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函数的单调性测试题


函数的单调性测试题
姓名: 一.选择题(每小题 5 分,计 5× 12=60 分) 1. 在区间 (??,1) 上为增函数的是: ( A. B. ) 得分:

C.

y?

x 1? x

D. ( )

与 的大小 2. 已知函数 f ( x) ? log ( x 2

? 2 x ? 4) ,则 f (?2) f (?3) 1
2

A.

>

B.

=

C.

<

D.不能确定

3. 下列命题:(1)若

是增函数,则

1 是减函数;(2)若 f ( x)
有意义,则

是减函数,则

是减函

数;(3)若 个数有:( A.1

是增函数, ) B.2

是减函数,

为减函数,其中正确的

C.3

D.0 )

4.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( A.(3,8) 5.函数 f(x)= B.(-7,-2) C.(-2,3)

D.(0,5) ( )

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 x?2
B.(

A.(0,

1 ) 2

1 ,+∞) 2

C.(-2,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

6.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5 -t),那么下列式子一定成立的是 A.f(-1)<f(9)<f(13) C.f(9)<f(-1)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) D.f(13)<f(-1)<f(9) ) ( )

7.已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3

8.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的是( A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)



9.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则( A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)



10.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则 a 的取值范围是( ) A. (??,? 3] ? [ 3,??) B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??) D. (? 3, 3)

二.填空题(每小题 4 分,计 4× 4=16 分) 11.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 成立,则函数值

f (?1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是_________
12.函数 f ( x) 是 R 上的单调函数且对任意实数有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1. f (4) ? 5, 则 不等式 f (3m 2 ? m ? 2) ? 3 的解集为__________ 13.已知函数 f ( x) ? ?
?1 ?0 x为有理数 x为无理数

, g ( x) ? ?

?1 ?0

x为无理数 x为有理数

当 x ? R 时,

f ? g ? x ?? ? _______, g ? f ? x ?? ? _______.
14.设 f ( x) 设为奇函数, 且在 ?? ?,0? 内是减函数, f ?? 3? ? 0 ,则不等式 xf ?x ? ? 0 的解集 为 .

15.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x) ,且在[-1,0]上是增函 数,下面是关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0). 其中正确的判断是 三.解答题(共计 74 分) 16. f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (把你认为正确的判断都 填上) .

x ) = f(x)-f(y) y
1 ) <2 . x

(1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

17.奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。

18.根据函数单调性的定义 ,判断 f ( x ) ? ......

ax (a ? 0) 在 [1,??) 上的单调性并给出证明 。 ..... x ?1
2

19. 设 f(x)是定义在 R+上的递增函数,且 f(xy)=f(x)+f(y)

(1)求证 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (2)若 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围.

x y

20. 二次函数 f ( x)满足f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x且f (0) ? 1 (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1, 1]上, y= f(x)的图像恒在 y=2x+m 的图像上方, 试确定实数 m 的取值范围。

21. 定义在 R 上的函数 y=f(x),对于任意实数 m.n,恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)求f(0)的值;(2)求当 x <0 时, f(x) 的取值范围; (3)判断 f(x) 在 R 上的单调性,并证明你的结论。

函数的单调性测试题答案
一、选择题(每小题 5 分,计 5× 12=60 分) 题号 答案 二. 填空题(每小题 4 分,计 4× 4=16 分) 12. (-1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11. f (1) 三.

4 ) 3

13. 1,0

14. ?? ?,?3? ? ?3,???

15. ①②⑤

解答题(共计 74 分)

16. 解: ①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0. ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . 2 ?x ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36
17. 解: 在 [1,??) 上任取 x1,x2,且 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ∵ 1 ? x1 ? x2 , ∴x1- x2<0,且 1 ? x1 x2 ? 0 . (1)当 a>0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x) ?

ax1 ax ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? 2 2 ?a 1 2 2 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

ax 是 [1,??) 上的减函数; x ?1
2

(2)当 a<0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x) ?

ax 是 [1,??) 上的增函数; x ?1
2

18. 解:因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。

19. 解:(1)因为 f ( x) ? f ( y ? ) ? f ( y ) ? f ( ) ,所以 f ( ) ? f ( x) ? f ( y )

x y

x y

y x

(2)因为 f(3)=1,f(9)=f(3)+f(3)=2,于是

? a?0 ? 由题设有 ? 9( a ? 1) ? 0 ? a ? 9( a ? 1) ?

解得 1 ? a ?

9 8

20. 解: (Ⅰ)令 x ? 0,则f (1) ? f (0) ? 0, ? f (1) ? f (0) ? 1, ∴二次函数图像的对称轴为 x ?

1 。 2

∴可令二次函数的解析式为 y ? a ( x ?

1 2 ) ?h 2 3 , 4
3 ? x2 ? x ?1 4

由 f (0) ? 1,又可知 f (?1) ? 3得a ? 1,h ?

∴二次函数的解析式为 y ? f ( x) ? ( x ? ) 2 ?

1 2

(Ⅱ)∵ x 2 ? x ? 1 >2x ? m在[?1,1]上恒成立, ∴ x ? 3x ? 1 >m在[?1,1]上恒成立,
2

令 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ,则g ( x)在[?1 , 1]上单调递减,
2

∴g ( x) min ? g (1) ? ?1 , ? m< ? 1 21. 21. 解: (1)令 m=0,n>0,则有 f (n) ? f (0 ? n) ? f (0) ? f (n) 又由已知, n>0时,0<f(n)<1 ∴f (0)=1 (2)设x <0 ,则 -x >0

f (0) ? f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ? 1
则 f ( x) ?

1 f (? x)

又∵-x >0 ∴ 0<f(-x)<1

? f ( x) ? (1,??)

(3)f(x)在 R 上的单调递减 证明:设 x1、x2 ? R,且x1 ? x2 又 x1 ? ( x1 ? x2 ) ? x2 ,由已知 f ( x1 ) ? f [(x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 )



f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) f ( x2 )

…… 16 分

? x1 ? x2
∴ f ( x1 ) ? 1 f ( x2 )

?x1 ? x2 ? 0

由( 2)得 f ( x1 ? x2 ) ? 1
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 )

由(1) 、 (2) , f ( x1 )、f ( x2 ) ? R?

∴ f(x)在 R 上的单调递减


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