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【步步高】届高三数学大一轮复习 第一章 章末检测学案 理 新人教A版


第一章

章末检测

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 1 1.(2010·安徽)若集合 A={x|log x≥ },则?RA 等于( 2 2 A.(-∞,0]∪( C.(-∞,0]∪[ 答案 A 1 1 1 1 2 解析 log x≥ ?log x≥log . 2 2 2 22 ?0<x≤ 2 .

2 2 ,+∞) 2 2 ,+∞) 2 B.( D.[ 2 ,+∞) 2 2 ,+∞) 2

)

2 ,+∞). 2 1 2 2.(2010·广东)“m< ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的( ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件 答案 A 1 1 1 2 解析 一元二次方程 x +x+m=0 有实数解?Δ =1-4m≥0?m≤ ,m< ? m≤ 4 4 4 1 1 且 m≤ D/? m< ,故选 A. 4 4 3.(2010·南平一中期中)已知命题 p:? x∈R,x>sin x,则( ) A.綈 p:? x∈R,x<sin x B.綈 p:? x∈R,x≤sin x C.綈 p:? x∈R,x≤sin x D.綈 p:? x∈R,x<sin x 答案 C 解析 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论, 故选 C. 4.(2010·华南师大附中期中)设集合 A={1,2,3,4},B={0,1,2,4,5},全集 U=A∪B, 则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 答案 A 解析 由题意得 A∪B={0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,4},所以?U(A∩B)={0,3,5}. 2 2 5.(2010·合肥一中期中)设集合 M={x|2x -2x<1},N={x|y=lg(4-x )},则( ) A.M∪N=M B.(?RM)∩N=R C.(?RM)∩N=? D.M∩N=M 答案 D 解析 依题意,化简得 M={x|0<x<2},N={x|-2<x<2},所以 M∩N=M. 6.(2010·西安交大附中月考)下列命题错误的是( ) 2 2 A.命题“若 m≤0,则方程 x +x+m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x +x+m =0 无实数根,则 m>0” ∴?RA=(-∞,0]∪(
1

B.“x=2”是“x -x-2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 中必有一真一假 2 2 D.对于命题 p:? x∈R,x +x+1<0,则綈 p:? x∈R,x +x+1≥0 答案 C 解析 若 p∧q 为假命题,则 p,q 中至少有一个为假命题.故 C 错. 7.(2011·威海模拟)已知命题 p:无穷数列{an}的前 n 项和为 Sn,若{an}是等差数列, 2 则点列{(n,Sn)}在一条抛物线上;命题 q:若实数 m>1,则 mx +(2m-2)x-1>0 的解集为(- ∞,+∞).对于命题 p 的逆否命题 s 与命题 q 的逆命题 r,下列判断正确的是( ) A.s 是假命题,r 是真命题 B.s 是真命题,r 是假命题 C.s 是假命题,r 是假命题 D.s 是真命题,r 是真命题 答案 C 解析 对于命题 p,当{an}为常数数列时为假命题,从而其逆否命题 s 也是假命题;由 2 于使 mx +(2m-2)x-1>0 的解集为(-∞, +∞)的 m 不存在, 故命题 q 的逆命题 r 是假命题. x4-x2+1 8.已知命题 p:关于 x 的不等式 >m 的解集为{x|x≠0,x∈R};命题 q:f(x) 2

2

x

=-(5-2m) 是减函数.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(1,2) B.[1,2) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 答案 B 1 2 解析 p 真?m<x + 2-1 恒成立?m<1.

x

x q 真?5-2m>1?m<2. ∵p 与 q 中一真一假,∴1≤m<2. 9.(2011·淮南月考)已知集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2, -2)+λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( )
A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 答案 C 解析 方法一 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R} ={a|a=(1+3λ ,2+4λ ),λ ∈R}, N={a|a=(-2,-2)+λ (4,5),λ ∈R} ={a|a=(-2+4λ ,-2+5λ ),λ ∈R}. 令(1+3λ 1 ,2+4λ 1)=(-2+4λ 2,-2+5λ 2), ?1+3λ 1=-2+4λ 2, ? 则? 解得 λ 1=-1,λ 2=0, ?2+4λ 1=-2+5λ 2, ? ∴M∩N={a|a=(-2,-2)}. 方法二 设 OA =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R,

??? ?

??? ? OB = (-2,-2)+λ (4,5),λ ∈R,

4 ∴点 A 的轨迹方程为 y-2= (x-1), 3 5 点 B 的轨迹方程为 y+2= (x+2), 4 由①②联立解得 x=-2,y=-2, ∴M∩N={(-2,-2)}. 10.设 f(x)是 R 上的减函数,且 f(0)=3,f(3)=-1,设 P={x||f(x+t)-1|<2}, Q={x|f(x)<-1},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是
2

(

) A.t≤0 B.t≥0 C.t≤-3 D.t≥-3 答案 C 解 析 P = {x||f(x + t) - 1|<2} = {x| - 1<f(x + t)<3} = {x|f(3)<f(x + t)<f(0)} = {x|0<x+t<3}={x|-t<x<3-t}, Q={x|x>3},又由已知得 P ? Q, ∴-t≥3,∴t≤-3. ? 4 * *? 2 * 11.(2011·昆明模拟)若集合 A={x|x -9x<0,x∈N },B=?y| ∈N ,y∈N ?,则 A∩B
?

y

?

中元素的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D * 解析 A={x|0<x<9,x∈N }={1,2,?,8}, B={1,2,4},∴A∩B=B. 1 x 12. (2010·吉林实验中学高三月考)已知 f(x)=( ) , 命题 p: ? x∈[0, +∞), f(x)≤1, 2 则( ) A.p 是假命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 B.p 是假命题,綈 p:? x∈[0,+∞),f(x)≥1 C.p 是真命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 D.p 是真命题,綈 p:? x∈[0,+∞),f(x)≥1 答案 C 1 x 解析 ∵f(x)=( ) 是 R 上的减函数, 2 ∴当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤f(0)=1. ∴p 为真命题,全称命题 p 的綈 p 为:? x0∈[0,+∞), f(x0)>1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) x y 13.(2010·济南一中期中)“lg x>lg y”是“10 >10 ”的________条件. 答案 充分不必要 解析 考虑对数的真数需大于零即可. 2 14.命题“? x<0,有 x >0”的否定是______________. 2 答案 ? x<0,有 x ≤0 解析 “存在”即“? ”的否定词是“任意”即“? ”,而对“>”的否定是“≤”. 2 15.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x ,则非 p 是非 q 的________条件. 答案 充分不必要 解析 ∵p:x<-3 或 x>1, ∴綈 p:-3≤x≤1. ∵q:2<x<3, ∴綈 q:x≤2 或 x≥3,则綈 p? 綈 q. 2 16.(2010·江苏苏北三市高三联考)若命题“? x∈R,使得 x +(a-1)x+1<0”是真命 题,则实数 a 的取值范围为______. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 2 解析 要使命题为真命题,只需 Δ =(a-1) -4>0, 即|a-1|>2, ∴a>3 或 a<-1. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 17.(10 分)已知 A={a+2,2a +a},若 3∈A,求 a 的值. 解 若 a+2=3,得 a=1. 2 ∵a=1 时,2a +a=3=a+2, ∴a=1 时不符合题意.(4 分)
3

若 2a +a=3, 3 解得 a=1 或 a=- .(6 分) 2 由上面知 a=1 不符合题意, 3 1 a=- 时,A={ ,3},(8 分) 2 2 3 综上,符合题意的 a 的值为- .(10 分) 2 2 18.(12 分)(2011·铁岭月考)已知 P={x|x -8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m},是 否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围. 2 解 P={x|x -8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}, S={x|1-m≤x≤m+1}. 假设存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则必有 P=S.(6 分) ?-2=1-m, ? 所以? 此方程组无解.(10 分) ?10=m+1, ? 所以不存在实数 m 使条件成立.(12 分) 2 19. (12 分)(2011·温州模拟)设命题 p: (4x-3) ≤1; 命题 q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 2 解 设 A={x|(4x-3) ≤1}, 2 B={x|x -(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 (6 分) 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B, 1 ? ?a≤ , ∴? 2 ? ?a+1≥1. (10 分)

2

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ].(12 分) 2 x 20.(12 分)已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q: 2 不等式 ax -ax+1>0 对? x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 解 由命题 p,得 a>1,对于命题 q, 2 因 x∈R,ax -ax+1>0 恒成立, 2 又因 a>0,所以 Δ =a -4a<0, 即 0<a<4.由题意知 p 与 q 一真一假,(6 分) ? ?a>1, 当 p 真 q 假时 ,? ?a≤0或a≥4. ? 所以 a≥4.(8 分) ? ?a≤1, 当 p 假 q 真时,? 即 0<a≤1.(10 分) ?0<a<4, ? 综上可知,a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). (12 分) x 21.(12 分)(2011·温州模拟)已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数;命题 q: 1 1 1 当 x∈[ ,2]时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 2 x c 求 c 的取值范围. x 解 ∵函数 y=c 为减函数, ∴0<c<1,即 p 真时,0<c<1.(2 分)
4

1 1 1 函数 f(x)=x+ > 对∈[ ,2]恒成立, x c 2

f(x)min=2

x· =2, x

1

1 1 1 1 1 当 x= ,即 x=1∈[ ,2]时,有 <2,得 c> ,即 q 真时,c> .(5 分) x 2 c 2 2 ∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p、q 一真一假.(7 分) 1 ①p 真 q 假时,0<c≤ ;(9 分) 2 ②p 假 q 真时,c≥1.(11 分) 1 故 c 的取值范围为 0<c≤ 或 c≥1.(12 分) 2 2 2 22.(14 分)(2011·沈阳模拟)已知三个集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+a- 2 1=0},C={x|x -bx+2=0},问同时满足 B ? A,A∪C=A 的实数 a、b 是否存在?若存在, 求出 a、b;若不存在,请说明理由. 2 解 ∵A={x|x -3x+2=0}={2,1}, 2 B={x|x -ax+a-1=0} ={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}, 又∵B ? A,∴a-1=1,∴a=2.(4 分) ∵A∪C=A,∴C? A,则 C 中元素有以下三种情况: 2 ①若 C=?,即方程 x -bx+2=0 无实根, 2 ∴Δ =b -8<0,∴-2 2<b<2 2,(7 分) 2 ②若 C={1}或{2},即方程 x -bx+2=0 有两个相等的实根, 2 ∴Δ =b -8=0,∴b=±2 2,此时 C={ 2}或{- 2}不符合题意,舍去.(9 分) ③若 C={1,2},则 b=1+2=3,而两根之积恰好为 2.(11 分) 综上所述,a=2,b=3 或-2 2<b<2 2.(12 分)

5


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