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2015届高三数学(新课标)一轮复习单元测试题四


大同市南郊区口泉中学数学组

2015 届高三数学一轮复习单元检测题四
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. tan 300° +sin 450° 的值为 A.1+ 3 B.1- 3 C.-1- 3 D.-1+ 3 ( )

π 2.(2010· 北京市朝阳区一调)下列函数中,最小正周期为 π,且图象关于直线 x= 对称 3 的是 ( ) π π ? ? A.y=sin? B.y=sin? ?2x+6? ?2x+3? π? π? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-3? ?2x-6? 3. 函数 y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x 的最小正周期和最小值为 ( ) A.π,0 B.2π,0 C.π,2- 2 D.2π,2- 2 π 4.(2010· 四川)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所 10 得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 所得图象的函数解析式是 ( ) π ? A.y=sin? ?2x-10? π 2x- ? B.y=sin? 5 ? ? 1 π? ? C.y=sin?2x-10? 1 π? D.y=sin? ?2x-20? 24 θ 5. 已知 θ 为第二象限角, sin(π-θ)= , 则 cos 的值为 ( ) 25 2 3 4 3 4 A. B. C.± D .± 5 5 5 5 6.(2011· 孝感月考)已知 f(x)=sin x+ 3cos x (x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x =0 对称, 则 φ 的值可以是 ( ) π π π π A. B. C. D. 2 3 4 6 π π 5π 3 ? ? ? ? 7. 已知 cos? 则 sin2? ( ) ?6-α?= 3 , ?α-6?-cos? 6 +α?的值是 2+ 3 2+ 3 A. B.- 3 3 2- 3 -2+ 3 C. D. 3 3 π? 8.(2011· 保定模拟)使函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)是奇函数,且在? ?0,4?上是减 函数的 θ 的一个值是 ( ) π 2π 4π 5π A. B. C. D. 3 3 3 3 π ? 9. 函数 y=2sin? π])为增函数的区间是 ( ) ?6-2x?(x∈[0, π? π 7π? A.? B.? ?0,3? ?12,12? π 5π? ?5π,π? , C.? D. ?3 6 ? ?6 ?
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π 10.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) (A>0,ω>0,0<φ< )的图象如图 2 1 所示, 则当 t= 秒时, 电流强度是 ( ) 100

B.5 安 D.10 安 π 4π 11.(2010· 辽宁)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重 3 3 合, 则 ω 的最小值是 ( ) 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 12. (2010· 浙江)设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x, 则在下列区间中函数 f(x)不存在零点( ) A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2π 2π - , ?上单调递增,则 ω 的最大值为________. 13.若函数 f(x)=2sin ωx (ω>0)在? ? 3 3? π 3 ? 14.(2010· 全国Ⅰ)已知 α 为第三象限的角,cos 2α=- ,则 tan? ?4+2α?=________. 5 4 15.(2010· 全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 16.(2010· 厦门高三质检一)给出下列命题: π? ? 5π ? ①函数 f(x)=4cos? ?2x+3?的一个对称中心为?-12,0?; 2 ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为?-1, ?; 2? ? ③若 α,β 均为第一象限角,且 α>β,则 sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)(2011· 商丘模拟)如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|<π)的图象的一段, 求其解析式.

A.-5 安 C.5 3安

cos2x-sin2x 1 1 18.(12 分)(2010· 湖北)已知函数 f(x)= ,g(x)= sin 2x- . 2 2 4 (1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合.

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19.(12 分)已知向量 a=(sin x,2cos x),b=(2sin x,sin x),函数 f(x)=a· b-1. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出 f(x)在区间[0,π]上的图象.

20. (12 分)(2011· 安阳模拟)已知 tan α、 tan β 是方程 x2-4x-2=0 的两个实根, 求 cos2(α +β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β)的值.

21.(12 分)(2011· 深圳模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象 上相邻的两个最高点之间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式; π π π 1 5π - , ?,f?α+ ?= ,求 sin?2α+ ? 的值. (2)若 α∈? 3? ? 3 2? ? 3? 3 ?

π 1 1 +φ?(0<φ<π),其 22.(12 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin? ? 2 2 ?2 π 1 ? 图象过点? ?6,2?. (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2 π 0, ?上的最大值和最小值. 的图象,求函数 g(x)在? ? 4?

1.B [tan 300° +sin 450° =-tan 60° +sin 90° =1- 3.] 2π π π 2.D [由题意 ω= =2,又因对称轴为 x= ,即 x= 是三角函数的最值点,代入检 T 3 3 验只有选项 D 的函数值为最大值 1.] 3.C [f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x =1+sin 2x+(1+cos 2x) π? =2+ 2sin? ?2x+4?,最小正周期为 π,

答案

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π? 当 sin? ?2x+4?=-1 时,取得最小值为 2- 2.] 4.C θ 5.C [∵θ 为第二象限角,∴ 为第一、三象限角. 2 θ ∴cos 的值有两个. 2 24 24 由 sin(π-θ)= ,可知 sin θ= , 25 25 7 θ 18 ∴cos θ=- .∴2cos2 =1+cos θ= . 25 2 25 θ 3 ∴cos =± .] 2 5 π? 6.D [f(x)=2sin? ?x+3?, π π π ? y=f(x+φ)=2sin? ?x+3+φ?的图象关于 x=0 对称,即为偶函数,∴3+φ=2+kπ,φ=kπ π π + ,k∈Z,当 k=0 时,φ= .] 6 6 7.A 8.B π ? 9.C [∵y=2sin? ?6-2x? π? =-2sin? ?2x-6?, π ? ∴y=2sin? ?6-2x?的递增区间实际上是 π? u=2sin? ?2x-6?的递减区间, π π 3π 即 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π 5π 解上式得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6 π 5π 令 k=0,得 ≤x≤ . 3 6 π 5π 又∵x∈[0,π],∴ ≤x≤ . 3 6 π ? ?π 5π? 即函数 y=2sin? ?6-2x? (x∈[0,π])的增区间为?3, 6 ?.] 10.A [由题图知 T 4 1 1 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π. T ∴I=10sin(100πt+φ). 1 ? ∵? ?300,10?为五点中的第二个点, 1 π ∴100π× +φ= . 300 2 π? π ∴φ= .∴I=10sin? ?100πt+6?, 6 1 当 t= 秒时,I=-5 安.] 100 4π 4π 11.C [将函数向右平移 个单位后与原图象重合,得 是此函数周期的整数倍.又 3 3

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2π 4π 3 3 ω>0,∴ · k= ,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= .] ω 3 2 2 12.A [由数形结合的思想,画出函数 y=4sin(2x+1)与 y=x 的图象,观察可知答案选 A.

] 3 13. 4 T T? T 2π ? 2π 2π? ? T T? 解析 ∵f(x)在? ?-4,4?上递增,如图,故?- 3 , 3 ???-4 ,4?,即4 ≥ 3 . 3 3 ∴ω≤ .∴ωmax= . 4 4

1 14.- 7 3π 解析 ∵α 为第三象限的角,2kπ+π<α<2kπ+ , 2 3 ∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π (k∈Z),又 cos 2α=- . 5 4 4 ∴sin 2α= ,tan 2α=- , 5 3 π 1 + tan 2 α 1 ? ∴tan? ?4+2α?=1-tan 2α=-7. 1 15.- 2 4 4 解析 由 tan(π+2α)=- ,得 tan 2α=- , 3 3 2tan α 4 又 tan 2α= =- , 3 1-tan2α 1 解得 tan α=- 或 tan α=2,又 α 是第二象限的角, 2 1 所以 tan α=- . 2 16.①② π? 5π 解析 将 x=- 代入 f(x)=4cos? ?2x+3?, 12 5π 5π π π - ?=4cos?- + ?=4cos?- ?=0, 得 f? ? 12? ? 6 3? ? 2? 故①为真命题;在同一坐标系内画出 y=sin x,y=cos x 的图象,f(x)=min{sin x,cos x} 的图象为 y=sin x,y=cos x 的图象中选取函数值小的各部分组成的图象, 由 f(x)的图象知②是真命题; π? π π π 由 2π+ > ,但 sin? ?2π+6?<sin 3知③是假命题.故答案为①②. 6 3
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17.解 由图象可知振幅 A= 2,……………………………………………………(2 分) 5π π? 又∵周期 T=2? ? 6 -3?=π, 2π 2π ∴ω= = =2,………………………………………………………………………(6 分) T π 此时函数解析式为 y= 2sin(2x+φ). π ? 又图象过点? ?3,0?,由”五点法“作图的第一个点知, π 2π 2× +φ=0,∴φ=- .………………………………………………………………(9 分) 3 3 ∴所求函数的解析式为 2π? y= 2sin? ?2x- 3 ?.……………………………………………………………………(10 分) π 1 1 2x+ ? 18.解 (1)f(x)= cos 2x= sin? 2? 2 2 ? π 1 ? = sin 2? ?x+4?,…………………………………………………………………………(3 分) 2 π 所以要得到 f(x)的图象只需要把 g(x)的图象向左平移 个单位长度, 再将所得的图象向上 4 1 平移 个单位长度即可. ………………………………………………………………………(6 分) 4 (2)h(x)=f(x)-g(x) 1 1 1 = cos 2x- sin 2x+ 2 2 4 π 2 ? 1 = cos? ?2x+4?+4.……………………………………………………………………(10 分) 2 π 当 2x+ =2kπ+π (k∈Z)时, 4 2 1 1-2 2 h(x)取得最小值- + = . 2 4 4 3π ? ? 此时, 对应的 x 的集合为?x|x=kπ+ 8 ,k∈Z?.………………………………………(12 分) ? ? π 2π 2 2x- ?,∴T= =π, 19.解 (1)f(x)=2sin x+2sin xcos x-1=sin 2x-cos 2x= 2sin? 4? ? 2 ……………………………………………………………………………………………(3 分) π π 3π 当 2x- =2kπ+ , 即 x=kπ+ (k∈Z)时, 函数 f(x)取得最大值 2.………………(6 分) 4 2 8 (2)列表: π π π 3π 7π 0 π 2x- - 4 4 2 2 4 π 3π 5π 7π x 0 π 8 8 8 8 y 0 0 -1 -1 2 - 2 …………………………………………………………………………………………(9 分) 描点连线,得函数图象如图所示:

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…………………………………………………………………………………………(12 分) 20.解 由已知有 tan α+tan β=4,tan αtan β=-2,………………………………(2 分) tan α+tan β 4 ∴tan(α+β)= = ,………………………………………………………(5 分) 1-tan αtan β 3 cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β) cos2?α+β?+2sin?α+β?cos?α+β?-3sin2?α+β? = cos2?α+β?+sin2?α+β? 1+2tan?α+β?-3tan2?α+β? = …………………………………………………………(10 分) 1+tan2?α+β? 4 16 1+2× -3× 3 9 3 = =- .………………………………………………………………(12 分) 16 5 1+ 9 21.解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π, 2π ∴T=2π,则 ω= =1.…………………………………………………………………(2 分) T ∴f(x)=sin(x+φ). π ∵f(x)是偶函数, ∴φ=kπ+ (k∈Z), …………………………………………………(5 分) 2 π 又 0≤φ≤π, ∴φ= .∴f(x)=cos x.……………………………………………………(6 分) 2 π? 1 (2)由已知得 cos? ?α+3?=3, π π? ∵α∈? ?-3,2?, 5π π 0, ? , ∴α+ ∈? 6? 3 ? π ? 2 2 则 sin? ?α+3?= 3 .………………………………………………………………………(8 分) 5π? 2π? ? ∴sin? ?2α+ 3 ?=-sin?2α+ 3 ? π? ? π? 4 2 =- 2sin ? ?α+3? cos ?α+3? =- 9 . …………………………………………………… (12 分) cos 2x+1 1 1 22.解 (1)f(x)= sin 2xsin φ+ cos φ- cos φ 2 2 2 1 = (sin 2xsin φ+cos 2xcos φ) 2 1 = cos(2x-φ).…………………………………………………………………………(3 分) 2 π 1? 又∵f(x)过点? ?6,2?, π 1 1 -φ?, ∴ = cos? ? 2 2 ?3 π 即 cos( -φ)=1. 3 π 由 0<φ<π 知 φ= .………………………………………………………………………(6 分) 3 π 1 2x- ?. (2)由(1)知 f(x)= cos? 3? 2 ? 1 1 π 将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,变为 g(x)= cos(4x- ). 2 2 3 ……………………………………………………………………………………………(8 分)
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π π π 2π ∵0≤x≤ ,∴- ≤4x- ≤ . 4 3 3 3 π π 1 ∴当 4x- =0,即 x= 时,g(x)有最大值 ; 3 12 2 1 π 2π π 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)有最小值- .????????????????(12 3 3 4 4 分)

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