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2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测理数


2013 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测

理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方 填写姓名和座位号(四位数字). 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题 卡上书写,要求字体工整、笔迹 .. .. 清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. ... 必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无 ............. .... ....... 效. . 4.考试结 束,务必将试题卷和 答题卡一并上交.
[来源:Z#xx#k.Com]

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1)已知集合 A ? ?x | 2x ? x2 ? 0? , B ? ?x | x ? 1? , R 为实数集,则 (?R B) ? A ? A. ?0,1? (2)复数 A. B. ? 0,1? C. ? ??,0? D.以上都不对

i ( i 为虚数单位)的虚部是 1 ? 2i

1 5

B. ?

1 5

1 C. i 5

1 D. ? i 5

??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? AB ? (3)已知平面上不共线的四点 O, A, B, C ,若 OA ? 4OB ? 3OC ? 0 ,则 ???? ? ? BC ?

A.3

B.4

C.5

D.6

(4)设 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是 .. A. d ? 0 C. S9 ? S5 B. a7 ? 0 D. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值

?x ? y ?1 ? 0 ? (5)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2 , ? ax ? y ? 1 ? 0 ?

则 a 的值为 A.-5 B.1 C.2 D.3

(6) 设函数 f ( x ) 在定义域内可导,y ? f ( x) 的图象如下左图 所示, 则导函数 y ? f ?( x) 的图象 可 能是
y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A. (7)斜率为 3 的直线与双曲线 范围是 A. ? 2, ?? ? B. ( 3, ??)

B.

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值 a 2 b2

C. (1, 3)

D. (2, ??)

[来源:学科网 ZXXK]

(8)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积是
[来源:学&科&网]

A.8

B.

20 3

C.

17 3

D.

14 3

(9)袋中有大小相同的 4 个红球和 6 个白球,随机从袋中取 1 个球,取后不放回,那么恰好在第 5 次取完红球的概率是 A.
1 210

B.

2 105

C.

2 21

D.

8 21

( 10 )已 知函 数 f ( x) 是 以 2 为 周 期 的偶 函数 ,当 x ? [?1, 0] 时 , f ( x) ? ? x . 若 关于 x 的 方程
f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R且k ? 1 )在区间 [ ?3,1] 内有四个不同的实根,则 k 的取值范围是

A. (0,1)

1 B. (0, ) 2

1 C. (0, ) 3

1 D. (0, ) 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分 )

]

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为 .

开始

输入n

i ? 0, S ? 1

i ≤n



S ? S ?i

i ? i ?1



输出S

结束

(12)已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3,7,a,b,12,20 ,且总体的中位数为 12 ,若要 使该总体的标准差最小,则 a ?
2 (13)已知 ( x ?


3 ,则展开式中常数项是______. 14

1 x

)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为

(14)已知直线 2mx ? ny ? 1 ( m, n 是实数)与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,且 ?AOB ( O 是坐 标原点)是直角三角形,则点 P(m, n) 与 点 Q(0,1) 之间距离的最小值是
π (15)函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3

. (写出所有正

确结论的编号) . ①图象 C 关于直线 x ?
11 π 对称; 12

? ②图象 C 的所有对称中心都 可以表示为 ( ? k?,0)(k ? Z ) ; 6

? π 5π ? ③函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?

④由 y ? ?3cos 2 x 的图象向左平移

?
12

个单位长度可以得到图象 C .

? ⑤函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值是 ?3 . 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本 题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, C ? 2A , cos A ? (Ⅰ)求 cos B, cos C 的值;
??? ??? 27 ? ? (Ⅱ)若 BA ? BC ? ,求边 AC 的长. 2 3 . 4
[来源:学科网 ZXXK]

(17)(本题满分 12 分)一 厂家向用户提供的一箱产品共 12 件,其中有 2 件次品,用户先对产品进 行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子) ,若 前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且 用户拒绝接收这箱产品. (Ⅰ)求这箱产品被用户接收的概率; (Ⅱ)记抽检的产品件数 为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(18)(本题满分 12 分)在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD ?? EF , EF ?? BC ,
BC ? 2AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(Ⅰ) 求证: AB ? ? 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.
E F A D

B

G

C

(19) (本题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)证明数列 ?
? 2n ? ? 是等差数列 ; ? an ?

2n ?1 an (n ? N *) . an ? 2 n

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? n(n ? 1) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

x2 y 2 (20) (本题满分 13 分) 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P(3, 1) , 其左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a b ???? ???? ? 且 F1 P ? F2 P ? ?6 .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1 M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点? 请说明理由.

1 (21) (本题满分 14 分 )设函数 f ( x) ? c ln x ? x2 ? bx (b, c ? R, c ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. 2

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x) 的极大值点,求 f ( x) 的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ) 若 f ( x) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

2013 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测 理科数学参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 (1) B (2) A (3) A (4) C (5) D (6) A (7) D (8) C (9) B (10) C
[来源:Z§xx§k.Com]

(1)B.【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算,容易题. (2)A.【命题意图】本题考查复数的概念及运算,容易题. (3)A.【命题意图】本题考查向量的运算,容易题. (4)C.【命题意图】本题考查等差数列的基本运 算与性质,容易题.
[来源:学。科。网]

(5)D.【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面 积公式等基础知识,考查数形结合思想,容易题. (6)A.【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义,中等题. (7)D.【命题意图】本题考查双曲线的性质,中等题. (8)C.【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算,考查空间想象能力,较难 题. (9)B.【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识,考查分析问题解决问题的能 力,较难题. (10)C.【命题意图】本题考查函数的性质与图象,考查数形结合能力,较难题.

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 (11) 【答案】11.【命题意图】本题考查程序框图,容易题. (12) 【答案】12.【命题意图】本题考查统计知识,重要不等式,容易题. (13) 【答案】45.【命题意图】本题考查二项式定理,考查 运算能力,中等题. (14) 【答案】 2 ? 1 .【命题意图】本题考查直线与 圆的方程,考查运算能力与数形结合能力, 中等题. (15) 【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,较难题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16 )(本题满分 12 分) (16) 命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余 【 弦定理等基础知识,考查逻辑推理和运算求解能力,简单题. 解: )∵ ? 2A , cos A ? (Ⅰ C
sin ∴ C?

3 3 1 ,∴ C ? cos 2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ( )2 ?1 ? . cos 4 4 8

3 7 7 , sin A ? , 8 4 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? .….……….….………6 分 4 8 4 8 16

cos ∴ B ? ? cos( A ? C ) ? sin A sin C ? cos A cos C ?

??? ??? ? ? 3 9 27 a c (Ⅱ ∵ ? BC ? ca cos B ? ac ? ,∴ ? 24 ;又由正弦定理 ) BA ,得 c ? a ,解 ? ac 2 16 2 sin A sin C
b 得 a ? 4 , c ? 6 ,∴ 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 25 , b ? 5 ,即边 AC 的长为 5.…………………………12 分

(17)(本题满分 12 分) (17) 【命题意图】本题考查概率知识,分布列和期望的求法,考查学生应用知识解决问题的 能力,中等题. 解: )设“这箱产品被用户接收”为事件 A ,则 P( A) ? (Ⅰ 即这箱产品被用户接收的概率为
3 A10 ? 9! 10 ? 9 ? 8 6 ? ? . 12 ! 12 ?11?10 11

6 .………………………………………………………4 分 11

(Ⅱ X 的可能取值为 1,2,3. ……5 分 ) ∵ ? X ? 1? ? P
10 9 15 2 1 10 2 5 ,…… ………………8 分 ? , P ? X ? 2? ? ? ? , P ? X ? 3? ? ? ? 12 11 22 12 6 12 11 33

∴ 的概率分布列为: X
X
P

1
1 6

2
5 33

3
15 22

……………10 分
1 5 15 83 ∴ ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………………………………………………12 分 E 6 33 22 33
[来源:学+科+网]

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(18)(本题满分 12 分) (18) 【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有 关知识,考查空间想象能力,中等题.
AD AD 解:(Ⅰ )证明:∵ / / EF , EF / / BC ,∴ / / BC ; 又

∵ ? 2AD , G 是 BC 的中点,∴ ? ? BG ,且 AD ? BG , BC AD ∴ 四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ ? 平 面 AB
AB DEG , DG ? 平面 DEG ,∴ / / 平面 DEG .

……4 分 ,

, EF E ? (Ⅱ 解法 1:证明:∵ ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB ,∴ ? AE ;又 AE ? EB EB ? ) EF EF

EB , EF ? 平面 BCFE ,∴ ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . AE

∵ ? 平面 BCFE , ∴ ? EG . EG DH ∵AD / / EF , DH / / AE , ∴ 边 形 AEHD平 行 四 边 形 , ∴EH ? AD ? 2 , ∴EH ? BG ? 2 , 又 四
E H / / B G, E H ? B,∴ E 四边形 BGHE 为正方形, ∴ ? EG ,又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , BH

DH ? 平面 BHD ,∴ ⊥ BD EG 平面 BHD . ∵ ? 平面 BHD ,∴ ? EG . BD

………………8 分

解法 2: EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB ,BE ? ∵ 平 面 AEB , ∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB, ∴ EB, EF , EA 两 两 垂 直 . 以点 E 为坐标原点,

EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐

标 系 . 由 已 知 得 , E (0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , D(0, 2, 2) ,
??? ? ??? ? G(2, 2, 0) ;∴ EG ? (2, 2,0) , BD ? (?2, 2, 2) ,

∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ BD ? EG .………8 分
??? ? ? (Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ???? ?

∵ F (0,3, 0) , C (2, 4, 0)
??? ? ? ??? ? ??? ? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ FD ? (0, ?1, 2), FC ? (2,1,0) ,∴ ???? ? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ? ?2 x ? y ? 0 ? FC ? n ? 0 ?

设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,由法向量 n 与 EB 的方向可知, ? ?? n, EB ? , ∴ cos ? ? cos ? n, EB ??
? ??? ? ?2 2 6 ??
6 6 ,即二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ? .………12 分 6 6

?

??? ?

? ??? ?

(19) (本题满分 12 分) (19) 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知 识,考查运算求解能力、推理论证能力,中等题. 解: )由已知可得 (Ⅰ
an ?1 an 2n ?1 2n 2 n ?1 2 n ? ? ? 1 ,即 ? ? 1, ,所以 n ?1 n 2 an ? 2 an ?1 an an ?1 an

∴ 数列 ?

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列. …… ………………………….……………4 分 ? an ?
2n 2 2n ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ n ? .….…………………7 分 a an a1 n ?1

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得

(Ⅲ )由(Ⅱ )知, bn ? n ? 2n , 所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ,
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n ?1 ,

相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ,
S ∴ n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 .….……….………….…………….…………………………12 分

(20) (本题满分 13 分) (20) 【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析问题、解决 问题的能力,较难题.
???? ???? ? 解: )设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c, 0), (c, 0)(c ? 0) ,则 F1 P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1) , (Ⅰ ???? ???? ? 故 F1 P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ? 1 ? 10 ? c2 ? ?6 ,可得 c ? 4 ,………………………………………2 分

所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (3 ? 4)2 ?12 ? (3 ? 4)2 ? 12 ? 6 2 , a ? 3 2 ,……………………………4 分
b ∴ 2 ? a 2 ? c 2 ? 18 ? 16 ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………6 分 18 2 ????? ???? ? ????? ???? ? (Ⅱ )设 M , N 的坐标分别为 (5, m), (5, n) ,则 F1M ? (9, m) , F2 N ? (1, n) . 由 F1M ? F2 N ,
????? ???? ? 可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 , ……………………………………………………8 分

又圆 C 的圆心为 (5,

m?n |m?n| m?n 2 | m?n| 2 ,故圆 C 的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? ), 半径为 ) ?( ) , 2 2 2 2

即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 ,也就是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 , 可得 x ? 8 或 2 ,故圆 C 必过定点 (8, 0) 和 (2, 0) . ……………………………………………13 分

(21) (本题满分 14 分) (21) 【命题意图】本题考查导数的应用,分类讨论思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力 和分析问题解决问题的能力,较难题.
c x2 ? bx ? c 解: f '( x) ? ? x ? b ? ,又 f '(1) ? 0 ,则 b ? c ? 1 ? 0 , x x

所以 f '( x) ?

( x ? 1)( x ? c) 且 c ?1, x

………………………………………………………… 3 分

(Ⅰ )因为 x ? 1 为 f ( x) 的极大值点,所以 c ? 1 . 令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1或 x ? c ;令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? c . 所以 f ( x) 的递增区间 为 (0,1) , (c, ??) ;递减区间为 (1, c) .………………………………6 分 (Ⅱ 若 c ? 0 ,则 f ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增. )①
1 1 若 f ( x) ? 0 恰有两解,则 f (1) ? 0 ,即 ? b ? 0 ,所以 ? ? c ? 0 . ………………8 分 2 2
2 ② 0 ? c ? 1 ,则 f ( x)极大值 ? f (c) ? c ln c ? c ? bc , f ( x)极小值 ? f (1) ? 若

1 2

1 ?b . 2

因为 b ? ?1 ? c ,则 f ( x)极大值 ? c ln c ?

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 , 2 2

1 f ( x)极小值 ? ? ? c ,从而 f ( x) ? 0 只有一解;…………………………………10 分 2
③ c ? 1 ,则 f ( x)极大值 ? ? 若

1 ?c ? 0, 2

从而 f ( x)极小值 ? c ln c ?

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 , 2 2

则 f ( x) ? 0 只有一解. ………………………………………………………………12 分
1 综上,使 f ( x) ? 0 恰有两解的 c 的范围 为 ? ? c ? 0 2

……… ……… ………… ………14 分


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