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山东省平度市2016届高考数学模拟试题 文(二)


平 度 市 高 考 模 拟 试 题(二) 数学(文)试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在四个选项中,只有一项是符合 要求的)
2 1.已知集合 M ? x | x ? 4 x ? 0

, N ? x | x ? 2 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. ? ?2, 4 ?

B. ? ?2, 4?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0, 2?

2.已知 t ? R, i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i,且z1 ? z2 是实数,则 t 等于 A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

3.命题 p : ?a ? (0,1)∪(1,+∞),函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) 的图象过点(2,0), 命题 q : ?x ? N , x ? x 。则( ) A. p 假 q 假 B. p 真 q 假 C. p 假 q 真
3 2

D. p 真 q 真 ? ? ? ? ? ? 2? 4.平面向量 a 与 b 夹角为 , a ? ? 3, 0 ? , b ? 2 ,则 a ? 2b 等于 3 A.13 B. 37 C. 13 D.3

?y ? x ? 5.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍, 则 ?x ? a ?

a 的值是
A. 4 B.

3 4

C.

2 11

D.

1 4

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.112 B.80 C.72 D.64

7.将函数 f ? x ? ? 3 cos ?? x ? 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再 把图像上所有的点向右平移 1 个单位长度,得到函数 g ? x ? 的图像,则函数 g ? x ? 的单调递 减区间是

1

A. ?4k ?1,4k ? 3? ? k ? Z ? C. ?2k ?1,2k ? 2? ? k ? Z ?

B. ?2k ?1,2k ? 3? ? k ? Z ? D. ?2k ?1,2k ? 2? ? k ? Z ?

8 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数 m 满足

f (log3 m) + f (log1 m) ? 2 f (1) ,则 m 的取值范围是
3

1 1 1 ,3] C. [ ,3) D.[ ,+∞) 3 3 3 1 9.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4
A.(0,3] B. [

10.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ? 1 和抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ))的离心率分 ,双曲线 2 2 2 a b a b
C. e1e2 = e 3 D. e1e2 ? e 3

别为 e1,e2,e3,则 A. e1e2 < e 3 B. e1e2 > e 3 第Ⅱ卷

非选择题 (共 100 分)

二、填空题: (本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 把每小题的答案填在答题纸的相 应位置) 11.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3, ?C ?

2? ,则a ? ________. 3

12.在某市“创建文明城市”活动中,对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布 直方图(左下图) ,但是年龄组为 ? 25,30 ? 的数据不慎丢失,据此估计这 800 名志愿者年龄 在 ? 25,30 ? 的人数为______.

y2 x2 ? ? 1 的离心率为 2,则双曲线的焦点到渐近 13. 双曲线 9 b2
线的距离是__________。

14.运行如右上图所示的程序框图, 则输出的结果 S 为________.
2

15. .给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ” ; ②函数 y ? f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) , 其图象上任一点

P( x, y) 满足 x2 ? y 2 ? 1,则函数 y ? f ( x) 可能是奇函数; 1 ? 2 2 ③若 a,b ? ?0,1?, 则不等式 a ? b ? 成立的概率是 ; 4 4
2

④函数 y=log 2 (x -ax+2)在 ?2, ? ?? 上恒为正,则实数 a 的取值 范围是 ? ? ?, ? 其中真命题的序号是 。 (请填上所有真命题的序号)

? ?

5? 2?

三、解答题(共 6 个题, 共 75 分,把每题的答案填在答卷纸的 相应位置) 16.本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin ? x,1), b ? ( 3, cos ? x) , f ( x) ? a ? b

?

?

? ?

(I)若 x ? [0, 2] ,求 f ( x) ? a ? b 的单调递增区间; (II) 设 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为 P, 第一个最低点的坐标为 Q, 坐标原点为 O,求 ?POQ 的余弦值.

? ?

17.(本题满分 12 分) 现有 A,B,C 三种产品需要检测,产品数量如下表所示: 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件. (I)求三种产品分别抽取的件数; (II) 已知抽取的 A,B,C 三种产品中, 一等品分别有 1 件, 2 件, 2 件.现再从已抽取的 A,B,C 三种产品中各抽取 1 件,求 3 件产品都是一等品的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 BC , CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 ; (II)若该三棱柱所有的棱长均为 2,求三棱锥 B1 ? AEF 的体积。

3

4

19.(本小题满分 12 分)
? 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 2an ? an ?1 ? 1 n ? 2, n ? N .

?

?

(I)求证:数列 ?an ? 1? 是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? n ? an ?1? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: 1 ? Sn ? 4

20. (本题满分 13 分)

x2 y 2 6 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (1, . ) ,离心率为 a b 3 3
(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)设椭圆 C 的下顶点为 A,直线 l 过定点 Q(0, ) ,与椭圆交于两个不同的点 M、N,且 满足 | AM |?| AN | .求直线 l 的方程.

3 2

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? a ? x ? 1? + ln x ? 1 .
2

(I)若函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (II)当 x ??1, ?? ? 时,函数 y ? f ? x ? 图像上的点都在 ? 求实数 a 的取值范围.

?x ? 1 所表示的平面区域内, ?y ? x ? 0

5

答案: 一选择题、DDBCD 二填空题、11、a=1

CABAA 12、160 13、 3 3 14、-1007 15、②④

(16)(本小题满分 12 分) 【答案】 (I) [0, ] , [ , 2] ; (II) ?

1 3

4 3

16 481 481

【解析】 (I) f ( x) ? a ? b ? a ?

? ?

?

3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ) ?????? 2 分 6 2 1 ? x ? 2k ? 3 3
????????4 分

?

2 k? ?

?
2

??x?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,解得 2k ?

1 4 x ? [0, 2] 时,0 ? x ? 或 ? x ? 2 3 3 1 4 ? f ( x) 的单调递增区间为 [0, ] , [ , 2] 3 3
(I I)由题意得 P ( , 2) ,Q ( , ?2) .

????????5 分

?????? 6 分

1 3

4 3

根据距离公式 |OP|= ( ) ? 2 ?
2 2

1 3

37 4 2 2 13 2 , |OQ|= ( ) ? ( ?2) ? , 3 3 3
3分

1 4 |PQ|= ( ? ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? 17 3 3
37 52 64 ? ? 17 ? 9 9 ? ? 16 481 根据余弦定理 cos ?POQ ? 9 ? 481 37 2 13 4 481 2? ? 3 3 9
(I I)另解: 由题意得 P ( , 2) , Q(

6分

1 3

4 , - 2) 3
2 2

8分

根据距离公式 |OP|= ( ) ? 2 ?

1 3

37 3
10 分

4 2 13 |OQ|= ( )2 ? (?2)2 ? 3 3

6

??? ? ???? OP.OQ cos ?POQ = ??? ? ???? ? OP . OQ

4 ?2 16 481 9 ?? 481 37 2 13 . 3 3

12 分

(18)(本小题满分 12 分) 【解析】 (I) 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, 所以 BB1 ? 面ABC , 所以 AE ? BB1 , --2 分 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC , ------------------------4 分 有因为 BC ? BB1 =B ,因此 AE ? 平面 B1 BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 。 ---------------------------6 分 (II) VB1 ? AEF ? VA? B1EF , ---------------------------8 分

1 1 1 S ?B1EF =2 ? 2- ? 2 ?1 ? ?1?1- ?1?1=2 , AE ? 3 , 2 2 2
分 由第(I)问可知 AE ? 平面 B1 BCC1

----------------------10

7

1 3 3 ?VB1 ? AEF ? VA? B1EF = ? ? 3= 3 2 2

--------------------------------------------12

分 19.解: (I)证明: an ? 1 ? ( an?1 ? ) ? 1 ?

1 2

1 2

1 (an?1 ? 1) ,又 a1 ? 1 ? 1 ? 0 2

所以数列 ?an ? 1? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列. ----------3 分

?1? an ? 1 ? ? ? ?2?

n ?1

,得 an ? ? ?
n ?1

?1? ?2?

n ?1

? 1 ----------5 分

(II) bn ? n(an ? 1) ? n? ?

?1? ?2?

---------6 分

设 Sn ? 1 ?

2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ??????① 2 2 2 2 2



1 1 2 3 4 n ?1 n Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ?????②???????8 分 2 2 2 2 2 2 2

①-②得:

1 1 1 1 1 1 n 1 n S n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n ?1

所以 S n ? 4 ?

?

n 2
n ?1

? 4?

2?n ????10 分 2 n ?1
n?1

2?n ?1? S n ? 4 ? n?1 ? 4 ,又 bn ? n? ? 2 ? 2?
以 1 ? S n ? 4 ????12 分

? 0 ,所以数列 ?Sn ? 是递增数列,故 S n ? S1 ? 1,所

8

21(1) f ?( x) ? 2a ( x ? 1) ?

1 , ? 函数 f ( x) 在区间 ?2,4?上单调递减, x

? f ?( x) ? 2a ( x ? 1) ?
立, ????3 分

1 1 ? 0 在区间 ?2,4?上恒成立,即 2a ? 在 ?2,4? 上恒成 2 x ?x ?x

只需 2 a 不大于

1 ?x ?x
2

在 ?2,4? 上的最小值即可.

当 2 ? x ? 4 时,

? 1 1? ? ?? ,? ? , ? x ? x ? 2 12? 1
2

????5 分

1 1 1? ? ? 2a ? ? ,即 a ? ? ,故实数 a 的取值范围是 ? ? ?,? ? . 2 4 4? ?

??6 分

(2)因 f ( x) 图象上的点都在 ?

? x ? 1, 所表示的平面区域内, ?y ? x ? 0
2

即当 x ? ?1,??? 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 a( x ?1) ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,

设 g ( x) ? a( x ?1) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,只需 g ( x) max ? 0 即可.
2

????9 分

由 g ?( x) ? 2a( x ? 1) ?

1 2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ?1 ? , x x
1? x ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1,??) 上单调递减,故 x

(i)当 a ? 0 时, g ?( x ) ?

g ( x) ? g (1) ? 0 成立.

9

1 2a( x ? 1)(x ? ) 2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 2a , 令 g ?( x) ? 0 , 得 ( ii ) 当 a ? 0 时 , 由 g ?( x) ? ? x x 1 , x1 ? 1 或 x2 ? 2a 1 1 ? 1 ,即 a ? 时 , 在区间 ?1,??? 上 , g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 在 ?1,??? 上单调递增 ,函 ①若 2a 2
数 g ( x) 在 ?1,??? 上无最大值,不满足条件; ②若

1 1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 [1, ) 上单调递减,在区间 [ ,?? ) 上单调递增, 2a 2 2a 2a

同样 g ( x) 在 ?1,??? 无最大值,不满足条件.

(iii)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

2a( x ? 1)(x ? x

1 ) 2a , 因 x ? [1,??) ,故 g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x)

在 ?1,??? 上单调递减,故 g ( x) ? g (1) ? 0 成立.

0? . 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?- ?,

????????????14 分

10


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