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三角函数---任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数


第5章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数

创设情景

兴趣导入

锐角三角函数的定义是什么?

C
在 Rt ?ABC 中,
sin ? ?

cos? ?

b

?

a c
B

tan? ?

A

创设情景

兴趣导入

将 Rt⊿ABC 放在直角坐标系中,使得点 A 与坐标原点重合, AC 边在 x 轴的正半轴上.三角函数的定义可以写作:

y

o

a y sin ? ? C(x , y) c r b x cos? ? r y c r ? a y tan? ? B x x b x

动脑思考

探索新知



设 ? 是任意大小的角,点 P( x, y ) 为角 ? 的终边上 不与原点重合的任意一点,点 P 到原点的距离为

角 函 数

r ? x2 ? y 2 ,角 ? 的正弦、余弦、正切分别定义为

y
r
?

P(x , y)

y sin ? ? r

y
x
B

x cos ? ? r

o

x

y tan ? ? x

动脑思考

探索新知



角 函 数

y x sin ? ? cos ? ? r r

y tan ? ? x

在比值存在的情况下,对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系,角α的正弦、余弦、正切、都分别

有唯一的比值与之对应,他们都是以角α为自变量的
函数,分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数,统 称为三角函数.

动脑思考

探索新知



正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示:

角 函 数

三角函数







sin ?

R
? {? ? ? k ? ? , k ? Z} 2

cos?

tan?

R

动脑思考

探索新知



角 函 数

当角α采用弧度制时,角α的取值集合与实数集R之
间具有一一对应的关系,所以三角函数是以实数α 为自变量的函数.

巩固知识 典型例题



例 1 已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求角 ? 的 正弦、余弦、正切值.

角 函 数

首先要根据关系式 r ? x 2 ? y 2 ,求出点 P 到坐标原点的距离 r , 然后根据三角函数定义进行计算.
解 因为 x ? ,y? , ,

所以 r ? 22 ? (?3)2 ?

sin ? ?

y ? r

, cos ? ? .

x ? r



tan ? ?

y ? x

运用知识
练习5.3.1

强化练习

已知角 ? 的终边经过点 P, 求:角 ? 的正弦、余弦、正切值: ⑴ P(3,?4) ; ⑵ P(?1,2) ; ⑶ P( 1 , ? 3 ) . 2 2

创设情景

兴趣导入
0, y 0,

当角α的终边在第一象限时,点P在第一象限,x 的终边在第三象限时,点P在第一象限,x 的终边在第二象限时,点P在第一象限,x 的终边在第四象限时,点P在第一象限,x 所以, sinα 0,cosα 0,tanα 0;

sinα>0
cosα<0

y

sinα>0
cosα>0

tanα<0
sinα<0 o cosα<0 tanα>0

tanα>0
sinα<0

x

cosα>0
tanα<0

动脑思考

探索新知



任意角三角函数的符号:

y

y

y

角 函 数

+
o
sinα

+
x

o y
正弦正

+
+
x
cosα>0

-

+
o

+

-

x

tanα>0

全正

正切正

o

余弦正

x

巩固知识 典型例题



例 2 判定下列角的各三角函数符号. (1)4327? ; (2)

角 函 数

27? . 5

判断任意角三角函数值的符号时,首先要判断出角所在的象限, 然后再根据在各象限角三角函数值的符号来进行判断 .
27? 解 (1) 因为 4327? (2)因为 角为第 解 角为第 象限角, 象限角, 5

故 sin 27? ? 4327 故 sin 5 cos 4327? 27? tan 4327? tan 5

0, ? 27 0, cos 5 0,
0. 0.

0,

巩固知识 典型例题



例3 根据条件 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , 确定 ? 是第几象限的角.

角 函 数
y

y

+ o
sinα

+

x

+
o

-

+

-

x

tanα

应用知识 强化练习



练习5.3.2

角 函 数

1.判断下列角的各三角函数符号 (1)525?(2)-235 ?(3) ; ;

19? 3? ; (4) ? . 4 6

2.根据条件 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , 确定 ? 是第几象限的角.

自我探索 使用工具



观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书, 小组完成计算器计算三角函数值.

角 函 数

0

sin ? cos?

? 2

?

3? 2

2?

tan?
计算器

巩固知识 典型例题



例 4 求下列各式的值: (1) 5cos180? ? 3sin 90? ? 2 tan 0? ? 6sin 270? ;

角 函 数

? ? ? ? ? ? (2) cos ? sin ? tan ? 3 sin ? sin ? cos 3 6 4 3 4 4

这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值, 然后再进行代数运算. 计算器

应用知识 强化练习



练习5.3.3

角 函 数

1.计算:
5sin 90? ? 2cos0? ? 3 tan180? ? cos180? ;

2.计算:

? ? 1 2? 3? cos ? tan ? tan ? sin ? cos ? 2 4 3 3 2

计算器

归纳小结 自我反思



角 函 数
本次课学习 哪些内容?

你会解决 哪些新问题?

体会到哪些 学习方法?

布置作业 继续探究



角 函 数

阅读

书面

实践

教材章节5.3

学习与训练5.3

了解计算器的其它使用

再 见


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