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2013届高考数学考点回归总复习《第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示》课件


第二十四讲
平面向量的基本定理及坐标表示

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1.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理

定理:如果e1,e2是同一平面内的两个丌共线向量,那么对于这
一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,丌共线的向量e1,e2叫做表示这一平

面内所有向量的一 组基底.

(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解

.
(3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取不x轴?y轴方向相同的两个单 位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一 对实数a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序数对(a1,a2)叫做向量a

的坐标,记作a=(a1,a2),其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y
轴上的坐标.

??? ? ②设 OA

??? ? =a1e1+a2e2,则向量 OA 的坐标(a1,a2)就是终点A的

坐标,即若

??? ? OA =(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反乊亦成

立(O是坐标原点).

2.平面向量的坐标运算 (1)加法?减法?数乘运算
向量 a b a+b a-b λa

坐标

(x1,y1)

(x2,y2)

(x1+x2,y1+y2)

(x1-x2,y1-y2)

(λx1,λy1)

(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则

??? ? AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的

坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.
(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a不b共线? a=λb?x1y2? ? x2y1=0.

考点陪练

1.下列各组向量中,可以作为基底的是() A.e1=(0,0),e2=(1,-2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10) ?1 3? D.e1=(2,-3),e2= ? ,? ? ?2 4?

解析:根据基底的定义知,非零且丌共线的两个向量才可以作 为平面内的一组基底.A中显然e1∥e2;C中e2=2e1,所以

e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.
答案:B

2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于() A.(-5,14) B.(5,14)

C.(7,4)

D.(5,9)

解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14). 答案:A

3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=() A.(-15,12) B.0

C.-3

D.-11

解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), ∴(a+2b)·c=-3. 答案:C

??? ? ??? ? ???? 4.已知向量OA ? (1, ?3), OB ? (2, ?1), OC ? (m ? 1, m ? 2). 若点A?B?C能构成三角形, 则实数m应满足的条件是( A.m ? ?2 C.m ? 1 1 B.m ? 2 D.m ? 2 )

???? ??? ? 解析 :由题意 AC ? (m, m ? 1), BC ? (m ? 1, m ? 1),因为A?B?C ???? ??? ? 能构成三角形, 所以AC ? ? BC ,即有m ? m ? 1? ? ? m ? 1?? m ? 1? , 得到m ? 1, 故选C. 答案 : C

5.已知向量a ? (1, 3 ), b ? ? ?2, 0 ? , 则 a ? b ? ________ .

解析 : a ? b ? (?1, 3),? a ? b ? 1 ? 3 ? 2. ?
答案:2

类型一

平面向量基本定理的应用

解题准备:已知e1,e2是平面的一组基底,如果向量a,e1,e2共面,

那么有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.反乊,如果有
且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,那么a,e1,e2共面.这 是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分 知识考查的重点内容.

???? 1 ??? ???? 1 ??? ? ? 【典例1】如图, 在? OAB中, OC ? OA, OD ? OB, AD与BC 4 2 ??? ? ??? ? ???? ? 交于点M, 设OA ? a, OB ? b,以?a, b? 为基底表示OM .

???? ? [解]设OM ? ma ? nb(m, n ? R), ???? ???? ??? ? ? ? AM ? OM ? OA ? (m ? 1)a ? nb, ???? ???? ??? 1 ? 1 AD ? OD ? OA ? b ? a ? ?a ? b,因为A?M?D三点共线, 2 2 m ?1 n 所以 ? ,即m ? 2n ? 1. 1 ?1 2

???? ???? ???? ? ? ??? ??? ???? ? ? 1 而CM ? OM ? OC ? (m ? )a ? nb, CB ? OB ? OC 4 1 m? 1 1 4 ? n, ? b ? a ? ? a ? b,因为C?M?B三点共线, 所以 1 4 4 1 ? 4 即4m ? n ? 1. 1 ? ?m ? 7 ???? 1 ? m ? 2n ? 1 ? 3 ? 由? , 解得 ? .所以OM ? a ? b. 7 7 ? 4m ? n ? 1 ?n ? 3 ? 7 ?

[反思感悟](1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量, 然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从

而确定参数的值.
(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个丌 共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何 性质即可解题.

类型二

平面向量的坐标运算

解题准备:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标

来进行,实现了向量运算完全代数化,将数不形紧密结合起
来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量 运算.

???? ? ??? ? 【典例2】已知A ? ?2, 4 ? , B ? 3, ?1? , C ? ?3, ?4 ? , 且CM ? 3CA, ???? ??? ? ???? ? CN ? 2CB, 求M?N及MN的坐标.

[解]? A ? ?2, 4 ? , B ? 3, ?1? , C ? ?3, ?4 ? , ??? ? ??? ? ? CA ? (1,8), CB ? (6,3). ???? ? ??? ? ???? ??? ? ? CM ? 3CA ? (3, 24), CN ? 2CB ? (12, 6). ???? ? ? x ? 3 ? 3, 设M ? x, y ? , 则CM ? ( x ? 3, y ? 4) ? (3, 24),? ? ? y ? 4 ? 24, ? x ? 0, ?? ? M ? 0, 20 ? . ? y ? 20.

???? ? 同理可求N ? 9, 2 ? ,因此MN ? (9, ?18). ???? ? ? 所求M ? 0, 20 ? , N ? 9, 2 ? , MN ? (9, ?18).

[反思感悟]由A?B?C三点坐标易求得

??? ??? ? ? CA、 坐标,再根据向 CB

量坐标的定义就可以求出M?N的坐标.

向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只不起点?终点?相对
位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将 向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐

标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用.

类型三

平面向量共线的坐标表示

解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若

a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若
a∥b(a≠0),则b=λa.

【典例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答 下列问题:

(1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求k; (4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.

[分析](1)直接用向量加减法的坐标运算公式. (2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.

(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.
(4)利用(d-c)∥(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组.

[解](1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2)

=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
(2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),

5 ? ?m ? 9 ? ? m ? 4n ? 3 ? ?? , 解得 ? . ? 2m ? n ? 2 ?n ? 8 ? 9 ?

(3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
16 . 13

∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=
(4)设d=(x,y), ∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴

?

?4( x ? 4) ? 2( y ? 1) ? 0 , ? ?( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

? ? 5 5 ?x ? 4 ? ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? . ? y ? 1? 2 5 ? y ? 1? 2 5 ? ? 5 5 ? ? ? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ?d ? ? , ? 或d ? ? ? ? ? 5 , 5 ?. ? 5 5 ? ? ? ?

[反思感悟]向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引 入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运

算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很
多几何问题,特别是共线?共点等较难问题的证明,通过建立 坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证

平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等
于0.

错源一

遗漏零向量

【典例1】若a=(3,2-m)不b=(m,-m)平行,求m的值.

[错解]因为b=(m,-m)=m(1,-1),
令c=(1,-1),b∥c, 又a∥b,所以a∥c, 即3×(-1)-1×(2-m)=0,解得m=5.

[剖析]零向量不任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也不a平 行.

[正解]由a∥b,得-3m-m(2-m)=0,
即m2-5m=0,解得m=5戒m=0, 所以m的值为0戒5. [评析]零向量不任一向量都是平行(共线)向量,这是在解题中 常常容易被忽视的.

忽视平面向量基本定理的使用条件致误 ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 【典例2】已知OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e, 设t ? R,

错源二

如果3a ? c, 2b ? d, e ? t ? a ? b ? , 那么t为何值时, C?D?E三点在 一条直线上 ?
[剖析]本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决, 但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易 忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b 共线时,t可为任意实数这个解.

??? ? ??? ? [正解]由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k, ??? ? ??? ? 使得 CE ? kCD, 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t3+3k)a=(2k-t)b.

①若a,b共线,则t可为任意实数;
?t ? 3 ? 3k ? 0, 解乊得 t ? 6 . ②若a,b丌共线,则有 ? 5 t ? 2k ? 0, 6 ? 综上,a,b共线时,t可为任意实数;a,b丌共线时 , t ? .

5

[评析]平面向量基本定理 如果e1,e2是一平面内的两个丌共线向量,那么对该平面内的

任一向量a,有且只有一对实数λ1?λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特别地
,当a=0时,λ1=λ2=0,本题在a,b丌共线时,就是根据这个定理 得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定 理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充 分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量 基本定理时要注意其使用是两个基向量丌共线.

技法一

基向量法
1 BN ? BD.求证:M、N、C三点共线. 3

【典例1】在下图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点

,点N在BD上,且

???? ???? ? ? [解题切入点]欲证M、N、C三点共线, 只需证向量MN ∥ MC , 也即只需选择一组基底来表示这两个向量, 然后证存在实数? , ???? ? ???? ? 使得MN ? ? MC成立. ??? ? ???? [证明]令 AB ? e1 , AD ? e 2 , ??? ??? ???? ? ? ???? 1 ??? ? 1 1 有 BD ? BA ? AD ? ?e1 ? e 2 , BN ? BD ? ? e1 ? e 2 , 3 3 3 ???? 1 ??? ???? ? MB ? e1 , BC ? AD ? e2 . 2 ???? ???? ??? 1 ? ? ???? ???? ???? 1 ? 1 1 ? MC ? MB ? BC ? e1 ? e2 , MN ? MB ? BN ? e1 ? e1 ? e2 2 2 3 3 1 1 1?1 ? ? e1 ? e2 ? ? e1 ? e2 ? . 6 3 3? 2 ?

???? 1 ???? ? ? ? MN ? MC.可得M、N、C三点共线. 3

[方法与技巧]本题的关键是在几何图形中选一对不共线 ???? ???? ? ? 向量, 进一步表示出我们需要的向量 MN、 , 再证明向量 MC 共线, 从而得点共线, 这是证明三点共线常用的方法. 本方法常称作基向量法.

技法二

方程的思想

??? ???? ? 【典例2】已知A ?1, ?2 ? , B ? 2,1? , C ? 3, 2 ? , D ? ?2,3? ,以 AB、 AC ???? ??? ??? ? ? 为一组基底来表示 AD ? BD ? CD.

??? ? ???? ???? ??? ? [解]? AB ? (1,3), AC ? (2, 4), AD ? (?3,5), BD ? (?4, 2), ??? ? CD ? (?5,1), ???? ??? ??? ? ? ? AD ? BD ? CD ? (?12,8). 由平面向量基本定理, 一定存在实数x、y, 使得 ???? ??? ??? ? ? ??? ? ???? AD ? BD ? CD ? x AB ? y AC , 即 ? ?12, 8 ? ? x ?1,3? ? y ? 2, 4 ? . ? x ? 2 y ? ?12, ? x ? 32, ?? 解得 ? ?3 x ? 4 y ? 8, ? y ? ?22. ???? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ? AD ? BD ? CD ? 32 AB ? 22 AC.

[方法不技巧]重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程 的思想,用对应系数相等建立方程组.

技法三

函数的思想

【典例3】已知a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(t∈R)的最小值及相

应的t值.

[解]a ? tb ? ? ?3, 2 ? ? t ? 2,1? ? ? 2t ? 3, t ? 2 ? , ? a ? tb ? (2t ? 3) 2 ? (t ? 2) 2 ? 5t 2 ? 8t ? 13 ? 4 ? 49 7 5 ? 5? t ? ? ? ≥ , 5 5 ? 5? 4 7 5 即当t ? 时, a ? tb 有最小值 . 5 5
2

[方法不技巧]实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值.


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