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2006-2012年山东高考数学试题三角函数专题 Microsoft Word 97 - 2003 Document


0< 2006 年 18 已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? )( A>0,?>0, ?< ), y=f(x)的最大值为 且
2

?

2

2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)计算 f(1)+f(2)+…+f(2008). 2007 年 17.在

△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ;

CA (2)若 CB ? ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

2008 年 17 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 为偶函数, 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ f ( ) 的值; )求

?

? . 2

8

(Ⅱ )将函数 y=f(x)的图象向右平移

? 个单位后, 得到函数 y=g(x)的图 6
? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? )

象,求 g(x)的单调递减区间. 2009 年 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos 在 x ? ? 处取最小值. (1)求 ? 的值;
2

?
2

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2010 年 17

2, f ( A) ?

3 ,求角 C 2

已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x(?>0) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

(Ⅰ)求 ? 的值.

1 ,纵 2

坐标不变,得到函数 y ? g ( x)

的图像,求函数 g ( x) 在区间 ? 0,

? ? ? ? 上的最小值。 ? 16 ?
cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

2011 年 17. 在 ? ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c. B, b, 已知 (I)求 2012 年

sin C 的值; sin A
17 在 △ ABC

(II)若 cosB=

1 , ? ABC的周长为5,求b的长. 4

中 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 已 知

sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C .

(Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列;
2

(Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

A A ? cos(2? x ? 2? ). 2 2 A A ? y ? f ( x) 的最大值为 2, A ? 0 . ? ? ? 2, A ? 2. 2 2 又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 , 1 2? ? ? ( ) ? 2, ? ? . 2 2? 4
2006 年 18 .解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?

? f ( x) ?

2 2 ? ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) . 2 2 2 2

? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,? cos( x ? 2? ) ? ?1. 2
? 2? ? 2k? ?
(II) ? ? ?

?

?

?
2

x ?2? ?2k? ?? , k ?Z ,

?

2

, k ? Z,

?? ? k? ?

?

?
4

, ? y ?1 ?c o s ( x ?

?

4

, k ? Z , 又∵ 0 ? ? ?

?
2

,

?? ?

?
4

.

?
2

2

)? 1? s i n x 2

?

.

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 .
又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
? 2007 年 17.17.解: (1)? tan C ? 3 7,
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

sin C ?3 7 cos C 1 解得 cos C ? ? .? tan C ? 0 ,? C 是锐角. 8

1 ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 CA (2)? CB ? ? , ? a bc o s C? , ? ab ? 20 . 2 2
又? a ? b ? 9 ? a ? 2ab ? b ? 81 .? a ? b ? 41.
2 2 2 2

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .
2008 年 17 解:(Ⅰ f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ) =2 ?

? 3 ? ? 1 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? = 2sin(? x ? ? ? ) . 6 2 ? 2 ?
所以对 x∈ R,f(-x)=f(x)恒成立,

因为 f(x)为偶函数, 因此 sin (?? x ? ? ? 即 ? sin ? x cos(? ?

?

?

) ? sin(? x ? ? ? ). 6 6 ) ? cos ? x sin(? ?

?

?

6

整理得 sin ? x cos(? ?

?
6

6

) ? sin ? x cos(? ?

?
6

) ? cos ? x sin(? ?

?
6

)

) ? 0.

因为 ? >0,且 x ? R,

所以 cos(? ?

?
6

) ? 0.

又因为 0< ? < ? , 故 ? - 由题意得 因此

?
6

?

?
2

.

所以 f ( x) ? 2sin(? x ? 故 f(x)=2cos2x.

?
2

) ? 2 cos ? x.

2?

? ? f ( ) ? 2 cos ? 2. 8 4

?

? 2?

?
2

. 所以 ? =2.

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象. 6 6 ? ? ? ? )? 2 c o s [ x?( 2 ? ) ] 2 cxo s ( 2 ? 所以 g ( x)? f ( x 6 6 3 ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ?(k ? Z), 当 3 ? 2? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 时,g(x)单调递减. 即 6 3 ? 2? [k ? ? ,k ? ? ]k(? Z ) . 因此 g(x)的单调递减区间为 6 3 1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2009 年 17、解: (1) f ( x) ? 2sin x ? 2
(Ⅱ )将 f(x)的图象向右平移

).

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

.

(2)由(1)知 f ( x) ? sin( x ? 且 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? 又因为 a ? 1, b ? 也就是 sin B ? 当B ?

?
2

) ? cos x

因为 f ( A) ? cos A ?

3 , 2

?
6

.

2, 所以由正弦定理,得

a b ? , sin A sin B

? 3? b sin A 1 2 ? 2? ? , 因为 b ? a ,所以 B ? 或 B ? . 4 4 a 2 2

?
4

6 4 7? ? 综上所述, C ? 或C ? 12 12
2010 年 17

时, C ? ? ?

?

?

?

?

3? 7? ? 3? ? ? . ; 当B ? 时, C ? ? ? ? 4 12 6 4 12

f ( x) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2,

g ( x) ? f ( 2 x) ?
所以

2 ? 1 sin(4 x ? ) ? 2 4 2。

0? x?


?

?

6 时, 4

? 4x ?

?
4

?

?
2

2 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 4 所以 2
?

因此 1 ? g ( x) ?

1? 2 , 2

故 g ( x) 在区间 ? 0, ? 内的最小值为 1. ? 16 ?

??

2011 年 17.解: (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 所以 sin C ? 2sin A (II)由 因此 又 A? B ?C ?? ,

sin C ? 2. sin A
由余弦定得及 cos B ?

sin C ?2得 sin A

c ? 2a.

1 得 4

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 1 ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 4 2 ? 4a .
所以 b ? 2 a. 2012 年 17 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。

(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,

sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列.

(II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4 4


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