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高中数学完整讲义——三角函数2.三角函数的图像与性质1


高中数学讲义
板块二.三角函数的图像 与性质 典例分析
题型一:三角函数的单调性与值域
【例1】 函数 y ?

1 ? ? (? ? x ? ) 的值域是( tan x 4 4 A [?1, 1] B (?? , ? 1) (1 , ? ?)


C (?? , 1] D [ ?1 , ? ? )

【例2】 利用正切函数的单调性,比较下列各组中两个正切值的大小:

12 16 (1) tan(?138 ) 与 tan125 ; (2) tan( ? ) 与 tan(? ? ) 。 3 5
【例3】 函数 y ? cos(sin x) 的值域为_______ 【例4】 若函数 y ? a ? b cos x 的最大值是

3 1 ,最小值是 ? ,求函数 y ? ?4a sin bx 的最大值与最小值 2 2

及周期。
【例5】 函数 y ? 1 ? 2sin x 的值域是( A
[?2 , 1]

) 。
C
[0 , 1]

B

[?1 , 3]

D

[?2 , 2]

【例6】 下列说法 ①sin1 ? sin 2 ②sin 2 ? cos 2 ③sin 4 ? cos 4 ④sin

19? 13? ? cos(? ) ,其中正确的是 10 10




B ①③ C ②③ D ③④

A ①②

【例7】 根据正弦函数的图像得使不等式 2 ? 2sin x ? 0, x ? R 成立的 x 的取值集合为( A [? C [?



3? ? ,? ] 4 4 3? ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 4 4

? 3? B [ , ] 4 4

? 3? D [ ? 2k? , ? 2k? ] 4 4

【例8】 比较大小: sin 510 ___________ sin142 ; cos 750 ___________ cos(?760 ) 。

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【例9】 函数 y ? 3sin( ? 3x), x ?[? , ] 的单调递增区间是_________。 6 2 2

?

? ?

【例10】 利用图像解不等式 tan( x ? ) ? 3 。 6 【例11】 比较 tan 3 与 tan 8 的大小。

?

?? ? ??? ??? ?? ?? 【例12】 已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? , 且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值, 无最大值, 3? ? ?6? ?3? ?6 3?

则 ? =__________.
【例13】 函数 y ? sin

π t ] 上恰好取得最大值,则实数 t 的取值范围是 x 在区间 [0, 3

.

π π 【例14】 设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) , 若对任意 x ? R , 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) 成立 , 则 x1 ? x2 的最 2 5

小值( A. 4

) B. 2 C. 1 D.
1 2

【例15】 求下列不等式 x 的取值范围.

⑴ 2sin x ? 1 ≥ 0 ; π ⑵ 2cos(3x ? ) ? 1≤ 0 . 6
1 a2 , a3 的大小. 【例16】 设 x ? (? , 0) , a1 ? cos(sin πx) , a2 ? sin(cos πx),a3 ? cos π (x ? 1) ,比较 a1 , 2
【例17】 求使 cos x ?

1? a 有意义的 a 的取值范围. 1? a

【例18】 求函数 y ?

sec2 x ? tan x 的值域. sec2 x ? tan x
2sin x ? 1 的值域. 2sin x ? 1

【例19】 求函数 y ?

【例20】 函数 y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,则它的最小值_____________________. 【例21】 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0) ,y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8

, (1) 求? ;

(2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间。

2

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题型二:三角函数的周期与对称
? x ? 【例22】 求下列三角函数的周期: (1) y ? sin( x ? ) ; (2) y ? 3sin( ? ) 。 3 2 5
【例23】 函数 y ? 2sin(4 x ? ) 的最小正周期是( 3 A

?

) 。

?

B

2?

C

? 2

D

4?

【例24】 函数 y ? sin(2 x ? A

5? ) 图像的一条对称轴方程是( 2
B


D

x??

?
4

x??

?
2

C

x?

?
8

x?

5? 4

? 4π ? 0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为( 【例25】 如果函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 的图象关于点 ? , ? 3 ?



A.

π 6

B.

π 4

C.

π 3

D.

π 2

? x? ? )(A? , 0 ? ? 0) ?… 【例26】 函数 f ( x) ? A sin( 的部分图象如下图所示,则 f (1)? f ( 2)? f (3)
f (11) ?
y
6

2 2

O
-2

2

3

x

【例27】 函数 y ? tan(ax ? )(a ? 0) 的最小正周期为( 4 2? ? 2? ? A B C D |a| |a| a a 【例28】 下列函数中,不是奇函数的是(

?

) 。


sin x ? tan x ? tan x D y ? lg 1 ? cos x 1 ? tan x

A y ? sin x ? tan x B y ? x tan x ? 1 C y ?

【例29】 若函数 y ? 2 tan(2ax ? )(a ? 0) 的最小正周期是 3,则 a ? ___________。 6

?

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【例30】 求函数 y ? tan(3x ? ) 的周期和单调区间。 4

?

【例31】 求函数 y ? sin x(1 ? tan x

1 ? cos x ) 的最小正周期。 sin x

1 ? 5 【例32】 已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ? , 2 6 4

(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调区间; (2)求 f ( x) 的图像的对称轴和对称中心。

π? ? 【例33】 已知函数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? , x ? R ,若有 10 个互不相等的正数 xi 满足 f ( xi ) ? 2 ,且 6? ?

xi ? 10π (i ? 1 , 2 , 3? ? ? , 10) ,求 x1 ? x2 ? ? ? ? ? x10 的值

【例34】 设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a , x ? b 及 x 轴围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 [a , b] 上的

面积,已知函数 y ? sin nx 在 ? 0 ,
y S1

? ?

π? 2 上的面积为 (n ? N? ) , ? n? n

S4

S2 S3

O

x

⑴y ? sin 3x 在 ? 0 ,

? ?

2π ? 上的面积为 3 ? ? ?π ?3

; .

⑵ y ? sin(3x ? π) ? 1 在 ? ,

4π ? 上的面积为 3 ? ?

【例35】 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 最 小 正 周 期 为

3π 的函数,在某一周期内, 2

π ? ? 15π ? ?cos 2 x, ? ≤ x ? 0, 则 f ?? f ( x) ? ? 2 ?= ? 4 ? ? 0 ≤ x ? π, ?sin x,

.

【例36】 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 π ,且当

4

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x ?[0 ,
A. ?

π 5π ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为( 2 3
B.
3 2


D.

1 2

C. ?

3 2

1 2

【例37】 函数 f ( x) ? cos(3x ? ? ),x ? R 的图象关于原点中心对称,则 ? ? (



A.

π 3

B. kπ ?

π ,k?Z 2

C. kπ,k ? Z

π D. 2kπ ? ,k ? Z 2

【例38】 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:存在非零常数 T ,对任意 x ? R ,有
f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立.

⑴函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M .说明理由. ⑵设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象与 y ? x 的图象有公共点,证明 f ( x) ? a x ? M ⑶若函数 f ( x) ? sin kx ? M ,求实数 k 的取值范围.

【例39】 若函数 f ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) 对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) . 6 6

?

?

? (1) 求 f ( ) 的值; 6
(2) 求 ? 的最小正值; (3) 当 ? 取最小正值时,求 f ( x) 在 ? ?
? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 6?

【例40】 求 f ( x) ? (sin x)2008 ? (cos x)2007 的最小正周期
π? ?k 【例41】 设 f ( x) ? sin ? x ? ? (k ? 0) 3? ?5

⑴ 求当 k ? 3 时,函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. ⑵ 求最小正整数 k ,使得当自变量在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数至少 取得一次最大值 M 和最小值 m .

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3 2 【例42】 求函数 f ( x) ? 5 sin x ? 5 cos x 的最小正周期 2 3

题型三:三角函数的平移伸缩变换
【例43】 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行称动

π 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸 10

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是
π? ? A. y ? sin ? 2 x ? ? 10 ? ? π? ?1 C. y ? sin ? x ? ? 2 10 ? ? π? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 5? ? π? ?1 D. y ? sin ? x ? ? 2 10 ? ?

【例44】 要得到函数 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象上所有的点的( 4

?



1 ? A 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 4 ? C 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4 ? D 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 8

【例45】 已知函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ?

?
2

)的图象在 y 轴上的截距为 1 ,它在

y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ? x0 , 2 ? 和 ? x0 ? 3? , ? 2? . (1)求 f ? x ? 的解析式;
1 (2)将 y ? f ?x ? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图 3 ? 象沿 x 轴正方向平移 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图象.写出函数 y ? g ? x ? 的解析式并 3

用“五点法”画出 y ? g ? x ? 在长度为一个周期的闭区间上的图象.

【例46】 画出函数 y ? 3sin(2 x ? ), x ? R 的简图,并说明此函数图形怎样由 y ? sin x 的图像变化而来。 3

?

6

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? ? 1 【例47】 把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移 个单位长度,再将横坐标压缩到原来的 ,所得 4 2 8
函数的解析式为( y ? sin 4 x A
C

) 。 B

y ? cos 4 x

y ? sin(4 x ? ) 8

?

D

y ? sin(4 x ?

?
32

)

【例48】 要得到 y ? cos(2 x ? ) 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像( 4

?



? 个单位 8 ? C 向左平移 个单位 4
A 向左平移
【例49】 把函数 y ? cos( x ?

? 个单位 8 ? D 向右平移 个单位 4
B 向右平移

4? ) 的图像向右平移 ? 个单位,所得到的图像正好关于 y 轴对称,则 ? 的 3

最小正值是___________。
π? ? 【例50】 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? x ? R , 为了得到函数 g ? x ? ? cos ? x ? ? 0? 的最小正周期为 π , 4? ?

的图象,只要将 y ? f ? x ? 的图象( A.向左平移 C.向左平移
π 个单位长度 8 π 个单位长度 4

) B.向右平移 D.向右平移
π 个单位长度 8 π 个单位长度 4

π? ? 4π 【例51】 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小 3? 3 ?

值是
A.
2 3

B.

4 3

C.

3 2

D. 3

π? π? ? ? 【例52】 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像,只需把函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像 3? 6? ? ?

π A.向左平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2

π B.向右平移 个长度单位 4 π D.向右平移 个长度单位 2

1 ? ?? 【例53】 试述如何由 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象得到 y ? sin x 的图象。 3 ? 3?

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π? ? ? π? 【例54】 已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin ? x ? ? (a,b ? Z) ,当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 . 4? ? ? 2?

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵由 f ( x) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y ? g ( x) 的图象?若能,请写出变 换过程;若不能,请说明理由.

π? π ? 【例55】 把曲线 C : y ? 2sin ? 2 x ? ? 向右平移 a(a ? 0) 个单位,得到的曲线 G 关于直线 x ? 对称.求 4? 4 ?

a 的最小值.

题型四:三角函数基本定义 ? 【例56】 函数 y ? tan( x ? ) 的定义域是( ) 。 4 ? ? A {x | x ? , x ? R} B {x | x ? ? , x ? R} 4 4 3? ? C {x | x ? D {x | x ? ? k? , k ? Z} ? k? , k ? Z} 4 4

【例57】 函数 y ? 5tan(6 x ? ) ? 2 的定义域是_________。 3 【例58】 下列说法正确的是(

?



A 正切函数在整个定义域内是增函数 B 正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成 C 若 x 是第一象限角,则 sin x 是增函数 D 函数 y ? 2tan x2 的图像关于 y 轴对称
2? ? ,初相是 ,则这 5 4

【例59】 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0) 的最大值是 2,最小正周期是

个函数的表达式是(
A y ? 2sin(5x ? ) 4 C y ? 2sin(5x ?

) 。
B y ? 2sin(5x ? ) 4

?

?

?
20

)

D y ? 2sin(5x ?

?
20

)

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