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山东省青岛市2015届高三第二次模拟考试(数学理)(扫描版)[来源:学优高考网5489664]


高三自主诊断试题

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. DCBCB CABCD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 2 2

12. 1

13. ?2

14. 32

15.

10 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设第 2 组 [30, 40) 的频率为 f 2

f 2 ? 1 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.35 ; ………………………………………3 分
第 4 组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 所以被采访人恰好在第 2 组或第 4 组的概率为

P 1 ? 0.35 ? 0.2 ? 0.55

……………………………………………………………………6 分 ……………………7 分

(Ⅱ)设第 1 组 [30, 40) 的频数 n1 ,则 n1 ? 120 ? 0.005 ? 10 ? 6 记第 1 组中的男性为 x1 , x2 , ,女性为 y1 , y2 , y3 , y4

随机抽取 3 名群众的基本事件是: ( x1 , x2 , y1 ) , ( x1 , x2 , y2 ) , ( x1 , x2 , y3 ) , ( x1 , x2 , y4 )

( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) , ( x1 , y2 , y4 ) , ( x1 , y3 , y4 ) , ( x2 , y2 , y1 ) , ( x2 , y3 , y2 ) , ( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) , ( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ……………………10 分 ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 20 种
其中至少有两名女性的基本事件是: ( x1 , y2 , y1 ) , ( x1 , y3 , y2 ) , ( x1 , y1 , y3 ) , ( x1 , y4 , y1 ) ,

( x1 , y2 , y4 ) ,( x1 , y3 , y4 ) ,( x2 , y2 , y1 ) ,( x2 , y3 , y2 ) ,( x2 , y1 , y3 ) , ( x2 , y4 , y1 ) ,( x2 , y2 , y4 ) , ( x2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y2 , y3 ) , ( y1 , y2 , y4 ) , ( y2 , y3 , y4 ) , ( y1 , y3 , y4 ) 共 16 种 16 4 所以至少有两名女性的概率为 P2 ? ? ………………………………………………12 分 20 5
17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? a ? b ? (k sin

x x x , cos 2 ) ? (cos , ?k ) 3 3 3 2x 1 ? cos x x x 1 2 x 3 ? k (sin 2 x ? cos 2 x ) ? k ? k sin cos ? k cos 2 ? k sin ?k 3 3 3 2 3 2 2 3 3 2

2k 2 2x 2 2x k 2k 2x ? k ………………………5 分 ( sin ? cos ) ? ? sin( ? ) ? 2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 ( 2 ? 1)k 2 ?1 因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最大值为 ,则 k ? 1 …………………6 分 ? 2 2 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

2 2x ? 1 2 2A ? 1 sin( ? ) ? ,所以 f ( A) ? sin( ? )? ?0 2 3 4 2 2 3 4 2

化简得 sin( 因为

?

2A ? 2 ? )? 3 4 2

2 12 2A ? ? 3? 则 ……………………………………………………………8 分 ? ? ,解得 A ? 3 4 4 4 2 b 2 ? c 2 ? a 2 8 ? c 2 ? 40 所以 cos A ? ? ? ? 2 2bc 2 ? 2 2c 2 化简得 c ? 4c ? 32 ? 0 ,则 c ? 4 …………………………………………………………10 分
所以 AB ? AC ? AB AC cos 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 A1C1 , AC ,分别交 B1 D1 , EF , BD 于 M , N , P ,连接 MN , C1 P 由题意, BD ∥ B1 D1 因为 BD ? 平面 EFB1 D1 , B1 D1 ? 平面 EFB1 D1 ,所以 BD ∥平面 EFB1 D1 又因为 A1 B1 ? a, AB ? 2a ,所以 MC1 ? …………3 分

? A ? ? ,所以

?

?

2 A ? 5? ? ? 3 4 12

3? 2 ? 4 ? 2 2 ? (? ) ? ?8 ……………………………12 分 4 2

1 2 A1C1 ? a 2 2 1 2 AC ? a 2 D1 4 C1
M

又因为 E 、 F 分别是 AD 、 AB 的中点,所以 NP ? 所以 MC1 ? NP 又因为 AC ∥ A1C1 ,所以 MC1 ∥ NP 所以四边形 MC1 PN 为平行四边形 所以 PC1 ∥ MN

A1

B1

因为 PC1 ? 平面 EFB1 D1 , MN ? 平面 EFB1 D1 ,所以 PC1 ∥平面 EFB1 D1 因为 PC1 I BD ? P ,所以平面 EFB1 D1 ∥平面 BDC1

D

C

E

…………………………………6 分

N
A

P

B

F

(Ⅱ)连接 A1 P ,因为 A1C1 ∥ PC , A1C1 = PC ? 所以四边形 A1C1CP 为平行四边形 因为 CC1 ? AA1 ? PC ? 所以 A1C ? PC1

2a ,

2a ,所以四边形 A1C1CP 为菱形

………………………………………………………………………9 分

因为 MP ? 平面 ABCD , MP ? 平面 A1C1CA 所以平面 A1C1CA ? 平面 ABCD , 因为 BD ? AC ,所以 BD ? 平面 A1C1CA 因为 A1C ? 平面 A1C1CA ,所以 BD ? A1C 因为 PC1 I BD ? P ,所以 A1C ? 平面 BDC1 . 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且? ………………………………………12 分

?(1 ? 12d )q ? 50 ?(1 ? 7 d ) ? q ? (1 ? 2d ) ? (1 ? 3d ) ? 5

11 ? d ? ? ?d ? 2 ?(1 ? 12d )q ? 50 ? 12 即? 解得: ? ,或 ? , ?q ? 2 ? 2d ? q ? 6 ?q ? 25 ? 6 ? ?d ? 2 由于 {bn } 是各项都为正整数的等比数列,所以 ? ……………………………………3 分 ?q ? 2 从而 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 , bn ? q n ?1 ? 2n ?1 . ……………………………………5 分
(Ⅱ)

bn ? 2n ?1 ? log 2 bn ?1 ? n

1 1 ? d n d n ?1 ? ( ) ?8? n , d n ?1d n ? 2 ? ( ) ?7 ? n 2 2
两式相除:

dn?2 1 ? , dn 2
1 2

由 d1 ? 16 , d1d 2 ? ( ) ?8?1 ? 128 可得: d 2 ? 8

? d1 , d3 , d5 ,
项,以

是以 d1 ? 16 为首项,以

1 为公比的等比数列;d 2 , d 4 , d 6 , 2

是以 d 2 ? 8 为首

1 为公比的等比数列, …………………………………………………………7 分 2 ?1 1 n 2 n ) ? 当 n 为偶数时, d n ? 8 ? ( ) 2 ? 16( 2 2 1 n ?1?1 2 n 当 n 为奇数时, d n ? 16 ? ( ) 2 ? 16 2( ) 2 2

? 2 n ? 16( ) , n 为偶数 ? 2 综上, d n ? ? …………………………………………………………9 分 ?16 2( 2 ) n , n 为奇数 ? 2 ?
? S 2 n ? (d1 ? d3 ? ? d 2 n ?1 ) ? (d 2 ? d 4 ? ? d 2 n ) 1 1 16 ? [1 ? ( ) n ] 8 ? [1 ? ( ) n ] 2 2 ? 32[1 ? ( 1 ) n ] ? 16[1 ? ( 1 ) n ] ? 48 ? 48( 1 ) n ………………12 分 ? ? 1 1 2 2 2 1? 1? 2 2 20. (本小题满分 13 分)

p ? ? x0 ? 2 ? 3 ? 2 2 解: (Ⅰ)设点 G 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意可知 ? x0 ? y0 ? 9 ………………………2 分 ? y 2 ? 2 px 0 ? 0 ?
解得: x0 ? 1, y0 ? ?2 2, p ? 4, 所以抛物线 C1 的方程为: y ? 8 x ………………………………………………………4 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线 C1 的焦点 F (2, 0) 椭圆 C2 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合

? 椭圆 C2 半焦距 c ? 2, m 2 ? n 2 ? c 2 ? 4

1 2 1 ,? ? ? m ? 4 , n ? 2 3 2 m 2 2 2 x y ? 1 …………………………………………………………6 分 ? 椭圆 C2 的方程为: ? 16 12 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,
椭圆 C2 的离心率为

? y ? kx ? 4 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (4k ? 3) x ? 32kx ? 16 ? 0 ?1 ? ? ?16 12 32k 16 由韦达定理得: x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ………………………………8 分 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 2 2 由 ? ? 0 ? (?32k ) ? 4 ? 16(4k ? 3) ? 0 1 1 ? k ? 或 k ? ? ………………①……………………………………………………10 分 2 2 ∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 OA ? OB ? 0 , ? OA ? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? y1 y2 ? x1 x2
? (kx1 ? 4) ? (kx2 ? 4) ? x1 x2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16

16(4 ? 3k 2 ) 16 32k ? ?0 ? 4 k ? ? 16 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 2 3 2 3 ………………② ?? ?k? 3 3 2 3 1 1 2 3 由①、②得实数 k 的范围是 ? ?k?? 或 ?k? 3 2 2 3
? (k 2 ? 1) ?
21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

………………………13 分

1 ? ln x , x

f ?( x) ? 1 2

1 1 ? , x2 x

1 2 1 1 1 ? 函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 的切线方程为: y ? (ln 2 ? 1) ? 2( x ? ) , 2 2 2 即 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0 …………………………………………………………………4 分 a 1 (Ⅱ) f ( x) ? 1 ? ? ln x ,??( x) ? ax 2 ? (1 ? 2a ) x ? ln x ( x ? 0) , x 2 2 1 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ??( x) ? ax ? (1 ? 2a) ? ? x x x ?1 ①当 a ? 0 时, ??( x) ? x x ?1 由 ??( x) ? ? 0 及 x ? 0 可得: 0 ? x ? 1 ,??( x) 的单调递减区间为 (0,1] ………6 分 x ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ②当 a ? 0 时, ??( x) ? x 2 2 2 由 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 可得: ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0 1 设其两根为 x1 , x2 ,因为 x1 x2 ? ? ? 0 ,所以 x1 , x2 一正一负 a
则 f ?( ) ? 4 ? 2 ? 2 , f ( ) ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? 1 设其正根为 x2 ,则 x2 ? 由 ??( x) ?

2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 2a

2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 及 x ? 0 可得: 0 ? x ? 2a x

??( x) 的单调递减区间为 (0,

2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ] …………………………………………8 分 2a a 1 a?x (Ⅲ) f ?( x) ? 2 ? ? ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? a x x x2 由于函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,所以 a ? 0 或 a ? 2 ………………………10 分 3 2 对于 h(a ) ? 3? a ? 2a ,对称轴 a ? ? 4 3? 3? 8 3 9 当 ? 0或 ? 2 ,即 ? ? 0 或 ? ? 时, h(a ) max ? h( ? ) ? ? 2 ; 4 4 3 4 8

3? 4 ? 1 ,即 0 ? ? ? 时, h(a ) max ? h(0) ? 0 ; 4 3 3? 4 8 当1 ? ? 2 ,即 ? ? ? 时, h(a ) max ? h(2) ? 6? ? 8 ; 4 3 3 8 ?9 2 ? 8 ? , ? ? 0或? ? 3 ? 4 ? 0?? ? 综上可知: h(a ) max ? ? 0, ……………………………………………14 分 3 ? 4 8 ? ? 6? ? 8, 3 ? ? ? 3 ?
当0 ?


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