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《相似》全章复习与巩固--


《相似》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
【学习目标】 1、了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段; 2、通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、 对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角 形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题; 3、了解图形的位似,能够利用位似将一个

图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受 位似变换后点的坐标的变化; 4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养推理能力,发展逻辑思维能 力和推理论证的表达能力,以及综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、相似图形及比例线段 1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释: (1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两 个图形全等; 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形. 要点诠释: (1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质.
1

(2)相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段:对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等, 如 a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 要点诠释: (1)若 a:b=c:d ,则 ad=bc; (d 也叫第四比例项) (2)若 a:b=b:c ,则 b =ac(b 称为 a、c 的比例中项) . 要点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法(一) :平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形 相似. 判定方法(二) :如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 判定方法(三) :如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这 两个三角形相似. 要点诠释: 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似, 应用时必须注意这个角 必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的. 判定方法(四) :如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似. 要点诠释: 要判定两个三角形是否相似, 只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可, 对于直 角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等; (2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比; 相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质: (1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. (2)相似多边形的周长比等于相似比. (3)相似多边形的面积比等于相似比的平方. 要点三、位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形, 而且每组对应点所在的直线都经过同一 点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 2.位似图形的性质: (1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上; (2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点诠释: (1)位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能 构成位似图形. (2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点 为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k. 【典型例题】
2
2

类型一、相似图形及比例线段 1. 已知: a:b:c=3:5:7 且 2a+3b-c=28, 求 3a-2b+c 的值. 【答案与解析】 ∵a:b:c=3:5:7 设 a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28,∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【总结升华】题目中已知三个量 a,b,c 的比例关系和有关 a,b,c 的等式,我们可以利用这个 等量关系,通过设参数 k, 转化成关于 k 的一元方程,求出 k 后,使得问题得解. 举一反三 【变式】如图,已知直线 a∥b∥c,直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F, AC=4,CE=6,BD=3,则 BF =( )

A.7 【答案】B.

B.7.5

C.8

D.8.5

类型二、相似三角形 2. 如图所示,在 4×4 的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正 方形的顶点上.

(1)∠ABC=________,BC=________; (2)判断△ABC 与△DEF 是否相似,并说明理由. 【答案与解析】 (1)135°, (2)△ABC 和△DEF 相似(或△ABC∽△DEF).

3

因为



,所以

.

又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°,所以△ABC∽△DEF.

【总结升华】 根据正方形的性质和格点三角形的特点, 从边角方面去探究两三角形有关 角的度数和边的长度,利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似. 举一反三: 【变式】下列 4×4 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点 上,则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B. 【高清课堂:相似专题复习 ID 号: 394502 关联的位置名称(播放点名称) : “一线三等角”问题及例 5】 3. 在正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,BP=3PC,Q 是 CD 的中点,求证:△ADQ∽△QCP.

【答案与解析】 ∵BP=3PC,Q 是 CD 的中点, ∴

CP CQ 1 ? ? , DQ AD 2

又∵∠ADQ=∠QCP=90°, ∴△ADQ∽△QCP. 【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质,以及相似三角形的判定. 4. 如图所示,在△ABC 和△DBE 中,若 .

4

(1)△ABC 与△DBE 的周长差为 10 cm,求△ABC 的周长; (2)△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2,求△DBE 的面积. 【答案与解析】 (1)∵ ∴ △ABC∽△DBE. ∴ ∴ , ,设△ABC 的周长为 5k cm,△DBE 的周长为 3k cm, , . . , ,

∴ △ABC 的周长为 (2)∵ △ABC∽△DBE,∴

设 ∴ ∴

, ,解得 k=5, .

.

【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方. 举一反三 【变式】如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 上的一点,DE:EC=2:3,连接 AE、BE、 BD,且 AE、BD 交于点 F,则 S△DEF:S△EBF:S△ABF=( )

A.2:5:25 【答案】D.

B.4:9:25

C.2:3:5

D.4:10:25

5. 如图所示,已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,点 E,F 分别在线段 AD,DC 上(点 E 与点 A,D 不重合),且∠BEF=120°,设 , .

5

(1)求 y 与 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少? 【答案与解析】 (1)在梯形 ABCD 中,AD∥BC, AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,所以∠A=∠D=120°, 所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°. 因为∠BEF=120°,所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°, 所以∠ABE=∠DEF. 所以△ABE∽△DEF,所以 .

因为



,所以



所以 y 与 x 的函数解析式是 (2) 所以当 , 时,y 有最大值,最大值为 .

.

【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质,相似三角形的判定和性质,以及二次函数的最 值问题. 举一反三 【变式】如图所示,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点 D 从点 B 出发,沿线 段 BA 运动到点 A 为止,运动速度为每秒 2 个单位长度.过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E, 设动点 D 运动的时间为 x 秒,AE 的长为 y. (1)求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,△BDE 的面积 S 有最大值,最大值为多少?

【答案】 (1)因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,

6

所以

. , , . ,

又因为 AB=8,AC=6, 所以 ,即

自变量 x 的取值范围为 (2)

. 所以当 类型三、位似 6. 将下图中的△ABC 作下列变换, 画出相应的图形, 指出三个顶点的坐标所发生的 变化. (1)沿 y 轴负方向平移 1 个单位; (2)关于 x 轴对称; (3)以 C 点为位似中心,放大到 1.5 倍. 时,S 有最大值,且最大值为 6.

【答案与解析】 变换后的图形如下图所示.

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(1)将△ABC 沿 y 轴负方向平移 1 个单位后得到△A1B1C1, A1(-5,-1),B1(0,2),C1(0,-1). 即横坐标不变,纵坐标减小. (2)将△ABC 关于 x 轴对称后,得△A2B2C2,A2(-5,0),B2(0,-3),C2(0,0). 即横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数. (3)将△ABC 以 C 点为位似中心,放大到 1.5 倍得△A3B3C3(有 2 个三角形), 显然,A3(-5×1.5,0),B3(0,3×1.5),C3(0,0), 即 A3(-7.5,0), B3(0,4.5),C3(0,0),或 A3 (7.5,0) 、 B3(0,-4.5) 、 C3 (0,0). 【总结升华】 本题应先按图形变换的要求画出相应的图形, 再求出变换后图形的点的坐标, 第(3)问可先求变换后图形的点的坐标,但注意此时的位似中心是原点.

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