当前位置:首页 >> 数学 >>

2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4-第四节 导数与函数的综合问题


第四节

导数与函数的综合问题
A 组 基础题组

1.若某商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式为 y=-x +27x+123(x>0),则获得最大年利
3

润时的年产量为( A.1 百万件

) C.3 百万件 D.4 百万件 )

B.2 百万件

2.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f'(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 3.(2014 课标Ⅰ,12,5 分)已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围
3 2

是(

) B.(1,+∞)

A.(2,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 4.设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e -a.
2 x

(1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.

5.已知函数 f(x)=xlnx. (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 k≤1 时,求证:f(x)≥kx-1 恒成立.

1

B组
2x

提升题组

6.(2015 课标全国Ⅰ,21,12 分)设函数 f(x)=e -alnx. (1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数; (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .
2

7.(2014 课标全国Ⅰ,21,12 分)设函数 f(x)=alnx+ 率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< -1,求 a 的取值范围.


1- 2

x -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜
2

8.(2017 贵州遵义模拟)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调区间;

2 e

,其中 k∈R 且 k≠0.

(2)当 k=1 时,若存在 x>0,使 lnf(x)>ax 成立,求实数 a 的取值范围.

2

3

答案全解全析 A 组 基础题组
1.C y'=-3x +27=-3(x+3)(x-3),当 0<x<3 时,y'>0;当 x>3 时,y'<0.
2

故当 x=3 时,该商品的年利润最大. 2.B 令 g(x)=f(x)-2x-4,则由题意知 g'(x)=f'(x)-2>0,因此,g(x)在 R 上是增函数,又 g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,所以原不等式可化为 g(x)>g(-1),由 g(x)的单调性,可得 x>-1. 3.C a=0 时,不符合题意.
2

a≠0 时,f'(x)=3ax -6x,令 f'(x)=0,得 x1=0,x2=a . 若 a>0,则由图象知 f(x)有负数零点,不符合题意. 则 a<0,由图象结合 f(0)=1>0 知,此时必有 f 选 C. 4. 解析 (1)函数 f(x)的定义域为 R. 因为 f'(x)=2x·e +(1+x )e =(x +2x+1)e =(x+1) e ≥0,
x 2 x 2 x 2 x

2

2 a

>0,即 a×a 3 -3×a 2 +1>0,化简得 a >4,又 a<0,所以 a<-2,故
2

8

4

所以函数 f(x)在 R 上单调递增,即 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)证明:因为 a>1,所以 f(0)=1-a<0,f(lna)=(1+ln a)e -a=aln a>0,
2 lna 2

所以 f(0)·f(lna)<0,由零点存在性定理可知 f(x)在(0,lna)内存在零点. 又由(1)知,f(x)在 R 上单调递增,故 f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点. 5. 解析 (1)易知 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,令 f'(x)=0,得 x= .
1

f'(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) 0, 1 e 1 e 0 极小值 1 ,+∞ e + ↗



4

所以 f(x)的单调减区间为 0, ,单调增区间为 (2)证明:设 g(x)=lnx+ ,x>0,
x 1

1

1

,+∞ .

则 g'(x)= - 2 =
x x

1 1 x-1 x2

,

令 g'(x)=0,得 x=1. g'(x)与 g(x)的变化情况如下表: x g'(x) g(x) 所以 g(x)≥g(1)=1,即 lnx+x ≥1 在 x>0 时恒成立, 所以,当 k≤1 时,lnx+x ≥k, 所以 xlnx+1≥kx,即 xlnx≥kx-1, 所以,当 k≤1 时,有 f(x)≥kx-1.
1 1

(0,1) ↘

1 0 极小值

(1,+∞) + ↗

B 组 提升题组
6. 解析 (1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2e - .
x
2x

a

当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x)没有零点; 当 a>0 时,因为 y=2e 单调递增,y=-x 单调递增,所以 f'(x)在(0,+∞)上单调递增.
2x

a

又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< 且 b< 时,f'(b)<0,
4 4

a

1

故当 a>0 时,f'(x)存在唯一零点. (2)证明:由(1),可设 f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞) 时,f'(x)>0.
5

故 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2 2x 0 -x =0,所以 f(x0)=2x +2ax0+alna ≥2a+alna .
0 0

a

a

2

2

故当 a>0 时,f(x)≥2a+alna . 7. 解析 (1)f'(x)= +(1-a)x-b.
x a

2

由题设知 f'(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=alnx+ 2 x -x,f'(x)=x +(1-a)x-1=
2

1-a

a

1-a x

x- 1-a (x-1).

a

(i)若 a≤2,则1-a ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<a-1的充要条件为 f(1)<a-1,即 2 -1<a-1,解得- 2-1<a< 2-1. (ii)若2<a<1,则1-a >1,故当 x∈ 1, 1-a 时,f'(x)<0;当 x∈ 减,在
a 1-a 1 a a a 1-a a a 1-a a

1

a

, + ∞ 时,f'(x)>0.f(x)在 1, 1-a 上单调递

a

, + ∞ 上单调递增.
a a 1-a

所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<a-1的充要条件为 f 而f
a 1-a

<a-1.

a

=aln1-a +2(1-a)+a-1>a-1,所以不合题意.
1-a -a-1 2

a

a2

a

a

(iii)若 a>1,则 f(1)= 2 -1=

<a-1.

a

综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). 8. 解析 (1)函数的定义域为 R,f'(x)= 当 k<0 时,令 f'(x)>0,可得 x<0 或 x>2; 令 f'(x)<0,可得 0<x<2, ∴函数 f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2); 当 k>0 时,令 f'(x)<0,可得 x<0 或 x>2; 令 f'(x)>0,可得 0<x<2, ∴函数 f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0),(2,+∞). (2)当 k=1 时,f(x)= x ,
x2 -kx (x-2) x

,

6

存在 x>0,使 lnf(x)>ax 成立等价于 a< 则 g'(x)=
2(1- x) x2

2 x-x x

,设 g(x)=

2 x-x x

(x>0),

,

当 0<x<e 时,g'(x)>0;当 x>e 时,g'(x)<0, ∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴g(x)max=g(e)= -1,∴a< -1.
2 2

7


相关文章:
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)3-...
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)3- 导数与函数的极值、最值_数学_高中教育_教育专区。第三 导数与函数的极值、最值 A 组 基础...
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)2 ...
2018课标版数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)2 第二节 导数与函数的单调性夯基提能作业本_数学_高中教育_教育专区。第二节 导数与函数的单调性 A 组...
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1-...
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1-第一节 变化率与导数...(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.已知函数 f(x)=3x+4sinx-cosx 的 ...
2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1 ...
2018课标版数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)1 第一节 变化率与导数...4,则 a= 9.求下列函数的导数: (1)y=x·tanx; (2)y=(x+1)(x+2)(...
...及其应用3.2导数的应用第3课时导数与函数的综合问题...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第3课时导数与函数的综合问题教师用书文_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时 导数与函数的综合...
...及其应用3.2导数的应用第3课时导数与函数的综合问题...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第3课时导数与函数的综合问题教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时 导数与函数的综合...
...及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问...
2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题试题理_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 2 讲 导数的...
...及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问...
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 第 2 讲 导数的...
2018届高三数学(理)一轮复习:第三章 导数及其应用 第四...
2018届高三数学(理)一轮复习:第三章 导数及其应用...第四节 导数的综合应用 Word版含解析_数学_高中...4.(2015 北京,19,13 分)设函数 f(x)= -klnx...
...导数及其应用 第四节 导数的综合应用 Word版含解析
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第四节 导数的综合应用 A 组...
更多相关标签: