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高中数学必修5(北师版)第二章解三角形2.1(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理

一、知识清单
正弦定理 余弦定理

二、知识讲解
1.正弦定理 描述: 正弦定理(law of sines) 在一个三角形中,各边的长和它所对角正弦的比相等,即

一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 例题: (1)在 △ABC 中,已知 A = 45? ,B = 30? ,c = 10 ,求 b . (2)在 △ABC 中,已知 A = 45? ,a = 2,b = √2 ,求 B . 解:(1)因为 A + B + C = 180 ? ,所以 C = 105 ? . 因为 又

a b c = = = 2R (R 为三角形外接圆半径). sin B sin A sin C

b c c sin B 10 sin 30? ,所以 b = . = = sin B sin C sin C sin 105 ?

sin 105 ? = sin(60? + 45? ) = sin 60? ? cos 45? + cos 60? ? sin 45? √6 + √2 = . 4
所以 b = 5(√6 ? √2 ). (2)因为

a b b sin A 1 √2 sin 45? ,所以 sin B = = = = .因为 a > b,所以 sin B a 2 2 sin A A > B,所以 B 为锐角,所以 B = 30? .
下列关于 △ABC 的说法正确的是( ) ? A.若 a = 7,b = 14 ,A = 30 ,则 B 有两解 B.若 a = 30 ,b = 25 ,A = 150 ? ,则 B 只有一解 C.若 a = 6,b = 9 ,A = 45? ,则 B 有两解 D.若 b = 9 ,c = 10 ,B = 60? ,则 C 无解 解:B.

b sin A A 项中,由正弦定理,得 sin B = = a
错误;

14 × 7

1 2 = 1,所以 B = 90? ,即只有一解,A 项 1

b sin A B 项中,由正弦定理,得 sin B = = a
项正确;

25 × 30 9×

1 2 < 1,又 A 为钝角,故 B 只有一解,B

b sin A C 项中,由正弦定理,得 sin B = = a
误;

√2 2 > 1,所以 B 不存在,即无解,C 项错 6

√3 10 × c sin B 2 < 1 ,因为 b < c ,B = 60? , D 项中,由正弦定理,得 sin C = = b 9 0 ? < C < 180 ? ,所以 C 有两解,D 项错误.
在 △ABC 中,b = 2 ,B = (1)sin A + sin C; (2)sin A ? sin C ; (3)a + c; (4)a ? c . 解:(1)

π ,求下列式子的最值 . 3

sin A + sin C = sin A + sin(A + B) π = sin A + sin(A + ) 3 3 √3 = sin A + cos A 2 2 π = √3 sin(A + ), 6 2 π π 5 1 π π ,所以 < A + < π ,所以 < sin(A + ) ? 1. 3 6 6 6 2 6 π π π 当 A+ 时,sin A + sin C 取得最大值 √3 ,无最小值. = ,即 A = 6 2 3
又因为 0 < A < (2)

sin A ? sin C = sin A ? sin(A + B) π = sin A ? sin(A + ) 3 1 √ 3 = sin 2 A + sin A cos A 2 2 1 1 ? cos 2A √3 = × + sin 2A 2 2 4 1 1 √3 = sin 2A ? cos 2A + 4 4 4 1 π 1 = sin(2A ? ) + , 2 6 4 2 π π 7 1 π π ,所以 ? < 2A ? < π,所以 ? < sin(2A ? ) ? 1 . 3 6 6 6 2 6 π π π 3 当 2A ? 时,sin A ? sin C 取得最大值 ,无最小值. = ,即 A = 6 2 3 4 b 4√3 (3)因为 ,所以 = 2R = sin B 3
因为 0 < A <

a + c = 2R ? sin A + 2R ? sin C = 2R ? (sin A + sin C ),
即当 sin A + sin C 取最值时,a + c 取得最值,

4

4√3 × √3 = 4,无最小值. 3 b 4√3 (4)因为 ,所以 = 2R = sin B 3
所以 (a + c)max =

a ? c = (2R ? sin A) ? (2R ? sin C ) = (2R)2 ? sin A ? sin C
所以当 sin A ? sin C 取得最值时,a ? c 取得最值,所以 (a ? c)max = ( 小值.

4√3 2 3 ) × = 4 ,无最 3 4

2.余弦定理 描述: 余弦定理(law of cosines)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹 角的余弦值的积的两倍,即

c 2 = a2 + b 2 ? 2ab cos C b 2 = a2 + c 2 ? 2ac cos B a2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
从以上公式中解出 cos A,cos B ,cos C ,则可以得到余弦定理的另一种形式:

b 2 + c 2 ? a2 2bc c 2 + a2 ? b 2 cos B = 2ca a2 + b 2 ? c 2 cos C = 2ab cos A =
例题: (1)在 △ABC 中,已知 a = 2,c = 2√3 ,∠B = π ,求 b . (2)在 △ABC 中,已知 AB = 5,AC = 3,BC = 7,求 ∠BAC 的大小. 解:(1)由余弦定理得

6

b 2 = a2 + c 2 ? 2ac cos B = 2 2 + (2√3 )2 ? 2 × 2 × 2√3 × cos
所以 b = 2 . (2)由余弦定理得

π = 4, 6

∠BAC =

A C 2 + A B 2 ? BC 2 1 32 + 52 ? 72 = =? , 2×3×5 2 2 ? AC ? AB 2π . 3 1 ,若 a = 4, 4

因为 0 < ∠BAC < π,所以 ∠BAC =

在 △ABC 中,设角 A ,B ,C 的对边分别为 A ,B ,C ,且 cos A =

b + c = 6 且 b < c ,求 b ,c 的值.
解:由余弦定理,得

a2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,




a2 = (b + c)2 ? 2bc ? 2bc cos A,
所以 16 = 36 ?

5 bc,所以 bc = 8 ,由 2

? b + c = 6, ? bc = 8, ? b < c,

得{ b = 2,

c = 4.

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