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高中数学必修2-2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》同步练习


2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》同步练习
一、选择题 1.异面直线是指( )

A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 [答案] D [解析] 对于 A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共 面),另一个是异面.∴A 应排除. 对于 B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可 异面,如右图,就是相交的情况,∴B 应排除. 对于 C,如右图的 a,b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b,显 然它们是相交直线,∴C 应排除.只有 D 符合定义.∴应选 D. 2.a,b 为异面直线,且 a?α,b?β,若 α∩β=l,则直线 l 必定( A.与 a,b 都相交 C.至少与 a,b 之一相交 [答案] C [解析] 若 a,b 与 l 都不相交,则 a∥l,b∥l,即 a∥b,与 a,b 是异面直线矛盾.故 选 C. 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 C.6 条 [答案] C [解析] 画一个正方体,不难得出有 6 条. 4. 空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( A.30° C.60° ) B.45° D.90° B .4 条 D.8 条 ) B.与 a,b 都不相交 D.至多与 a,b 之一相交 )

[答案] A
1

[解析] 取 AD 的中点 H,连 FH、EH,在△EFH 中 ∠EFH=90° , HE=2HF,从而∠FEH=30° , 故选 A. 5.下列命题中,正确的结论有( )

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等; ②如果两条相交 直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角 的两边和另一个角的两边分别垂直, 那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同时平行于 第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] ②④是正确的. 6.如图所示,设 E,F,G,H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上除 AE AH CF CG 端点外的点,且 = =λ, = =μ,则下列结论不正确的是( AB AD CB CD ) B .2 个 D.4 个

A.当 λ=μ 时,四边形 EFGH 是平行四边形 B.当 λ≠μ 时,四边形 EFGH 是梯形 1 C.当 λ=μ= 时,四边形 EFGH 是平行四边形 2 1 D.当 λ=μ≠ 时,四边形 EFGH 是梯形 2 [答案] D [解析] 如图所示,连接 BD, ∵ AE AH = =λ, AB AD

∴EH∥BD,且 EH=λBD. 同理,FG∥BD,且 FG=μBD. ∴EH∥FG. ∴当 λ=μ 时,EH=FG. ∴此时四边形 EFGH 是平行四边形. ∴选项 A,C 正确,D 错;当 λ≠μ 时,EH≠FG,则此时四边形 EFGH 是梯形,∴选 项 B 正确.
2

二、填空题 7.若 AB∥A′B′,AC∥A′C′,则下列结论: ①∠ACB=∠A′C′B′; ②∠ABC+∠A′B′C′=180° ; ③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180° . 一定成立的是________. [答案] ③ 8.如图所示,六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 中,底面是正六边形.

(1)A1F1 与 BD 所成角的度数为________. (2)C1F1 与 BE 所成角的度数为________. [答案] 30° 60° 9.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体),P,Q,R,S 分别是 所在棱的中点,则这四点不共面的一个图形是________.

[答案] ④ 三、解答题 10.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的面 A1C1 内有一点 P,经过点 P 作棱 BC 的平行线,应该怎样画?并说明理由.

[分析] 由于 BC∥B1C1,所以平行于 BC 的直线只需要平行于 B1C1 即可. [解析] 如图所示, 在面 A1C1 内过 P 作直线 EF∥B1C1, 交 A1B1 于点 E, 交 C1D1 于点 F, 则直线 EF 即为所求. 理由:∵EF∥B1C1,BC∥B1C1,∴EF∥BC.

3

11.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,D、E 分别是 VB、VC 的中 点,求异面直线 DE 与 AB 所成的角.

[解析] 由已知得 BC⊥AC, 又 BC=AC,∴∠ABC=45° . 又在△VBC 中,D、E 分别为 VB、VC 中点, ∴DE∥BC,∴DE 与 AB 所成的角为∠ABC=45° . 12.如图,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC= 2,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA =1,且 E 为 DA 的中点.求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值.

[分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点,分别引 BE 与 DC 的平 行线,换句话说,平移 BE(或 CD).设想平移 CD,沿着 DA 的方向,使 D 移向 E,则 C 移 向 AC 的中点 F,这样 BE 与 CD 所成的角即为∠BEF 或其补角,解△EFB 即可获解. [解析] 取 AC 的中点 F,连接 BF、EF,在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD, ∴∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). 1 1 5 在 Rt△EAB 中,AB=1,AE= AD= ,∴BE= . 2 2 2 1 1 1 2 在 Rt△AEF 中,AF= AC= ,AE= ,∴EF= . 2 2 2 2 1 5 在 Rt△ABF 中,AB=1,AF= ,∴BF= . 2 2

4

1 2 EF 2 4 10 在等腰△EBF 中,cos∠FEB= = = , BE 5 10 2 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 . 10

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