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2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题六


专题六 三角函数的图象和性质

1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( 4 A.- 5 ). 3 B.- 5 3 4 C. D. 5 5
[来源:学科网 ZXXK]

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 答案:B [由题意知,tan θ=2,cos 2θ= 2 2 = 2 =- .] 5 cos θ+sin θ 1+tan θ π? 2.函数 f(x)=sin x-cos? ?x+6?的值域为( ).

A.[-2,2] B.[- 3, 3] C.[-1,1] D.?-

?

3 3? , 2 2?

答案:B [因为 f(x)=sin x-

3 1 ? 3sin x-1cos x?= 3sin?x-π?,所 cos x+ sin x= 3· ? 6? 2 2 2 ?2 ?

以函数 f(x)的值域为[- 3, 3].] π? 3. 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)? 且 f(-x)=f(x), ?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 π, 则( ). π? A.f(x)在? ?0,2?单调递减 π? C.f(x)在? ?0,2?单调递增 π 3π? B.f(x)在? ?4, 4 ?单调递减 π 3π? D.f(x)在? ?4, 4 ?单调递增

π? 答案:A [f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+ φ)= 2sin? ?ωx+φ+4?. π π 由最小正周期为 π 得,ω=2,又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,|φ|< 可知 φ= ,所 2 4 π? 以 f(x)= 2cos 2x 在? ?0,2?单调递减.] 4.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=________. 解析 π? 1 3 y=sin x- 3cos x=2? sin x- cos x?= 2sin? ?x-3?的最大值为 2,又 0≤x<2π, 2 ?2 ?

π π 5π 故当 x- = ,即 x= 时,y 取得最大值. 3 2 6 答案 5π 6

1.对三角函数图象的考查主要表现在以下三个方面:(1)利用“五点法”作出图象;(2) 图象变换;(3)由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解析式. 2.三角函数的性质是高考的一个重点,它既有直接考查的客观题,也有综合考查的主

观题.常通过三角变换,将其转化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质(定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性). 3.三角函数的图象和性质经常与向量综合进行考查.

由于本部分高考试题的难度不大, 经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求, 二轮复 习就是在此基础上进行的巩固和强化,在复习中注意如下几点: (1)该专题具有基础性和工具性,虽然没有什么大的难点问题,但包含的内容非常广泛, 概念、公式很多,不少地方容易混淆,在复习时要根据知识网络对知识进行梳理,系统掌握 其知识体系. (2)抓住考查的主要题型进行训练,根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数 值.

必备知识 同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注 意正确选择公式、注意公式应用的条件. π 3π 五点法作 y=Asin(ωx+φ)的简图:五点取法是设 X=ωx+φ,由 X 取 0、 、π、 、2π 2 2 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图. 函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)最大值是 A+B,最小值是 B-A,周期是 2π ω π T= ,频率是 f= ,相位是 ωx+φ,初相是 φ;其图象的对称轴是直线 ωx+φ=kπ+ (k ω 2π 2 ∈Z),凡是该图象与直线 y=B 的交点都是该图象的对称中心. 由 y=sin x 的图象变换出 y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径, 只有区别开这两个途 径,才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平 移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变 量”起多大变化,而不是“角变化”多少. 三角函数的性质 三角函数的单调区间:y=sin x 递增区间是

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z), 2 2? ?
π 3π? 递减区间是? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z); y=cos x 的递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z), 递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);

π π? y=tan x 的递增区间是? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z). 必备方法 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 三者中,知一可求二; (2)“1”的替换:sin2α+cos2α=1; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的问题: π 3π (1)“五点法”画图:分别令 ωx+φ=0、 、π、 、2π,求出五个特殊点; 2 2 (2)给出 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 φ,一般从“五点 法”中取靠 y 轴较近的已知点代入突破; π (3)求对称轴方程:令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),求对称中心:令 ωx+φ=kπ(k∈Z). 2

三角函数的概念、诱导公式及其 基本关系的应用 常考查利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行化简、求值.主要以 小 题形式考查,在综合性问题第(1)问中也经常涉及到三角函数的化简、求值,多为基础问 题. 1 cos 2α 【例 1】若 tan(π-α)=- ,则 的值为( 3 2sin αcos α+cos2 α 8 A.- 3 8 8 8 B. C. D.- 5 15 7 ).

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先求 tan α,再将所求三角函数式分子分母同除 cos α 化成切的式子. C cos2 α-sin2 α 1-tan2 α 1 1 cos 2α [由 tan(π-α)=- 得, tan α= , = = 3 3 2sin αcos α+cos2 α 2sin αcos α+cos2 α 2tan α+1

1 1- 9 8 = = .] 2 15 +1 3 在三角函数求值类试题中,一般是先化简题目的已知条件或是目标式,把已 知和求解之间的关系明朗化后,再选择解决问题的方法.

【突破训练 1】 如图,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π),终边与单位圆相交于点 P,已知 3 4? 点 P 的坐标为? ?-5,5?.

求 解

sin 2α+cos 2α+1 的值. 1+tan α 3 4 由三角函数定义,得 cos α=- ,sin α= , 5 5

2sin αcos α+2cos2 α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α 3?2 18 =2cos2 α=2×? ?-5? =25. 三角函数y=Asin?ωx+φ?的图 象及解析式 常考查:①利用已给三角函数的图象特点,求三角函数解析式;②函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换.考查学生三角函数基础知识的掌握情况. 【例 2】已知

π 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R )的图象的一部分如图所示.则函数 2 f(x)的解析式为________. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 观察图象,由周期确定 ω,由特殊点的坐标确定 φ. T 2π 解析 由图象知 A=2, =2?T=8= , 4 ω π π ? 所以 ω= ,得 f(x)=2sin? ?4x+φ?. 4

π π π 由对应点得当 x=1 时, ×1+φ= ?φ= . 4 2 4 π π? 所以 f(x)=2sin? ?4x+4?. 答案 π π? f(x)=2sin? ?4x+4? 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于 “ 五点法 ” 中的哪一个 点. “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z), 其他依次类推即可. 【突破训练 2】函

π 数 f(x)=sin (ωx+φ),(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin ωx 的图象,则 2 只要将 f(x)的图象( ). π B.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12

π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6

T 7π π π 答案:A [由图象可知, = - = ,∴T=π, 4 12 3 4 2π π ∴ω= =2,再由 2× +φ=π. π 3 π? π 得 φ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+3?, 3 π? π 故只需将 f(x)=sin2? ?x+6?向右平移6个单位, 得到 g(x)=s in 2x.]

三角函数性质的有关考查 三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高考的热点,常与三角恒等变换交汇命 题,在考查三角恒等变换的方法与技巧的同时,又考查了三角函数的性质,难度中低档. 【例 3】已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx),设 1 ? 函数 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈? ?2,1?. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π ? ? 3π? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x )在区间?0, 5 ?上的取值范围. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 对于第(1)问的求解主要是根据函数性质和三角函数的定义进行合一化简求 最小正周期;对于第(2)问的求解则要对三角函数在定义域内求值域. 解 (1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· cos ωx+λ=-cos 2 ωx+ 3sin 2ωx+λ=

π? 2sin? ?2ωx-6?+λ. π? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? 1, ?2ωπ-6?=± π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). 6 2 2 3 1 ? 5 又 ω∈? ?2,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? ?π? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0, 5 π π? π 即 λ=-2sin? ?6×2-6?=-2sin4=- 2, 即 λ=- 2. 5 π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2, 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,得- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 5 π? 1 所以- ≤sin? ?3x-6?≤1, 2 5 π? 得-1- 2≤2sin? ?3x-6?- 2≤2- 2, 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2].

在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性的问题时,通常是将三角 函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式,即 y=Asin(ωx+φ)+m, 其中 A>0,ω>0,φ∈[0,2π),若给定区间 x∈[a,b],则最大(小)值、单调区间随之确定; 若定义域关于原点对称,且 φ=kπ(k∈Z),m=0,则 y=Asin(ωx+φ)+m 是奇函数;若定义 π 域关于原点对称,且 φ=kπ+ (k∈Z),m=0,则 y=Asin (ωx+φ)+m 是偶函数;其周期为 T 2 2π = . ω 【突破训练 3】 已知 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a(a∈R). (1)若 x∈R,求 f(x)的单调递增区间; π? (2)若 x∈? ?0,2?时,f(x)的最大值为 4,求实数 a 的值. 解 因 f(x)=2cos2 x+ 3sin 2x+a π 2x+ ?+a+1. =cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin? 6? ? π π π (1)令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6 π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间是? 3 6? ? π π π 7π 0, ?, ≤2x+ ≤ , (2)若 x∈? ? 2? 6 6 6 π ∴当 x= 时,f(x)取得最大值 a+3. 6 则由条件有 a+3=4,得 a=1. 三角函数图象与性质的综合应用 三角函数图象与性质是三角函数的综合交汇点, 是高考命题的重点, 主要考查三角函数 的周期性、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等,近几年关于三角函数综合应用的高考题 不断求新求异,但考查的知识方法不变,首先是化简所给式子,然后结合三角函数的性质求 解相关问题. π 1 1 π +φ?(0<φ<π),其图象过点 , 【例 4】? 已知函数 f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin? ? 2 2 ?2 6 1 . 2 (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 2

π? 的图象,求函数 g(x)在? ?0,4?上的最大值和最小值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,然后再求解. 解 π 1 1 +φ? (1)∵f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin? ? 2 2 ?2
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(0<φ<π),

1+cos 2x 1 1 ∴f(x)= sin 2xsin φ+ cos φ- cos φ 2 2 2 1 1 = sin 2xsin φ+ cos 2xcos φ 2 2 1 = (sin 2 xsin φ+cos 2xcos φ) 2 1 = cos(2x-φ), 2 π 1? 又函数图象过点? ?6,2?, π 1 1 2× -φ?, ∴ = cos? ? 2 2 ? 6 π ? 即 cos? ?3-φ?=1, π 又 0<φ<π,∴φ= . 3 π 1 1 2x- ?,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵 (2)由(1)知 f(x)= cos? 3 ? ? 2 2 π 1 4x- ?, 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,可知 g(x)=f(2x)= cos? 3? 2 ? π? 因为 x∈? ?0,4?,所以 4x∈[0,π], π 2π π π 1 - , ?,故- ≤cos?4x- ?≤ 1. 因此 4x- ∈? 3? ? 3 ? 3 3? 2 π? 1 1 所以 y=g(x)在? ?0,4?上的最大值和最小值分别为2和-4.

(1)形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数通过引入辅助角化为 y= a2+b2 sin(ωx+φ)?cos φ=

? ?

a b ? ?的形式. 2,sin φ= 2 a +b a +b2?
2

(2)求三角函数式最值的方法

①将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. ②将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求 解.
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π? 【突破训练 4】 若函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+m 在区间? ?0,2?上的最大值为 6. (1)求常数 m 的值;
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π (2)作函数 f(x)关于 y 轴的对称图象得函数 f1(x)的图象,再把 f1(x)的图象向右平移 个单 4 位长度得 f2(x)的图象,求函数 f2(x)的单调递减区间. 解 (1)f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1+m
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π? =2sin? ?2x+6?+1+m, π? π π 7π 由于 x∈? ?0,2?,所以6≤2x+6≤ 6 , π? 1 所以- ≤sin? ?2x+6?≤1. 2 所以 m≤f(x)≤3+m,所以 3+m=6,所以 m=3. π? (2)由(1)得 f(x)=2sin? ?2x+6?+4, π? f1(x)=2sin? ?-2x+6?+4, π? π? f2(x)=2sin?-2? ?x-4?+6 +4

?

?

2 ? =-2sin? ?2x-3π?+4. π 2 π 由- +2kπ≤2x- π≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 7 ? 得 f2(x)的单调递减区间是? ?12+kπ,12π+kπ?,k∈Z.

三角函数标准式的应用 利用辅助角公式化已知三角函数式为“标准式”, 是历年高考的热点, 三角函数标准式 在求三角函数性质(如单调性、最值等)时有着重要作用.化简时常常要结合三角恒等变换知 识,这是解决三角函数问题的基础,因此,要牢固掌握这一解题技巧. π? 【示例】设 f(x)=4cos? ?ωx-6?sin ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π? (2)若 f(x)在区间? ?- 2 ,2?上为增函数,求 ω 的最大值.

[ 满分解答 ]

(1)f(x) = 4 ?

3 1 ? cos ωx+ sin ωx sin ωx + cos 2ωx = 2 3 sin ωxcos ωx + 2 2 ? ?

2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1,(4 分) 因为-1≤sin 2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].(6 分) π π? (2)因 y=sin x 在每个闭区间? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin 2ωx+ kπ π kπ π ? 1(ω>0)在每个闭区间? ? ω -4ω, ω +4ω?(k∈Z)上为增函数.(8 分) 3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意知? ?- 2 ,2??? ω -4ω, ω +4ω?对某个 k∈Z 成立,

?- 2 ≥-4ω, 此时必有 k=0,于是? π π ?2≤4ω,
1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 .(12 分) 6 6 老师叮咛:本题考查三角函数的基本知识,利用公式进行化简,然后数形结合找函数的 单调区间,再根据单调区间求参数的最值.其中,第?1?问需利用三角恒等变换知识将三角函 数式化为标准式,是解?2?问的基础;第?2?问得分率不高,不少考生找不到解题突破口是失 分原因. 【试一试】要得到函数 y= 2cos x 的图象,只需将函数 y= π? 2sin? ?2x+4?的图 象上所有的点的( ).



π

1 π A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 π B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4 π C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 4 π D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8 答案: C π? [将函数 y= 2sin? ?2x+4?图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标

π? π 不变 ) ,得函数 y = 2sin ? ?x+4? 的图象;再向左平行移动 4 个单位长度后便得: y = 2 π π x+ + ?= 2cos x 的 sin? 4 4? ?


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