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江苏省徐州市丰县中学2013届高三上学期第三次月考数学试题


丰县中学第三次月考高三数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
2 1.命题:若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 的否命题为



2. i 是虚数单位,复数

1 ? 3i = ▲ 1? i

2 3.设集合 M ? x | x ? x ? 6 ? 0 , N ? ? x |1 ? x ? 3? ,则 M ? N =

?

?

▲ ▲

4.已知 510 角的始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P(m, 2) ,则 m = 5.将函数 f ( x) ? 2 cos( ? 则

?

x 3

?
6

) 的图象向左平移

? 个单位, 再向下平移 1 个单位, 得到函数 g ( x) 的图象, 4

g ( x) 的解析式为



6.已知向量 a ? (cos35?,sin35?), b ? (cos65?,sin 65?) ,则向量 a 与 b 的夹角为 7.如果实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y +3 最小值为 ?
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 1

?

?

?

?





8.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列,则等比数列{ an }的公比为___▲___ 9. f ( x) ? a ?

1 是定义在 (??, ?1] ? [1, ??) 上的奇函数, 则 f ( x ) 的值域为 ▲ 2 ?1
x

10.若“ a ?

1 a ”是“对 ? 正实数 x , 2 x ? ? c ”的充要条件,则实数 c ? 8 x
2



11.函数 f ( x) ? ax ? ln x ?1 在 [e, ??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ▲
a b 12.已知正实数 a , b 满足 log2 a ? log2 b ? 1,则 3 ? 9 的最小值为___▲__

2 13.设实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在

区间 (1, 2) 内,则

a ?b?5 的取值范围是 a ?1



1 14.已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等式 f (x-t)≤x 恒成 4 立,则所有满足条件的实数 t 的值为___▲___

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明,证明 过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 , a ? 1 . 命题 p :函数 y ? x2 ? (3a ? 4) x ? 1 的图象与 x 轴有两个不同的交点; 命题 q :函数 y ? a x 在 (0, ??) 内单调递减.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题, 求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知向量 OA ? (? cos? , ? sin ? ) ( ? ? 0 ) , OB ? (?n i s 原点. (1)若 ? ? 2 , ? ?

?,c o s ? ) , OC ? (1,0) ,其中 O 为坐标

?
3

, ? ? (0, ? ) ,且 OA ? BC ,求 ? ;

(2)若 AB ? 2 OB 对任意实数 ? , ? 都成立,求实数 ? 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且 值域.

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3?

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f ( x) 在 ?0, B ?上的 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

18. (本小题满分 16 分) 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公 司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,

?10.8-30x ,0<x≤10 且 R(x)=? 108 1000 ? x - 3x ,x>10
2 2

1

.

(1) 写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2) 年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大.

19. (本小题满分 16 分) 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 . (1)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (2)记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a2 bn?1 ? a1bn , n ? N + ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

20.(本小题满分 16 分) 已知 f ? x ? ? ax ? ln?? x ?, x ? (?e,0), g ( x) ? ? (1)讨论 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, | f ( x ) |? g ( x ) ?

ln( ? x) ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由.

参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1.若 x <0, 则 x ? 3x ? 2<0 ;2.2 ? i ;3.[1, 2) ;4.?2 3 ;5. g ( x) ? 2 cos(
2

x ? ? ) ? 1 ;6.30 ? ; 3 4

7.4;8.

1 3 1 3 1 1 3 5 9. [- ,- ] U ( , ] ;10.1; 11. (??, ? 2 ] ; 12.18; 13. ( , ) ; 14.4 3 2 2 2 2 2e 2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解 因为 a ? 0 , a ? 1 ,命题 p 为真命题,则 (3a ? 4)2 ? 4 ? 0 解得 ,

2 或a ? 2 …….2 分 3 命题 q 为真命题可得 0 ? a ? 1 ……4 分 由命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,可知命题 p 、 q 为真命题恰好一真一假….6 分 0?a?

?a ? 1 ? (1)当命题 p 真 q 假时, ? ,即 a ? 2 2 0 ? a ? 或a ? 2 ? 3 ? ?0 ? a ? 1 2 ? (2)当命题 p 假 q 真时, ? 2 ,即 ? a ? 1 3 ?a?2 ? ?3
综上,实数 a 的取值范围为 16.

……9 分

……12 分

2 ? a ? 1 或 a ? 2 .…………………………………….14 分 3

17.解:(Ⅰ) f ( x) ? a sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 ? 因此 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6 ? ? ? ? ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 6 2 6 3 ? ? ? ? 故函数 f ( x) 的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 3 ? 6 ? ) ? f (0)得 ?
(Ⅱ)由余弦定理知:

?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A

1 ? ? ? ? ?? ? ?? ,所以 B ? 当 x ? ? 0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , f ?x ? ? ?? 1,2? 2 3 6 ? 6 2? ? 3? 故 f ( x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2?
即 cos B ? x3 18.解 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8. 1x- -10, 30 1000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x, 3x x3 8.1x- -10,0<x≤10 30 ∴W= . 1000 98- -2.7x,x>10 3x x2 (2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1- =0,得 x=9. 10 当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10]时,W′<0, 1 3 ∴当 x=9 时,W 取得最大值,即 Wmax=8.1× 9- × 9 -10=38.6. 30 1000 1000 ②当 x>10 时,W=98-( +2.7x)≤98-2 × 2.7x=38, 3x 3x 1000 100 当且仅当 =2.7x,即 x= 时,W 取得最大值 38. 3x 9 综合①②知:当 x=9 时,W 取得最大值为 38.6 万元, 故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.

? ? ?

19.(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由 a1 ? b1 ? 2 ,
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 得 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d ,由条件得方程组 ? , ?? 3 ?q ? 2 ? ? ?8 ? 6d ? 2q ? 10 n * 故 an ? 3n ?1, bn ? 2 (n ? N )
3

n (2) Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? a2 ? ? ? a ) n ?1

an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2 n Tn ? 2 [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 )

2

2

? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ? 12 ? 10bn ? 2an

20::

(3)假设存在实数 a ,使 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 有最小值 3, x ? ?? e,0? f ' ? x ? ? a ? ①当 a ? ?

1 x

1 1 时,由于 x ? ?? e,0? ,则 f ' ? x ? ? a ? ? 0 ? 函数 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是 ?? e,0? 上 e x 4 1 的增函数 ? f ?x ?m i n? f ?? e? ? ?ae ? 1 ? 3 解得 a ? ? ? ? (舍去)---------------12 分 e e 1 1 1 ②当 a ? ? 时,则当 ? e ? x ? 时, f ' ? x ? ? a ? ? 0 此时 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是减函数 e a x

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