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高中数学人教A版选修2-1同步练习:3.2.1直线的方向向量和平面的法向量


第三章

3.2.1 直线的方向向量和平面的法向量

一、选择题 1 ? 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a=? ?2,-1,3?,b=(-1,2,-6),则( A.α∥β C.α⊥β [答案] D [解析] ∵b=-2a,∴b∥a, ∴α∥β 或 α 与 β 重合. 2.直线 l1、l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(

-2,3,2),则( A.l1∥l2 C.l1⊥l2 [答案] C [解析] ∵a· b=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. 3.已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段 AB 与坐标平面( A.xOy 平行 C.yOz 平行 [答案] C → [解析] ∵AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3), → ∴AB∥平面 yOz. 4.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,给出下列结论: B.xOz 平行 D.yOz 相交 ) B.l1 与 l2 相交,但不垂直 D.不能确定 ) B.α 与 β 相交但不垂直 D.α∥β 或 α 与 β 重合 )

①直线 DD1 的一个方向向量为(0,0,1); ②直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1); ③平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0); ④平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( A.1 个 ) B.2 个

C.3 个 [答案] C

D.4 个

→ → → [解析] DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),直线 AD⊥平面 ABB1A1,AD=(0,1,0); → C1 点坐标为(1,1,1),AC1与平面 B1CD 不垂直,∴④错. 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AB、CC1、A1D1、C1D1 的中点,下列结论中, 错误的是( ) B.BF∥平面 ADD1A1 D.A1E∥CH

A.A1E⊥AC1 C.BF⊥DG [答案] A

[解析] 设正方体棱长为 1,以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

1 1 1 1 则 A1(1,0,1),E(1, ,0),C(0,1,0),F(0,1, ),C1(0,1,1),H(0, ,1),G( ,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0), 2 2 2 2 1 1 1 1 → → → → → ∴A1E=(0, ,-1),AC1=(-1,1,1),BF=(-1,0, ),DG=( ,0,1),CH=(0,- ,1). 2 2 2 2 平面 ADD1A1 的一个法向量为 v=(0,1,0), 1 → → → ∴A1E· AC1=- ,BF· v=0, 2 → → → → BF· DG=0,A1E=-CH. ∴B、C、D 成立,A 不成立,故选 A. 6.对于任意空间向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),给出下列三个命题: a1 a2 a3 ①a∥b? = = ; b1 b2 b3 ②若 a1=a2=a3=1,则 a 为单位向量; ③a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0. 其中真命题的个数为( A.0 C.2 [答案] B ) B.1 D.3

a1 a2 a3 [解析] 由 = = ?a∥b,反之不一定成立,故①不正确;②显然错误;③是正确的,故选 B. b1 b2 b3 二、填空题 1? 7. 平面 α 的法向量 u=(x,1, -2), 平面 β 的法向量 v=? 已知 α∥β, 则 x+y=__________. ?-1,y,2?, [答案] 15 4

x 1 -2 [解析] ∵α∥β,∴u∥v,∴ = = , 1 -1 y 2 x=4, ? ? 15 ∴? ∴x+y= . 1 4 ? ?y=-4, 8.直线 l1 与 l2 不重合,直线 l1 的方向向量 v1=(-1,1,2),直线 l2 的方向向量为 v2=(2,0,1),则直线 l1 与 l2 的位置关系是__________. [答案] 垂直 [解析] ∵v1· v2=-2+0+2=0, ∴v1⊥v2. ∴l1⊥l2, 三、解答题 9.如图所示,已知矩形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 ∠PDA=θ,能否确定 θ,使直线 MN 是直线 AB 与 PC 的公垂线?若能 值;若不能确定,说明理由. [解析] 以点 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,设|AD|=2a, PDA=θ,则 A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、 b,atanθ). → → → ∴AB=(0,2b,0),PC=(2a,2b,-2atanθ),MN=(a,0,atanθ). → → ∵AB· MN=(0,2b,0)· (a,0,atanθ)=0, → → ∴AB⊥MN,即 AB⊥MN. 若 MN⊥PC, → → 即MN· PC=(a,0,atanθ)· (2a,2b,-2atanθ) =2a2-2a2tan2θ=0,则 tan2θ=1, 而 θ 是锐角, ∴tanθ=1,θ=45° . 即当 θ=45° 时,直线 MN 是直线 AB 与 PC 的公垂线. |AB| = 2b , ∠ M(0,b,0)、N(a, AB、 PC 的中点, 确定,求出 θ 的

10.已知四面体 ABCD 中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC. → → → → → → [证明] 证法 1:先将已知条件转化为AB· CD=0,AC· BD=0,再证明AD· BC=0. ∵AB⊥CD,AC⊥BD,

→ → → → ∴AB· CD=0,AC· BD=0. → → → → → → ∴AD· BC=(AB+BD)· (AC-AB) → → → → → 2 → → =AB· AC+BD· AC-AB -AB· BD → → → 2 → → =AB· AC-AB -AB· BD → → → → → → =AB· (AC-AB-BD)=AB· DC=0. → → ∴AD⊥BC,从而 AD⊥BC. → → → 证法 2:设DA=a,DB=b,DC=c, ∵AB⊥CD, → → ∴AB· CD=(b-a)· (-c)=a· c-b· c=0, ∴a· c=b· c; → → ∵AC⊥BD,∴AC· BD=(c-a)· (-b)=a· b-b· c=0,∴a· b=b· c; ∴a· c=a· b, → → ∴AD· BC=(-a)· (c-b)=a· b-a· c=0, ∴AD⊥BC.

一、选择题 11.已知空间四边形 ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P、Q、R、S,如下图,所得图形是( )

A.长方形

B.正方形

C.梯形 [答案] D

D.菱形

→ → → 1→ 1→ 1→ [解析] ∵PQ=BQ-BP= BC- BA= AC. 2 2 2 → 1→ → → 同理SR= AC,∴PQ=SR, 2 ∴四边形 PQRS 为平行四边形, → → → 1 → 1→ 1 → 又∵PS=AS-AP= AD- AB= BD, 2 2 2 1 → 1→ ∴|PS|= |BD|,即 PS= BD, 2 2 1 → 1→ 又|PQ|= |AC|,∴PQ= AC, 2 2 ∵AC=BD,∴PS=PQ,∴四边形 ABCD 为菱形. 12.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中在平面 α 内的是 ( ) A.(1,-1,1) 3 C.(1,-3, ) 2 [答案] B → → → [解析] 对于选项 A,PA=(1,0,1),PA· n=5,∴PA与 n 不垂直,排除 A;同理可排除 C、D.对于选项 1 → → B,有PA=(1,-4, ),∴PA· n=0,∴选 B. 2 二、填空题 13.已知空间直角坐标系 O-xyz 中的点 A(1,1,1),平面 α 过点 A 并且与直线 OA 垂直,动点 P(x,y, z)是平面 α 内的任一点,则点 P 的坐标满足的条件为__________. [答案] x+y+z=3 → [解析] 由题意知,OA⊥α,直线 OA 的方向向量OA=(1,1,1), → → 因为 P∈α,∴OA⊥AP, ∴(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0, ∴x+y+z=3. 14.(2013· 清华附中月考)在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知 A(1,-2,3),B(2,1,-1),若直线 AB 交 平面 xOz 于点 C,则点 C 的坐标为__________. 5 1 [答案] ( ,0, ) 3 3 x-1 → → → → [解析] 设点 C 的坐标为(x,0,z),则AC=(x-1,2,z-3),AB=(1,3,-4),因为AC与AB共线,所以 1 3 B.(1,3, ) 2 3 D.(-1,3,- ) 2

2 z-3 = = ,解得 3 -4 三、解答题

?x=3 ? 1 ?z=3

5 5 1 ,所以点 C 的坐标为( ,0, ). 3 3

15.设 a,b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1,l2 的位置关系; (1)a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); (2)a=(5,0,2),b=(0,1,0); (3)a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8). [解析] (1)∵a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), ∴a=-2b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,1,0), ∴a· b=0,a⊥b,∴l1⊥l2. (3)∵a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8), ∴a 与 b 不共线也不垂直. ∴l1 与 l2 相交或异面. 16.在正四棱锥 P-ABCD 中,底面正方形边长为 3 2,棱锥的侧棱长为 5,E、F、G 分别为 BC、CD、 PC 的中点,用向量方法证明下列问题. (1)EF⊥PA; (2)EF∥平面 PBD; (3)直线 PA 与平面 EFG 不平行. [解析] 设 AC 与 BD 的交点为 O, ∵P-ABCD 为正四棱锥, ∴PO⊥平面 ABCD,且 AC⊥BD, 以 O 为原点,OB,OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

∵正方形 ABCD 边长为 3 2,∴OB=OC=3,

又 PC=5,∴OP=4, ∴A(0,-3,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,0,0),P(0,0,4). 3 3 3 3 (1)∵E、F 分别为 BC、CD 的中点,∴E( , ,0),F(- , ,0), 2 2 2 2 → → → → ∴EF=(-3,0,0),PA=(0,-3,-4),EF· PA=0,∴EF⊥PA. → (2)显然OC=(0,3,0)为平面 PBD 的一个法向量, → → ∵EF· OC=0,∴EF∥平面 PBD. 3 → → (3)∵G 为 PC 中点,∴G(0, ,2),设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· EF=0,n· EG=0, 2 -3x=0, ? ? ? ?x=0, ∴? 3 ∴? ?z=0. ? ? ?-2x+2z=0. → 取 n=(0,1,0),∵n· PA=-3≠0,∴PA 与平面 EFG 不平行.


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