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2013年北京宏志中学高一数学暑假作业4--数列和直线方程 答案


高一数学暑假作业-----数列、直线方程

1.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前 3 个数成等比数列,后 3 个数成等差数列,则这两个正数之和 为( A. ) A.1 B. B.-

45 4

25 2

C.

27 2

D.

47 4
)

1 2

C.1 或-1

D.1 或 ?

1 2

【答案】D 10.已知等比数列 {an } 中 an?1

【答案】A 2.在等差数列 {an } 中,有 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 A. 24 【答案】C B.39

? a10 ? a13 ) ? 48 ,则此数列的前 13 项和为(
C.52 D.104

? an ,且 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则
2 3 3 2

a11 ?( a7
D. 2

)

3.在等差数列 {an } 中, a5 ? a7 ? 16 , a3 ? 1 ,则 a9 的值是( A.15 【答案】A 4.等差数列 {an } 中, a2 ? a7 A. 2 【答案】C B. 3 B.30

) C.-31 D.64

A.

1 2
[来源: ]

B.

C.

【答案】D

11.在等比数列{an}中, a1

? 1 ,公比|q|≠1,若 am= a1·a2· a3· a4· a5,则 m=(
C.11 D.12
[来源: ]

)

? a15 ? 12 ,则 a8 ? (
C. 4

) D. 6

A.9 【答案】C

B.10

12.正项等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 ) A.

a4 ? 8 , S4 ? S1 ? 38 ,则公比等于(
C.

)

5.已知等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 等于( A. ? 4 【答案】B 6.已知等差数列 A. a1 【答案】B 7.已知各项不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 B. ? 6 C. ? 8 D. ? 10

5 2

B.

3 2

2 5

D.

2 3
)

?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ...? a101 ? 0, 则有(
B.

) D. a51

【答案】D

13.记等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的(

? a10 ? 0

a3 ? a99 ? 0 C. a2 ?a100 ? 0

? 51

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

解析:可以借助反例说明:①如数列:-1,-2,-4,-8,?公比为 2,但不是增数列; 1 1 1 1 ②如数列:-1,- ,- ,- ,?是增数列,但是公比为 <1. 2 4 8 2 答案:D

b7 ? a7 , 则b6b8 ? (
A.2 【答案】D 8.已知

) B.4 C.8 D.16

14.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为( A.4 1 1 B. C.-4 D.- 4 4

)

?an ? 为等差数列,其公差为 ?2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,
) C.90

Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,

n ? N * ,则 S10 的值为(
A.-110 【答案】D B.-90

解析:∵{an}为等差数列,
D.110 )
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∴S5=

5(a1+a5) =5a3=55, 2

∴a3=11,

9.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为(

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∴kPQ=

a4-a3 =a4-a3=15-11=4. 4-3

Sn Sn 则 n =-n.所以数列{ n }是首项为-1, 公差为-1 的等差数列,所以其前 11 项的和为 ) S11=11×(-1)+ 答案:D 1 19.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则 a11=( an+1 1 2 A.0 B. C. D.2 2 3 1 1 - 2 3 1 1 1 1 1 解析: 由已知可得 = , = 是等差数列{ }的第 3 项和第 7 项, 其公差 d= a3+1 3 a7+1 2 an+1 7-3 ) = 1 , 24 ) 11×10 ×(-1)=-66. 2

答案:A S6 S9 15.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 7 8 A.2 B. C. D.3 3 3 解析:由等比数列的性质: S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是,由 S6=3S3,可推出 S9-S6=4S3,S9=7S3, S9 7 ∴ = . S6 3 答案:B 1 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an-1,则 a2 等于( 5 A.- 5 5 5 25 B. C. D. 4 4 16 16

1 1 1 1 2 由此可得 = +(11-7)d= +4× = . 2 24 3 a11+1 a7+1 1 解之得 a11= . 2 答案:B 20.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=32,则 ) A.4 B.2C.-2 D.-4
2 a9 a7·11 a 解析:由等比数列的性质得 a3·11=a5·9=a2,所以 a7=2,故 = a a =a7=2. 7 a11 a11

1 5 5 解析: Sn=an-1,取 n=1,得 S1=5a1-5,即 a1= .取 n=2,得 a1+a2=5a2-5, + 5 4 4 25 a2=5a2-5,所以 a2= . 16 答案:D 17.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4=( A.7 B.8C.15 D.16 解析:不妨设数列{an}的公比为 q, 则 4a1,2a2,a3 成等差数列可转化为 2(2q)=4+q2,得 q=2. 1-24 S4= =15. 1-2 答案:C Sn 18.等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,则数列{ }的前 11 项和为( n A.-45 B.-50C.-55 D.-66 解析:由等差数列{an}的通项公式得 a1=-1,所以其前 n 项和 Sn= n(a1+an) n(-1+1-2n) = =-n2. 2 2 )

a2 9 的值为( a11

)

答案:B 答案:D 21.已知{an}是递增数列,对任意的 n∈N*,都有 an=n2+λn 恒成立,则 λ 的取值范围是( 7 A.(- ,+∞) B.(0,+∞) 2 C.(-2,+∞) D.(-3,+∞) 解析:数列{an}是递增数列,且 an=n2+λn,则 an+1-an=2n+1+λ>0 在 n≥1 时恒成 立,只需要 λ>(-2n-1)max=-3,故 λ>-3. 答案:D
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)

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22.在等比数列 【答案】 4 23.已知
n-1

?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ? .

解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)=

n(n-1) n2-n 个,即 个, 2 2

n2-n 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 +3 个, 2
是公比为 的等比数列,且 成等差数列,则 ____________

即为

n2-n+6 . 2 n2-n+6 2

1 【答案】 ? 或 2

答案:

?an,当an为偶数时 ? 24.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 2 ,若 a6=1,则 m ? ?3an+1,当an为奇数时
所有可能的取值为________. 解析:由 a6=1?a5=2?a4=4?a3=1 或 8?a2=2 或 16?a1=4 或 5、32. 答案:4,5,32 25. 已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数, n 项和为 Sn(n∈N*). a1>1, 4>3, 3≤9, 前 若 a S 则通项公式 an=________.

27.下面给出一个“直角三角形数阵”: 1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 ? 满足每一列的数成等差数列, 从第三行起, 每一行的数成等比数列, 且每一行的公比相等,

?x+3y>3 ?a1>1 ? ? 解析:由 a1>1,a4>3,S3≤9 得,?a1+3d>3 ,令 x=a1,y=d 得,? x+y≤3 ?a1+d≤3 ? ?
x>1 以 an=2+n-1=n+1. 答案:n+1 26.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 7 11 12 ? ? 8 13 ? 5 3 6 9 10 14 15 ? ? ?

记第 i 行第 j 列的数为 aij(i≥j,i,j∈N*),则 a83=________. , 1 1 解析:由题意知,a83 位于第 8 行第 3 列,且第 1 列的公差等于 ,每一行的公比都等于 . 4 2 1 1 1 1 由等差数列的通项公式知,第 8 行第 1 个数为 +(8-1)× =2,a83=2×( )2= . 4 4 2 2 答案: 1 2

?x,y∈Z

在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1),即 a1=2,d=1,所

28.已知数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 n,an,Sn 成等差数列(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn>57 时 n 的取值范围. 解:(1)∵n,an,Sn 成等差数列, ∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1 ∴an=2an-1+1 (n≥2), (n≥2),

两边加 1 得 an+1=2(an-1+1) (n≥2), ∴
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根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是________.

an+1 =2 an-1+1

(n≥2).

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又由 Sn=2an-n 得 a1=1. ∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1=2·n 1,即数列{an}的通项公式为 an=2n-1. 2 (2)由(1)知,Sn=2an-n=2 ∴Sn+1-Sn=2 =2
n+1 n+2 n+1


? [1 ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n?1 )
? 1 ? (2n ? 1) 1 ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 ?n? 2 1? 2
12 分

9分

-2-n,


-2-(n+1)-(2n 1-2-n)

-1>0,

30.已知数列{an } 是等差数列, a3 ? 10 , a6 ? 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和是 S n ,且 S n ? (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:数列 {bn } 是等比数列; 【答案】 (1) an ? 4n ? 2 ; (2)利用等比数列的定义证明 【解析】 试题分析: (1)由已知 ?

1 bn ? 1 . 3

∴Sn+1>Sn,{Sn}为递增数列. 由题设,Sn>57,即 2n 1-n>59. 又当 n=5 时,26-5=59,∴n>5. ∴当 Sn>57 时,n 的取值范围为 n≥6(n∈N*). 29.已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列


{an } 的通项公式;

(2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n . 【答案】 ? an ? a1q (I) 【解析】 试题分析: (I)设等比数列 {an } 的公比为 q
n ?1

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22.

解得 a1 ? 2, d ? 4.

4分

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2.
2 n?1

6分 解得 b1 ?

n 1 ? ? ?2 (II)? S n ? (1 ??)2 (31。) ? (5 ? 2 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2 ) ? 2 (n ? N ) ;
*
2 n

n ?1

(2)令 n ? 1 ,得 b1 ? 1 ?

1 b1 . 3

3 , 4

7分

? a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项

由于 S n ? 1 ?

1 bn , 3



? 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3
?q ? a3 ?2 a2

2分

当 n ? 2 时, S n ?1 ? 1 ?

1 bn ?1 ② 3
10 分

4分 ①-②得 bn ? 6分 又? b1 ?

1 1 1 bn ?1 ? bn , ? bn ? bn ?1 3 3 4

?an ? a1qn ?1 ? 2n ?1 (n ? N * )
(II)? bn ? 2n ? 1 ? an

b2 1 3 1 3 ? 0 , s2 ? 1 ? b2 ,? b2 ? ? ,满足 4 3 16 b1 4

? S n ? (1 ? 1) ? (3 ? 2) ? (5 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) .

8分

?

bn 1 ? .(n ? 2) bn?1 4

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∴数列 {bn } 是以

3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 4

12 分

?Tn ? 3(2 ? 22 ? 23 ??? 2n ) ? 3n ? 2n?1 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ?? n),
? 3? 2(2n ? 1) 3n(n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2
3n(n ? 1) . 2

31.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2an ? 3n , (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Tn 。

?Tn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ?
考点:数列求通项求和

b 【答案】 (1)证数列 ?bn ? 是等比数列,需利用定义证明 n ?1 ,数列 ?an ? 通项公式 an ? 3 ? 2n ? 3 bn
3n( n ? 1) . (2) Tn ? (6n ? 6) ? 2 ? 6 ? 2
n

点评:第一问由 Sn 求通项主要用到的关系式 an ? ?

?

? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ?

Sn ? n ? 1?

,而后构造与数列 ?bn ? 有关

的关系式判定

bn ?1 是常数;第二问中数列通项公式是一次式与指数式乘积形式的,采用错位相减 bn

【解析】 试题分析: (1)? S n ? 2an ? 3n 对于任意的正整数都成立, ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1? 两式相减,得 S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n ∴ an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3

法求和,这种方法是数列求和题目中常考的方法 32.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 6 ? 42 , a5 ? a7 ? 24 . (1)求数列 ?an ? 的通项 a n 及前 n 项和 S n ; (2)令 bn ? 2
? an

? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ,即 bn ?
∴数列 ?bn ? 是等比数列. 由已知得 S1 ? 2a1 ? 3

an ?1 ? 3 ? 2 对一切正整数都成立. an ? 3

( n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
?

S ? 2n ? 【答案】 (1) an ? 2n , n

n?n ? 1? ? 2 ? n2 ? n ; 2

即 a1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3

∴首项 b1 ? a1 ? 3 ? 6 ,公比 q ? 2 ,?bn ? 6 ? 2n?1 .

1? 1? ?1 ? n ? 1? 4? 4 ? 1? ? ?1 ? n ? (2) Tn ? 1 3? 4 ? 1? 4
【解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为, s6 ? 42 , a5 ? a7 ? 24 , ,所以 试题分析:解:

?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 .
(2)? nan ? 3? n ? 2 ? 3n,
n

?Tn ? 3(1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?? n ? 2 ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ?? n),
2 3 n

2Tn ? 3(1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? n ? 2n?1 ) ? 6(1? 2 ? 3 ? ?? n),

6?5 ? ?6a1 ? d ? 42 ,解得 a1 ? 2, d ? 2 , ? 2 ? 2a1 ? 10d ? 24 ?

4分

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n?n ? 1? ? 2 ? n2 ? n ; 所以 an ? 2n , S n ? 2n ? 2

A.α 一定是直线 l 的倾斜角 B.α 一定不是直线 l 的倾斜角 8分 C.α 不一定是直线 l 的倾斜角 D.180° 一定是直线 l 的倾斜角 -α 解析:设 θ 为直线 l 的倾斜角,

bn ? 2

? an

?2

?2 n

1? 1? ?1 ? n ? 1? 4 4 ? 1? ? 4?n ,所以 Tn ? ? ? ?1 ? n ? 1 3? 4 ? 1? 4

13 分

则 tanθ=

tanα+1-1 =tanα, m+1-m

∴α=kπ+θ,k∈Z,当 k≠0 时,θ≠α. 答案:C 35.如图,直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率 为 k,则 A.ksinα>0 ( ) B.kcosα>0 D.kcosα≤0

33.已知等差数列 ?an ? 的前四项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列 (1)求通项公式 an (2)设 bn ? 2 ,求数列 bn 的前 n 项和 s n
an

C.ksinα≤0

5 8n ? 1 5 【答案】 (1) an ? 3n ? 5或an ? ; (2) S n ? 或 Sn ? 2 2 n 。 2 28

π 解析:显然 k<0, <α<π, 2 ∴cosα<0,∴kcosα>0. 答案:B 36.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1<k2<k3,则下列说法中 一定正确的是 A.k1k2=-1 B.k2k3=-1C.k1<0 D.k2≥0 解析:结合图形知,k1<0.

【解析】

5 ? ?4a1 ? 6d ? 10 ?a1 ? ?2 ?a1 ? ?? 或? 试题分析:⑴由题意知 ? 2 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ) ?d ? 3 ?d ? 0 ? ?
5 所以 an ? 3n ? 5或an ? (6 分) 2
⑵当 an ? 3n ? 5 时,数列 ?bn ? 是首项为

1 、公比为 8 的等比数列 4

答案:C 37.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________. 解析:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kBC,即 a2+a a3-a2 = ,又 a>0,∴a=1+ 2. 2-1 3-2

1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 4 所以 Sn ? ? 1? 8 28
5 5 当 an ? 时, bn ? 2 2 2

所以 S n ? 2 n
5 2

5 2

答案:1+ 2 38.已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜

综上,所以 S n ?

8 ?1 或 Sn ? 2 n 28
n

(12 分)

率是________. 解析:设直线 AB 的倾斜角为 2α,则直线 l 的倾斜角为 α,由于 0° ≤2α<180° ,∴0°≤α -2-(-5) 3 1 1 <90° ,由 tan2α= = ,得 tanα= ,即直线 l 的斜率为 . 3 3 3-(-1) 4
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直线的倾斜角与斜率
34.已知直线 l 过点(m,1),(m+1,tanα+1),则( )

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答案:

1 3

答案:2x-y+2=0

题组四 39.已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 l1∥l2 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵l1∥l2?an-bm=0,且 an-bm=0?/ l1∥l2,故 an=bm 是直线 l1∥l2 的必要不 充分条件. 答案:B 40.已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4C.2 D.1 解析:由题意知,a2b-(a2+1)=0 且 a≠0, a2+1 1 ∴a b=a +1,∴ab= a =a+a,
2 2

直线的倾斜角和斜率的综合问题

)

43.若关于 x 的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是________. 解析:数形结合.在同一坐标系内画出函数 y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然 k≥1 或 k=0 时满足题意.

) 答案:k≥1 或 k=0 44.已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,则该直线倾斜角的取 值范围是________. 解析:如图所示, kPA= 6-3 =-1, -1-2

1 1 ∴|ab|=|a+a|=|a|+ ≥2.(当且仅当 a=± 时取“=”). 1 |a| 答案:C a 41.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( b 2 A. 3 2 1 1 B.- C. D.- 3 3 3 )

3π ∴直线 PA 的倾斜角为 , 4 kPB= 6-2 =1, -1-(-5)

解析:曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 3, a 1 所以b=- . 3 答案:D 42.设直线 l1 的方程为 x+2y-2=0,将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90° 得到直线 l2,则 l2 的方程是________________.

π ∴直线 PB 的倾斜角为 , 4 π 3π 从而直线 l 的倾斜角的范围是[ , ]. 4 4 π 3π 答案:[ , ] 4 4

直线方程
1 解析:∵l1⊥l2,k1=- ,∴k2=2, 2 又点(0,1)在直线 l1 上,故点(-1,0)在直线 l2 上, ∴直线 l2 的方程为 y=2(x+1),即 2x-y+2=0. 45.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0 )

解析:当 x=1 时,y=1,即所求直线过点(1,1),
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在直线 x-2y+1=0 中,令 y=0,得 x=-1,则(-1,0)关于直线 x=1 对称的点(3,0)在所 求直线上,故所求方程为 x+2y-3=0. 答案:D 46.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1 =0,则直线 PB 的方程是 )

4 5 A.2 B.1C. D. 5 3 解析:设点 C(x,y),由于 AC =2 CB , 所以(x-7,y-1)=2(1-x,4-y),
? ? ?x-7=2-2x ?x=3 所以有? ?? , ? ? ?y-1=8-2y ?y=3

????

??? ?

A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 解析:由于直线 PA 的倾斜角为 45° ,且|PA|=|PB|, 故直线 PB 的倾斜角为 135° , 又当 x=2 时,y=3,即 P(2,3), ∴直线 PB 的方程为 y-3=-(x-2),即 x+y-5=0. 答案:A 47.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 3 解析:由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率是- ,由点斜式可得直线 2 3 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0. 2 答案:A )

1 3 又点 C 在直线 y= ax 上,所以有 3= a,a=2. 2 2 答案:A 49.若点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为( A.5 B.-5C.4 D.-4 解析:过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为 3x-4y+4b-15=0. 1 4b-15 5 31 由题意知, < < ,∴ <b<5, 8 4 4 8 又 b 是整数,∴b=4. 答案:C )

50. 经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值, 且截距之和最小, 则直线的方程为( A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0 x y 1 4 解析:设直线的方程为a+b=1(a>0,b>0),则有a+b=1, b 4a 1 4 ∴a+b=(a+b)(a+b)=5+a+ b ≥5+4=9, b 4a 当且仅当 = ,即 a=3,b=6 时取“=”. a b ∴直线方程为 2x+y-6=0. 答案:B 51.已知 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上移动,则 xy 的最大值等于________. x y 解析:线段 AB 的方程为 + =1(0≤x≤3), 3 4

)

1 48.已知 A(7,1),B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于点 C,且 2

???? ??? ? AC =2 CB ,则 a 等于

(

)
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高一数学暑假作业-----数列、直线方程

x y ∴1= + ≥2 3 4

xy ,∴xy≤3. 12

∵点 B 在直线 l2:2x+y-8=0 上, 故可设 B(t,8-2t).又 M(0,1)是 AB 的中点, 由中点坐标公式得 A(-t,2t-6). ∵A 点在直线 l1:x-3y+10=0 上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得 t=4.

3 (当且仅当 x= ,y=2 时取“=”). 2 答案:3

52.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其 1 2 中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 解析:由题意知,点 A(-2,-1). n 4m 1 2 1 2 1 1 ∴2m+n=1, ∴ + =( + )(2m+n)=4+ + ≥4+4=8(当且仅当 m= , n= 时取 m n m n m n 4 2 “=”). 答案:8 53.过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0 所截得的线段恰好 被 M 所平分,求此直线方程. 10 解:法一:过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴,它和两已知直线的交点分别是?0, 3 ?和 ? ? (0,8),显然不满足中点是点 M(0,1)的条件. 故可设所求直线方程为 y=kx+1,与两已知直线 l1,l2 分别交于 A、B 两点,联立方程 组
? ?y=kx+1, ? ① ? ?x-3y+10=0, ? ?y=kx+1, ? ② ?2x+y-8=0, ?

∴B(4,0),A(-4,2), 故所求直线方程为 x+4y-4=0. 54.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积 为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k-y0 +1=0 恒成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
? ?k≥0, 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是 k≥0. 1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- k ,在 y 轴上的截距为 1+2k, 1+2k 1+2k 1 1 1+2k ∴A(- k , B(0,1+2k), 0), 又- k <0 且 1+2k>0, ∴k>0, S= |OA||OB|= × k 故 2 2 (1+2k) 1 1 1 = (4k+k+4)≥ (4+4)=4, 2 2 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号, k 2
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7 7 由①解得 xA= ,由②解得 xB= , 3k-1 k+2 ∵点 M 平分线段 AB, 7 7 ∴xA+xB=2xM,即 + =0. 3k-1 k+2 1 解得 k=- ,故所求直线方程为 x+4y-4=0. 4 法二:设所求直线与已知直线 l1,l2 分别交于 A、B 两点.

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故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 55.若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范围是( 2 A.k>- B.k<2 3 2 2 C.- <k<2 D.k<- 或 k>2 3 3 )

? ?y=kx+k+2 解析:由? ?y=-2x+4 ?

?x=2-k ? k+2 得? 6k+4 ?y= k+2 ?



?2-k>0 ?k+2 由? 6k+4 ? ? k+2 >0
答案:C

?-2<k<2, ? 2 得? ∴- <k<2. 2 3 ? ?k<-2或k>-3,

56.直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0

)

解析:在对称直线上任取一点 P(x,y),则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′,y′)必在直 线 l 上.
?x′+x=2 ? 由? 得 P′(2-x,2-y), ? ?y′+y=2

∴4(2-x)+3(2-y)-2=0,即 4x+3y-12=0. 答案:B

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