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2014年四川省成都市高考数学一诊模拟试卷二(理科)


2013 年四川省成都市高考数学一诊模拟试卷二(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合 题目要求的. 2 1. (5 分) (2013?成都模拟)已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x>0 },B={x|y=1g(x﹣1) ,则(?UA)∩ B= ( ) A.{x|x>2 或 x<0} B.{x|1<x<2 C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 A 中不等式的解集确定出 A,求出集合 B 中函数的定义域确定出 B,找出 U 中不属于 A 的部分,确定出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的公共部分,即可确定出所求的集合. 解答: 解:由集合 A 中的不等式解得:x>2 或 x<0, ∴ A={x|x>2 或 x<0},又 U=R, ∴ CUA={x|0≤x≤2}, 由集合 B 中的函数 y=lg(x﹣1) ,得到 x﹣1>0, 解得:x>1,即 B={x|x>1}, 则 CUA∩ B={x|1<x≤2}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

2. (5 分) (2013?成都模拟)如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是 的点位于( )



,则复数

对应

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 通过向量的表示求出向量对应的复数,利用复数的除法运算,求出复数对应的点的象限即可. 解答: 解:由题意可知 z1=﹣2﹣i,z2=i. ∴ = = =﹣1+2i,

复数

对应的点位于第二象限.

故选 B. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数与向量的对应关系,复数的几何意义. 3. (5 分) (2010?重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比 q 的值为( )

A.2

B .3

C.4

D.8

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列的通项公式,分别表示出 a2010 和 a2007,两式相除即可求得 q3,进而求得 q. 解答: 解: ∴ q=2 故选 A 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

4. (5 分) (2004?湖南)已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 别是( ) A.4 ,0 B.4,4 C.16,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小值分

D.4,0

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 分析: 先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值. 解答: 解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= = ,最大值为 4,最小值为 0. ,2sinθ+1) ,

故选 D. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,三角函数的最值,是中档题. 5. (5 分) (2013?成都模拟)执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为( )

A.2

B .5

C.11

D.23

考点: 循环结构. 专题: 阅读型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计 算并输出变量 y 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到 输出结果.

解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: x y 是否继续循环 循环前 2 5 是 第一圈 5 11 是 第二圈 11 23 否 故输出 y 的值为 23. 故选 D. 点评: 本题主要考查了算法流程图,同时考查了分析问题的能力和读图的能力,属于基础题.

6. (5 分) (2013?成都模拟)若实数 x,y 满足条件

则 z=2x﹣y 的最大值为(



A.9

B .3

C.0

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 画出不等式表示的平面区域,z=2x﹣y 的几何意义是直线 y=2x﹣z 的纵截距的相反数,根据图形可 得结论. 解答: 解:画出不等式表示的平面区域 z=2x﹣y 的几何意义是直线 y=2x﹣z 的纵截距的相反数, 由 大值为 9 故选 A. 可得交点坐标为(3,﹣3) ,根据图形可知在点(3,﹣3)处,z=2x﹣y 取得最大值,最

点评: 本题考查线性规划知识的运用,解题的关键是正确画出不等式组表示的平面区域,明确目标函数的 几何意义.

7. (5 分) (2013?成都模拟)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )

.其三视图中的

A.

B.

C.8cm2

D.4cm2

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm,故左视图是长方形,长为 此能求出左视图的面积. 解答: 解:设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 a, 则体积 V=Sh=6× 故左视图是长方形,长为 面积为 ×2= = ,解得 a=2, ,宽为 2,

,宽为 2,由

故选 A 点评: 本题考查三视图与直观图的关系,正确判断几何体的形状是解题的关键.

8. (5 分) (2013?成都模拟)已知函数 f(x)= (x2)成立,则实数 a 的取值范围是( A.a<2 B.a>2 )

,若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f

C.﹣2<a<2

D.a>2 或 a<﹣2

考点: 特称命题. 专题: 计算题. 分析: 若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则说明 f(x)在 R 上不单调,分 a=0 及 a≠0 两种 情况分布求解即可 解答: 解:若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则说明 f(x)在 R 上不单调 ① 当 a=0 时,f(x)= 其其图象如图所示,满足题意

② 当 a<0 时,函数 y=﹣x +ax 的对称轴 x= <0,其图象如图所示,满 足题意

2

③ 当 a>0 时,函数 y=﹣x +ax 的对称轴 x= >0,其图象如图所示, 要使得 f(x)在 R 上不单调 则只要二次函数的对称轴 x= ∴ a<2 综上可得,a<2

2

故选 A 点评: 本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用,属于基础试题

9. (5 分) (2013?成都模拟)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 正周期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( A. f(x)在 单调递减 C. f(x)在(0, )单调递增 ) B. D. f(x)在( f(x)在( , , )单调递减 )单调递增

的最小

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根据函数的偶函数性 质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 解答: 解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+? )= ,由于该函数的最小正周期为 π= ,得出 ω=2,又根据 f(﹣x)=f(x) ,以及|φ|< ,得出 φ= .因此,f(x)

= 调递减,若 x∈( ,

cos2x,若 x∈ ) ,则 2x∈( ,

,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在



) ,该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D

都错,A 正确. 故选 A. 点评: 本题考查三角函数解析式的确定问题,考查辅助角公式的运用,考查三角恒等变换公式的逆用等问 题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握.属 于三角中的基本题型. 10. (5 分) (2013?成都模拟)偶函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1,则 关于 x 的方程 f(x)= A.1 B .2 ,在 x∈[0,3]上解的个数是( C.3 ) D.4

考点: 指数函数的图像与性质;奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型;数形结合. 分析: 首先有已知条件推导函数 f(x)的性质,再利用函数与方程思想把问题转化,数形结合,即可得解 解答: 解:设 方程 的根的个数,即为函数 的图象交点的个数

∵ f(1﹣x)=f(x+1) ∴ 原函数的对称轴是 x=1,且 f(﹣x)=f(x+2) 又∵ f(x)是偶函数 ∴ f(﹣x)=f(x) ∴ f(x)=f(x+2) ∴ 原函数的周期 T=2 又∵ x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1 由以上条件,可画出 又因为当 x= 时,y1>y2,当 x=1 时 y1<y2 ∴ 在 内有一个交点 共有 4 个交点 的图象:

∴ 结合图象可知,在[0,3]上 ∴ 在[0,3]上,原方程有 4 个根 故选 D

点评: 本题考察函数的性质,函数与方程思想,数形结合思想.属较难题 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11. (5 分) (2013?成都模拟)已| |=2sin75°,| |=4cos75°, 的夹角为 30°,则 的值为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先把给出的向量的模和夹角代入数量积公式,然后运用二倍角的正弦公式化简求解. 解答: 解:由| |=2sin75°,| |=4cos75°, 的夹角为 30°, 则 = = .

故答案为 . 点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算,考查了数量积公式,和三角函数的倍角公式,此题为中低档 题. 12. (5 分) (2012?重庆)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术 课各 1 节,则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答) .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 三门文化课排列,中间有两个空,若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为 中只插入 1 节艺术课,则排法种数为 =144,而所有的排法共有

,若两个空

=216,三门文化课中相邻排列,则排法种数为

=720 种,由此求得所求事件的概率.

解答: 解:语文、数学、外语三门文化课排列,这三门课中间存在两个空,在两个空中, 若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为 若两个空中只插入 1 节艺术课,则排法种数为 =72, =216,

若语文、数学、外语三门文化课相邻排列,则排法种数为 而所有的排法共有 =720 种,

=144,

故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 故答案为 .

= ,

点评: 本题主要考查等可能事件的概率,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.

13. (5 分) (2013?成都模拟)已知 a>0,b>0,若不等式

总能成立,则 m 的最大值是 9 .

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由不等式 最小值即可求解 解答: 解:∵ a>0,b>0, ∴ 2a+b>0 ∵ 不等式 ∴ m ∵

恒成立, 可得 m

=5+

恒成立, 只要求出



恒成立, =5+ 恒成立

∴ m≤9 故答案为:9 点评: 本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化,解题的关键是配凑基本不等式成立 的 条件 14. (5 分) (2013?成都模拟) 的展开式的常数项是 3 .

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 把所给的二项式展开,观察分析可得展开式中的常数项的值. 解答: 2 解:∵ 而项式 =(x +2)?( ? ﹣ 1) , 故它的展开式的常数项为 ﹣2=3,

?

+

?



?

+

?



故答案为 3. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

15. (5 分) (2013?成都模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间[m,n]?D,使得函数 f(x)满足: ① f(x)在[m,n]上是单调函数;② f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为 y=f(x)的“倍 值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ① ③ ④ (填上所有正确的序号) ① ( f x) =x(x≥0) ; ② ( f x) =e(x∈R) ; ③ ( f x) =
2 x

; ④ ( f x) =



考点: 函数的值域;命题的真假判断与应用. 专题: 压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析: 根据函数中存在“倍值区间”,则:① f(x)在[a,b]内是单调函数;② 对四个函数分别研究,从而确定是否存在“倍值区间”. 解答: 解:函数中存在“倍值区间”,则:① f(x)在[a,b]内是单调函数;② ① f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”[a,b], 则
2 2

,或



,或



,∴

,∴



∴ f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”[0,2]; x ② f(x)=e (x∈R) ,若存在“倍值区间”[a,b], 则 ,∴
x


x

构建函数 g(x)=e ﹣x,∴ g′ (x)=e ﹣1, ∴ 函数在(﹣∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增, ∴ 函数在 x=0 处取得极小值,且为最小值. x ∵ g(0)=1,∴ ,g(x)>0,∴ e ﹣x=0 无解,故函数不存在“倍值区间”; ③ f(x)= (x≥0) ,f′ (x)= = ,

若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],



,∴

,∴ a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];

④ f(x)=loga(ax﹣ ) (a>0,a≠1) .不妨设 a>1,则函数在定义域内为单调增函数 若存在“倍值区间”[m,n], 则 ,







∴ 2m,2n 是方程 loga(ax﹣ )=2x 的两个根, ∴ 2m,2n 是方程 a2x﹣ax+ =0 的两个根, 由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n]; 综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有① ③ ④ . 故答案为:① ③ ④ . 点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,涉及知识点较多,需要谨慎计算. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (12 分) (2013?成都模拟)已知 O 为坐标原点, , (1)求 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的定义域为 ,值域为[2,5],求 m 的值. .

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;整体思想. 分析: (Ⅰ )先用向量的数量积得到 y= 再用辅助角法化为 y= (k∈Z)求单调区间. (Ⅱ )用整体思想,由 x 的范围,得到 解答: 解: (Ⅰ ) = 由 得 y=f(x)的单调递增区间为 (Ⅱ )当 ∴ ∴ 1+m≤f(x)≤4+m, ∴ 时, = (k∈Z) (k∈Z)

再用倍角公式得到 由

,解得 f(x)的值域.

点评: 本题主要考查向量的数量积,三角函数的倍角公式及辅助角法以及求单调区间及值域等问题,本题

的关键是整体思想的应用. 17. (12 分) (2010?广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495], (495,500],…, (510,515], 由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率.

考点: 频率分布直方图;组合及组合数公式. 分析: (1)重量超过 505 克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分,求出两矩形的面积,根据重量超 过 505 克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2,然后利用组合数分别求出它们的概率,列出分布列即可; (3)从流水线上任取 5 件产品,恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克,则有两件合格,有三件不合 格,利用组合数计算出概率即可. 解答: 解: (1)重量超过 505 克的产品数量是 40×(0.05×5+0.01×5)=12 件; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2; , , ,

Y 的分布列为 (3)从流水线上任取 5 件产品,恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率服从二项分布 ∴ 从流水线上任取 5 件产品,恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,以及组合及组合数公式的应用,属于基础题. 18. (12 分) (2013?成都模拟)在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥ CD,AB⊥ AD, 平面 ABCD,PA=4. (Ⅰ )设平面 PAB∩ 平面 PCD=m,求证:CD∥ m; (Ⅱ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ,求 的值. ,PA⊥ = .

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论; (Ⅱ )利用已知条件先证明 BD⊥ AC,再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明; (Ⅲ )通过结论空间直角坐标系,利用法向量与斜线所成的角即可找出 Q 点的位置. 解答: 解: (Ⅰ )如图所示,过点 B 作 BM∥ PA,并且取 BM=PA,连接 PM,CM. ∴ 四边形 PABM 为平行四边形,∴ PM∥ AB, ∵ AB∥ CD,∴ PM∥ CD,即 PM 为平面 PAB∩ 平面 PCD=m,m∥ CD. (Ⅱ )在 Rt△ BAD 和 Rt△ ADC 中,由勾股定理可得 BD= ∵ AB∥ DC,∴ ∴ ∴ OD +OC =
2 2

=

,AC= ,





. =4=CD ,
2

∴ OC⊥ OD,即 BD⊥ AC; ∵ PA⊥ 底面 ABCD,∴ PA⊥ BD. ∵ PA∩ AC=A,∴ BD⊥ 平面 PAC. (Ⅲ )建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(4,0,0) ,D(0, ,0) ,C(2, ,0) ,P(0,0,4) . ∴ 设 , ,则 Q(4λ,0,4﹣4λ) ,∴ ,由(2)可知 ∴ = = 为平面 PAC 的法向量. , .

∵ 直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ∴ =

, ,

化为 12λ=7,解得 ∴ = .



点评: 熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所 成的角是解题的关键. 19. (12 分) (2012?天津) 已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn}是等比数列, 且 a1=b1=2, a4+b4=27, s4﹣b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; * * (2)记 Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N ,证明:Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N ) . 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项. (2)先写出 Tn 的表达式;方法一:借助于错位相减求和; 方法二:用数学归纳法证明其成立. 解答: 解: (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, 3 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,s4=8+6d, 由条件 a4+b4=27,s4﹣b4=10, 得方程组
n *

,解得



故 an=3n﹣1,bn=2 ,n∈N . 2 3 n (2)证明:方法一,由(1)得,Tn=2an+2 an﹣1+2 an﹣2+…+2 a1; 2 3 n n+1 2Tn=2 an+2 an﹣1+…+2 a2+2 a1; ② ; 2 3 n n+2 由② ﹣① 得,Tn=﹣2(3n﹣1)+3×2 +3×2 +…+3×2 +2 =
n

① ;

+2

n+2

﹣6n+2

=10×2 ﹣6n﹣10; n n 而﹣2an+10bn﹣12=﹣2(3n﹣1)+10×2 ﹣12=10×2 ﹣6n﹣10;

故 Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N ) . 方法二:数学归纳法, ③ 当 n=1 时,T1+12=a1b1+12=16,﹣2a1+10b1=16,故等式成立, ④ 假设当 n=k 时等式成立,即 Tk+12=﹣2ak+10bk, 则当 n=k+1 时有, Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak﹣1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(﹣2ak+10bk﹣12) =2ak+1﹣4(ak+1﹣3)+10bk+1﹣24 =﹣2ak+1+10bk+1﹣12. 即 Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1,因此 n=k+1 时等式成立. * ③ ④ 对任意的 n∈N ,Tn+12=﹣2an+10bn 成立. 点评: 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题.解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识,基本 方法.并考察计算能力. 20. (13 分) (2013?成都模拟)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一 天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)= +2a+ ,x∈R,其中 a

*

是与气象有关的参数,且 a∈],若取每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a) . (1)令 t= ,x∈R,求 t 的取值范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问:目前市中心的综合放射性污染指数是否 超标? 考点: 函数最值的应用;实际问题中导数的意义. 专题: 计算题. 分析: (1)先取倒数,然后对得到的函数式的分子分母同除以 x,再利用导数求出 的取值范围,最后根 据反比例函数的单调性求出 t 的范围即可; (2)f(x)=g(t)=|t﹣a|+2a+ .下面分类讨论:当 0<a< ,当 的最大值 M(a) ,然后解不等式 M(a)≤2 即可求出所求. 解答: 解: (1)当 x=0 时,t=0; (2 分) 当 0<x≤24 时, =x+ .对于函数 y=x+ ,∵ y′ =1﹣ ∴ 当 0<x<1 时,y′ <0,函数 y=x+ 单调递减, 当 1<x≤24 时,y′ >0,函数 y=x+ 单调递增, ∴ y∈[2,+∞) . 综上,t 的取值范围是[0, ]. , >a≥ ,分别求出函数 g(x)

(2)当 a∈(0, ]时,f(x)=g(t)=|t﹣a|+2a+ =

∵ g(0)=3a+ ,g( )=a+ , g(0)﹣g( )=2a﹣ .

故 M(a)=

=

当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2, 故 a∈(0, ]时不超标,a∈( , ]时超标. 点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想,属于实际应 用题. 21. (14 分) (2013?成都模拟)若函数 f(x)满足:在定义域内存在实数 x0,使 f(x0+k)=f(x0)+f(k) (k 为常数) ,则称“f(x)关于 k 可线性分解”. (1)函数 f(x)=2 +x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由; (2)已知函数 g(x)=lnx﹣ax+1(a>0)关于 a 可线性分解,求 a 的范围; (3)在(2)的条件下,当 a 取最小整数时; (i)求 g(x)的单调区间; (ii)证明不等式: (n!) ≤e
2 n(n﹣1) x 2

(n∈N ) .

*

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. ﹣ 分析: (1)函数 f(x)=2x+x2 是关于 1 可线性分解,令 h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f(1)=2(2x 1+x﹣1) , 可得 h(0)=﹣1<0,h(1)=2,利用零点存在定理,即可求得结论; (2)根据新定义,可得 ln(x0+a)﹣a(x0+a)+1=lnx0﹣ax0+1+lnx﹣a +1,从而可得 x0= 由此可求 a 的范围; (3) (i)求导函数,由导数的正负,即可求得 g(x)的单调区间; (ii)先证明 lnx≤x﹣1,再累加,即可证得结论. 解答: (1)解:函数 f(x)=2x+x2 是关于 1 可线性分解,理由如下: 令 h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f(1)=2 ∴ h(0)=﹣1<0,h(1)=2 ∴ h(x)在(0,1)上至少有一个零点
x+1 2



+(x+1) ﹣2 ﹣x ﹣2﹣1=2(2

2

x

2

x﹣1

+x﹣1)

即存在 x0∈(0,1) ,使 f(x0+1)=f(x0)+f(1) ; (2)由已知,存在实数 x0,使 g(x0+a)=g(x0)+g(a) (a 为常数) , 2 即 ln(x0+a)﹣a(x0+a)+1=lnx0﹣ax0+1+lnx﹣a +1 ∴ =1



∴ x0=

∵ a>0,∴



(3) (i)解:由(2)知,a=1,g(x)=lnx﹣x+1,

(x>0)

∴ x∈(0,1)时,g′ (x)>0,∴ g(x)的增区间是(0,1) ;x∈(1,+∞)时,g′ (x)<0,∴ g(x) 的减区间是(1,+∞) ; (ii)证明:由(i)知 x∈(0,+∞) ,g(x)≤g(1) ,即 lnx﹣x+1≤0,∴ lnx≤x﹣1 ∴ ln1=0,ln2<1,ln3<2,…,lnn<n﹣1 相加得:ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+(n﹣1) 即 lnn!≤ ∴ (n!) ≤e (当且仅当 n=1 时取“=”号) . 点评: 本题考查新定义,考查学生的计算能力,解题的关键是正确理解新定义,属于中档题.
2 n(n﹣1)


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