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数列求和专题


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一、公式法

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n 2.等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1 2 2 2 2 3.平方和公式: 1 +2 +3 +......+n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6
1.等差数列求和公式: S n ? 例 1: (1)求 Sn ? 42 +......+n2 的前 n 项和; (2)求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.
2 3 n

二、 分组求和法 —— {an } 和 {bn } 分别为两个不同的数列, 则 {an ? bn } 采取分组求和法, 即分别求 {an } 的 前 n 项和 Sn 与 {bn } 的前 n 项和 Tn ,再合并. 例 2:(1)(2014.长春市模拟)已知等差数列 {an } 满足 a5 =9,a2 +a6 =14 . ①求数列 {an } 的通项公式;② bn ? an ? q n ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .
a

变式 2: (1) f ( x) ? 2x ? 3x ? 1 ,点 (n, an ) 在 f ( x) 的图像上,求 {an } 的前 n 项和 Sn ;
3 (2){an } 的前 n 项是 3+2-1 ,6+2 -1 ,9+2 -1 ,12+2 -1 , ……,写出 {an } 的通项公式并求前 n 项和 Sn .

2

4

三、裂项相消法 ——将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解,常用公式: (1) a n ?

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? 1

(3) an ?

1 1 1 2n 1 1 ?( ? ); (4) an ? n ; ? n ? n +1 n +1 (2n ? 1 ) (2n ? 1) 2n ? 1 2 n ? 1 (2 ? 1 ) (2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
(6) an ?

(5)

1 = n ?1 ? n ; n ? 1+ n

1 1 1 1 ? [ ? ]. n(n+1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

例 3:求和(1) an ?

1 1 1 1 ? ? .......? ; (2) 1 ? . 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? .....? n n(n ? 2)

变式 3: (1) an ?

4 1 (n ? 3) ; ; (2) an ? 2 n ?4 (2n ? 1)(2n ? 1) a2 a3 ? ? 2 22 ? an ? 2n , n ? N* 2n ?1

(3) (2014.广州调研)设数列 ?an ? 满足 a1 ? ①求数列 ?an ? 的通项公式; ②设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? an ? 1?? an?1 ? 1?

四、错位相减法 ——主要用于求数列 {an bn } 的前 n 项和,其中 {an } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列 例 4: (2012.高考天津卷) {an } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , {bn } 是等比数列,且 a1 =b1 ? 2

a4 +b4 ? 27 , S4 ? b4 ? 10 .(1)求 {an } 的通项公式;
(2)记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ......anbn (n ? N? ) ,证明 Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N? , n ? 2) .

变式 4: (1)已知数列 {an } 中,点 在直线 y ? x ? 2 上 (an,an +1) ①求数列 {an } 的通项公式;②若 bn ? an 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; (2) (2014.湛江二模) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且 a2 , a 5 , 4 1a 分别是等比数列 ?bn ? 的 b2 , b3 , b4 ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 设数列 ?cn ? 对任意正整数 n 均有

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2014 的值.

五、分段求和法 ----适用于含绝对值型 例 5: (2012.湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.

变式 5:(2013.浙江卷)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d <0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

六、倒序相加法 ——满足 a1 ? an ? a2 ? an?2 ? ....... ? f (n) 型 例 6:函数 f ( x ) 对于 x ? R 都有 f ( x)+f (1 ? x) ?

1 1 n ?1 ) ? f (1) . ,求和 S n ? f (0) ? f ( ) ? ...... f ( 2 n n

1 2 2012 2013 4x )? f ( ) ? ...... f ( )? f ( )+f (1) . 变式 6:设 f ( x)= x ,求和 S ? f ( 2014 2014 2014 2014 4 ?2

七、奇偶讨论法、合并求和法——把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 7:求和 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 n .

变式 7: (2014.山东卷)等差数列 {an } 中,已知公差 d ? 2 , a 2 是 a1 与 a 4 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? a n( n?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ......? (?1) n bn .
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