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四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷 Word版含解析


四川省绵阳市南山中学 2014-2015 学年高一下学期 4 月月考数学 试卷
一、选择题:本题共 10 题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一个正确 答案,把正确答案填涂在机读卡上. 1.cos20°sin65°﹣sin20°cos65°=() A. B. C. D.﹣

2.若向量

=(﹣2,﹣3)



=(﹣4,﹣7) ,则

=() D.(﹣6,﹣10)

A.(﹣2,﹣4)

B.(2,4)

C.(6,10)

3.△ ABC 中,若 A=60°,a= A. B. 1

,则△ ABC 的外接圆半径等于() C. D.2

4.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

5.若 =(2,3) , =(﹣4,7) ,则 在 方向上的投影为() A. B. C. D.

6. A.

的值为() B. C.2+ D.2﹣

7.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=() A. B. C. 4 D.12

8.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中与 ① + + ;②2 + ;③ + ;④2

等价的有() ﹣ . D.4 个

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

9.在△ ABC 中,AB=2,AC=3, A. B.

?

=1,则 BC=() C. 2 D.

10.设△ ABC 的面积为 S,已知 S=a ﹣(b﹣c) ,则 tan 的值为() A. B. C. D.1

2

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.函数 y=cos 2x﹣sin 2x 的最小正周期是. 12.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30°,60°,则塔高为米. 13.在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=.
2 2

14.已知向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角,则 k 的取值范围是.

15.关于函数 f(x)=cos2x﹣2 sinxcosx,给出下列命题中正确的命题序号是 ①对任意的 x1,x2,当 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在区间[﹣ , ]上是单调递增; ,0)成中心对称; 个单位后将与 y=sin2x 的图象重合.

③函数 f(x)的图象关于点( ④将函数 f(x)的图象向左平移

三、解答题:本大题共 4 题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (1)在直角坐标系中,已知三点 A(5,4) ,B(k,10) ,C(12,﹣2) ,当 k 为何值时, 向量 与 共线? , 垂直? ,

(2)在直角坐标系中,已知 O 为坐标原点, ,当 k 为何值时,向量 与

17.如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平 角)为 155°的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125°.半小时后, 货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最 简根号) .

18.已知 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x﹣

) ,

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值和最小值.

19.已知 A、B、C 为△ ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2

,b+c=4,求△ ABC 的面积. sin ,1) , =(cos ,cos ﹣x)的值;
2

20.己知向量 =(

) ,记 f(x)=



(Ⅰ)若 f(x)=1,求 cos(

(Ⅱ)在锐角△ ABC 申,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围.

四川省绵阳市南山中学 2014-2015 学年高一下学期 4 月月 考数学试卷
一、选择题:本题共 10 题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一个正确 答案,把正确答案填涂在机读卡上. 1.cos20°sin65°﹣sin20°cos65°=() A. B. C. D.﹣

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 逆用两角差的正弦公式可以化成 sin(65°﹣20°) ,然后求值.

解答: 解:cos20°sin65°﹣sin20°cos65° =sin(65°﹣20°) =sin45° = 故选 C. 点评: 本题考查了两角差的正弦公式的逆用,解题的关键是要对公式的形式比较熟悉.

2.若向量

=(﹣2,﹣3) ,

=(﹣4,﹣7) ,则

=() D.(﹣6,﹣10)

A.(﹣2,﹣4)

B.(2,4)

C.(6,10)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 = ﹣ ,即可得出结论. =(﹣2,﹣3) , =(﹣4,﹣7) ,则 = ﹣ =(﹣2,﹣4) ,

解答: 解:向量

故选:A. 点评: 本题考查了向量的减法运算,深刻理解向量的减法运算法则是解决问题的关键. 3.△ ABC 中,若 A=60°,a= A. B. 1 ,则△ ABC 的外接圆半径等于() C. D.2

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 sinA 与 a 的值代入计算即可求出 R 的值. 解答: 解:∵ ,sinA= ,a= ,

∴可解得:R=1. 故选:B. 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于基础题. 4.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinA 的 值进而求得 A,判断出三角形的形状. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=asinA, 2 ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin A,

∵sinA≠0, ∴sinA=1,A= ,

故三角形为直角三角形, 故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为 角的正弦,属于基本知识的考查.

5.若 =(2,3) , =(﹣4,7) ,则 在 方向上的投影为() A. B. C. D.

考点: 向量的投影. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 先求得两向量的数量积,再求得向量 的模,代入公式求解. 解答: 解析: 在 方向上的投影为 = = = .

故选 C 点评: 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用. 6. A. 的值为() B. C.2+ D.2﹣

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式,求得所给式子的值. 解答: 解: = =tan(45°+15°)=tan60°= ,

故选:B. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式的应用,属于基础题.

7.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=() A. B. C. 4 D.12

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 分析: 根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可 以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 解答: 解:由已知|a|=2,

|a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= . 故选:B. 点评: 本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,根据和的模两 边平方,注意要求的结果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值 是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦 值确定.

2

2

2

8.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中与 ① + + ;②2 + ;③ + ;④2

等价的有() ﹣ . D.4 个

A.1 个 考点: 专题: 分析: 解答: ① ②2 ③ ④2 故与 + + + ﹣

B. 2 个

C. 3 个

向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 平面向量及应用. 由条件利用平面向量的加法的三角形法则进行判断,从而得出结论. 解:在正六边形 ABCDEF, + = = = = + = + + = ; = . = ; = ;

等价的有 4 个,

故选:D. 点评: 本题考查平面向量的加法的三角形法则应用,是基础题,解题时要注意数形结合思 想的合理运用,属于中档题.

9.在△ ABC 中,AB=2,AC=3, A. B.

?

=1,则 BC=() C. 2 D.

考点: 解三角形;向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设∠B=θ,由 ? =1,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,表示出 cosθ,

再利用余弦定理表示出 cosθ, 两者相等列出关于 BC 的方程, 求出方程的解即可得到 BC 的长. 解答: 解:根据题意画出相应的图形,如图所示: ∵ ? =1,设∠B=θ,AB=2,

∴2?BC?cos(π﹣θ)=1,即 cosθ=﹣



又根据余弦定理得:cosθ=

=



∴﹣ 则 BC= 故选 A

= .

,即 BC =3,

2

点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算,余弦定理,以 及诱导公式的运用,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 10.设△ ABC 的面积为 S,已知 S=a ﹣(b﹣c) ,则 tan 的值为() A. B. C. D.1
2 2

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosA,利用三角形面积公式表示出 S,变形后代入已知等式, 再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简即可求出 tan 的值.

解答: 解:∵cosA=

,S= bcsinA,且 S=a ﹣(b﹣c) =﹣(b +c ﹣a )+2bc,

2

2

2

2

2

∴ bcsinA=﹣2bccosA+2bc,即 sinA=4(1﹣cosA) , 整理得:2sin cos =4×2sin 则 tan = . 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及二倍角的正弦、余弦函数公式,熟练 掌握余弦定理是解本题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.函数 y=cos 2x﹣sin 2x 的最小正周期是
2 2 2

,即 cos =4sin ,



考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角的余弦将 y=cos 2x﹣sin 2x 转化为 y=cos4x 即可求得其最小正周期. 2 2 解答: 解:∵y=cos 2x﹣sin 2x=cos4x, ∴其最小正周期 T= 故答案为: . = .
2 2

点评: 本题考查二倍角的余弦,考查三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

12.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30°,60°,则塔高为

米.

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 由 tan30°= = 得到 BE 与塔高 x 间的关系,由 tan60°= 求出 BE 值,从

而得到塔高 x 的值. 解答: 解:如图所示:设山高为 AB,塔高为 CD 为 x,且 ABEC 为矩形,由题意得 tan30°= tan60°= x= = = (米) , . = ,∴BE= . = ,

,∴BE=

,∴

故答案为

点评: 本题考查直角三角形中的边角关系,体现了数形结合的数学思想,求出 BE 值是解题 的关键. 13.在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题.

分析: 由正弦定理可求得 sinB= 运算求得结果. 解答: 解:由正弦定理可得 =

,再由 b<a,可得 B 为锐角,cosB=



,∴sinB=

,再由 b<a,可得 B 为锐角,

∴cosB= 故答案为: .

=



点评: 本题考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出 sinB= 角,是解题的关键.

,以及 B 为锐

14.已知向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角,则 k 的取值范围是{k|k<9 且 k≠﹣ 1}. 考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意得 ? <0,求出 k 的取值范围,并排除反向情况. 解答: 解:∵向量 =(6,2)与 =(﹣3,k)的夹角是钝角, ∴ ? <0, 即 6×(﹣3)+2k<0, 解得 k<9; 又 6k﹣2×(﹣3)=0,得 k=﹣1, 此时 与 反向,应去掉, ∴k 的取值范围是{k|k<9 且 k≠﹣1}; 故答案为:{k|k<9 且 k≠﹣1}. 点评: 本题考查了向量夹角的求解问题, 解题时转化为数量积小于 0, 注意排除反向的情形, 是基础题. 15.关于函数 f(x)=cos2x﹣2 sinxcosx,给出下列命题中正确的命题序号是①③ ①对任意的 x1,x2,当 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在区间[﹣ , ]上是单调递增; ,0)成中心对称; 个单位后将与 y=sin2x 的图象重合.

③函数 f(x)的图象关于点( ④将函数 f(x)的图象向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性、 图象的对称性,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=cos2x﹣2 sinxcosx=cos2x﹣ sin2x=2cos(2x+ ) ,它的周

期为 π, 故对任意的 x1,x2,当 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立,故①正确. 函数 f(x)在区间[﹣ 当 x= , ]上没有单调性,故②不正确; ,0)成中心对称,故③正确; )+ ]=2cos(2x+ )

时,f(x)=0,函数 f(x)的图象关于点(

将函数 f(x)的图象向左平移 =﹣2cos(2x+ )的图象,

个单位后,得到 y=2cos[2(x+

显然它的图象与 y=sin2x 的图象不重合,故④不正确, 故答案为:①③. 点评: 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性,y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 三、解答题:本大题共 4 题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (1)在直角坐标系中,已知三点 A(5,4) ,B(k,10) ,C(12,﹣2) ,当 k 为何值时, 向量 与 共线? , 垂直? ,

(2)在直角坐标系中,已知 O 为坐标原点, ,当 k 为何值时,向量 与

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由点的坐标求出对应向量的坐标,然后利用向量共线的坐标表示列式求解; (2)由点的坐标求出对应向量的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示列式求解 解答: 解: (1)∵ 又向量 与 共线 ,

∴(k﹣5)×(﹣12)﹣(12﹣k)×6=0 解得 k=﹣2; (2)∵ 又 ⊥ ,∴ ,

∴20+(k﹣6) (7﹣k)=0, 解得 k=2 或 k=11. 点评: 本题考查了平面向量平行的坐标表示,考查了平面向量垂直的条件,是基础的运算 题. 17.如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平 角)为 155°的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125°.半小时后, 货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最 简根号) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 在△ ABC 中利用三角形内角和求得∠BCA 和∠BAC,则 BC 可求得,最后利用正弦 定理求得 AC. 解答: 解:在△ ABC 中,∠ABC=155°﹣125°=30°, ∠BCA=180°﹣155°+80°=105°, ∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°, BC= ×50=25, 由正弦定理,得 ∴AC= = (浬) 浬.

答:船与灯塔间的距离为

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是建立三角函数的数学模型,运 用三角函数的基础知识来解决实际问题.

18.已知 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x﹣

) ,

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值和最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=sin2x,根据三角函 数的周期性及其求法即可得解. (2) 由 x∈[﹣ , ], 可求 2x∈[﹣ , ], 利用正弦函数的图象和性质可得 ( f x) =sin2x∈[﹣

1,1],从而得解. 解答: 解: (1)∵f(x)=cos(2x﹣ = cos2x+ sin2x﹣ cos2x+ sin2x )+cos(2x﹣ )

=sin2x, ∴f(x)的最小正周期 T= (2)∵x∈[﹣ ∴2x∈[﹣ , , ], ], =π.

∴f(x)=sin2x∈[﹣1,1], ∴函数 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值为 1,最小值为﹣1.

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函 数的图象和性质,属于基本知识的考查. 19.已知 A、B、C 为△ ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2

,b+c=4,求△ ABC 的面积.

考点: 解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式,得到 cos(B+C)的值,由 B+C 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B+C 的度数,然后由三角形的内角和定理求出 A 的度数; (Ⅱ)根据余弦定理表示出 a 的平方,配方变形后,把 a,b+c 及 cosA 的值代入即可求出 bc 的值,然后由 bc 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵0<B+C<π,∴ ∵A+B+C=π,∴
2



, .
2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA

得 即: ∴ ,∴bc=4, .

点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,余弦定理及三角形的面积公式,熟练 掌握公式及定理是解本题的关键.
2

20.己知向量 =(

sin ,1) , =(cos ,cos ﹣x)的值;

) ,记 f(x)=



(Ⅰ)若 f(x)=1,求 cos(

(Ⅱ)在锐角△ ABC 申,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. 考点: 正弦定理的应用;平面向量的综合题. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用向量的运算法则和向量的坐标化简整理出 f(x)的解析式,进而根据 f (x)=1 求得 sin( + )的值,最后利用二倍角的余弦函数公式求得答案.

(Ⅱ)利用正弦定理把已知条件中的边转化为角的正弦,进而化简求得 cosB 的值,继而求得 B,则 A 的范围可得,确定 + 质确定函数 f(A)的范围. 解答: 解: (Ⅰ) = 因为 f(x)=1, 所以 , . (Ⅱ)因为(2a﹣c)cosB=bcosC 由正弦定理得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB=sin(B+C) , 因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0 所以 所以 所以 , , , = 的范围,进而根据第一问中 f(x)的解析式和正弦函数的性

又因为 f(x)= 所以 f(A)=

= ,



故函数 f(A)的取值范围是 点评: 本题主要考查了向量的运算法则的应用,三角函数恒等变换的应用,三角函数图象 与性质的应用.考查了学生综合分析和解决问题的能力.


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