函数, 求实数a的取值范围.
[解析] f ′(x)=3ax2+6x-1, 由题意得 3ax2+6x-1≤0 在(-∞,+∞)上恒成立. 1 当 a=0 时,6x-1≤0,x≤6不满足题意,∴a≠0. ? ?a<0 当 a≠0 时,由题意得? , ? ?Δ=36+12a≤0 ∴a≤-3. 综上可知,实数 a 的取值范围是 a≤-3.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

函数与其导函数图象的判断

设 f ′(x) 是函数 f(x) 的导函数,将 y = f(x) 和 y = f
′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

[分析]

若函数f(x)在某一区间上是增加的,则f ′(x)≥0,所

以在此区间导函数图象应在x轴的上方,据此进行判定.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[解析]

对于A,若曲线C1为函数f(x)的图象,由于函数在

(-∞,0)内是减少的,∴f ′(x)<0,∴f ′(x)图象在x轴的下方;函

数在(0,+∞)内是增加的,∴f ′(x)>0,
∴f ′(x)图象在x轴的上方,因此A符合题意. 同理,B,C中若C2为f(x)的图象,C1为f ′(x)的图象也符合

题意;
对于D,若曲线C1为函数f ′(x)的图象,则函数f(x)在(-∞, +∞)内是增加的,与C2不相符;若曲线C2为函数f ′(x)的图象, 则函数f(x)在(-∞,+∞)内是减少的,与C1不相符. 所以答案选D.

[答案] D
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[ 方法规律总结 ]

解决函数与其导函数的图象关系问题

时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象 在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值 在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单 调区间是否一致.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=f ′(x)的图

象可能是(

)

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[答案] A
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[解析]

本题有多种解法,如可以利用函数的单调性的图

象特征进行选择.设 y 轴右侧最高点的横坐标为 x1 ,由题图可 知,函数在(x1,+∞)内是减少的,∴f ′(x)<0,因此A符合题意.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

转化思想的应用——构造法证明不等式 已知x>1,求证:x>lnx.
[解析] 设 f(x)=x-lnx (x>1), 1 x-1 f ′(x)=1- x= x , x-1 ∵x>1,∴f ′(x)= x >0 恒成立, ∴函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数. 又 f(1)=1-ln1=1>0, 即 f(x)>0 对 x∈(1,+∞)恒成立, ∴x-lnx>0,即 x>lnx (x>1).
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[方法规律总结]

构造函数,利用导数确定函数单调性,

把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题, 实现了复杂问题简单化.构造法是用导数研究函数中常用到的 基本方法.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

1 1 求证:3(x-1)>x3 -1,其中 x∈(1,+∞). 1 1 [证明] 设 f(x)=3(x-1)-x3 -1. 1 1 2 1 1 则 f ′(x)=3-3x-3=3(1- ), 3 2 x 1 1 1 ∵x>1,∴ <1,∴3(1- )>0,即 f ′(x)>0, 3 2 3 2 x x ∴f(x)在 x∈(1,+∞)上为单调增函数,而 f(1)=0.

∴当 x>1 时,有 f(x)>f(1)=0. 1 1 即当 x>1 时,3(x-1)>x3 -1 恒成立.
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

研究函数一定要注意函数的定义域 a 设函数 f(x)=ax-x -2lnx,且 f ′(2)=0,求函 数 f(x)的单调区间.

a 2 [错解] ∵f ′(x)=a+x2-x , 4 a ∴f ′(2)=a+4-1=0,∴a=5. 4 4 2 2 ∴f ′(x)=5+5x2-x =5x2(2x2-5x+2),
第三章 3.3 3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

1 令 f ′(x)>0,得 x>2 或 x<2, 1 令 f ′(x)<0,得2<x<2, 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2,+∞),单调 1 递减区间为(2,2).

[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[正解] 由已知得 x>0,故函数 f(x)的定义域为(0,+∞). a 2 ∵f ′(x)=a+x2-x , 4 a ∴f ′(2)=a+4-1=0,∴a=5. 4 4 2 2 ∴f ′(x)=5+5x2-x =5x2(2x2-5x+2),

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

1 令 f ′(x)>0,得 0<x<2或 x>2, 1 令 f ′(x)<0,得2<x<2, 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,2),(2,+∞),单调递减 1 区间为(2,2).

第三章

3.3

3.3.1

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

课时作业
(点此链接)

第三章

3.3

3.3.1


相关文章:
...数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.2.1 Wo...
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.2.1 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 选修 1-1 第三章 ...
...数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.1.3 Wo...
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.1.3 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 选修 1-1 第三章 ...
...高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.2....
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.2.2 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 选修 1-1 第三章 ...
...高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用 综...
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用 综合素质检测 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 第三章综合素质...
...数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.1.1、2...
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题:第3章 导数及其应用3.1.1、2 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 选修 1-1 第三...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.3导数的几何意...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.3导数的几何意义练习 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 导数的几何意义 一、选择题 1.函数 y=f(x...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2导数的运算法...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2导数的运算法则练习 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 导数的运算法则 一、选择题 1.曲线 y=-...
2015-2016学年高中数学 第三章 导数及其应用章末检测 ...
2015-2016学年高中数学 第三章 导数及其应用章末检测 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 第三章 导数及其应用章末检测 新...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.2函数的极值与...
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.2函数的极值与导数练习 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 函数的极值与导数 、选择题 1.(2015...
2015-2016学年高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 ...
2015-2016学年高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 新...
更多相关标签: