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空间几何体的表面积与体积--柱体、锥体、台体1


空间几何体的 表面积与体积
1.3.1柱体、椎体、台体的 表面积与体积
莒县二中:刘国

一、情境导读,引入新课

对于空间几何体,我们分别从结 面积是相对于平面图形而言的, 构特征和视图两个方面进行了研究, 体积是相对于空间几何体而言的.你 为了度量一个几何体的大小,我们还 知道面积和体积的含义吗? 须进一步学习几何

体的表面积和体积.
面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小

二、深入探究,寻找方法 (一)、 柱体、锥体、台体的表面积
正 方 体
几何体表面积 正方体和长方体的展开图是:

展开图

平面图形面积 平面问题

长 方 体

空间问题

二、深入探究,寻找方法
探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体,它们的展开图是什么?如 何计算它们的表面积?

二、深入探究,寻找方法
1.正棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它 的表面积?

h

正棱柱的侧面展开图

二、深入探究,寻找方法
2.正棱锥的侧面展开图是什么?如何 计算它的表面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

二、深入探究,寻找方法
3.正棱台的侧面展开图是什么?如何计算它 的表面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

h'

二、深入探究,寻找方法

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

二、深入探究,寻找方法
4.圆柱的侧面展开图是什么?如何计算它的 表面积?

r O?

l
O

2?r

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

二、深入探究,寻找方法
5.圆椎的侧面展 开图是什么?如何 计算它的表面积?

2?r

l

r
2

O

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

二、深入探究,寻找方法
6.参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的 侧面展开图是什么 . 圆 台 2?r ' 的 r 'O’ 2?r 侧 面 l 展 开 r O 图 是 2 2 S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl ) 扇 环

二、深入探究,寻找方法
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间有什么关系?

r O?

r 'O’

l
O

r'=r
上底扩大

l

r’=0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l ) S台 ? ? (r

二、深入探究,寻找方法 (二)、 柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体,以及圆柱的体积公式可以统 一为:V ? Sh (S为底面面积,h为高).

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

二、深入探究,寻找方法

圆锥、棱锥的体积公式:

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

圆(棱)锥的体积等于同底等高的圆(棱)柱的 1 体积的 3

二、深入探究,寻找方法
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
A

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S

C
B

二、深入探究,寻找方法
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S为底面面积, h为锥体高

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3 S为底面面积, S分别为上、下底面 h为柱体高 面积,h 为台体高

三、典例剖析,迁移运用
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,
交BC于点D. A B D C
S 所以: ?ABC

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

三、典例剖析,迁移运用
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15 cm

? 999(cm2 )
cm2 . 答:花盆的表面积约是999

作业:空间几何体的表面积与体积(一)

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S '? 0
1 锥体V ? Sh 3

巩固练习: 1. 把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部分,求 这三部分自上而下的体积之比。 2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2, 截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的 体积。 (答案:2325cm3) 3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面 的面积为4,求圆锥的体积. 4. 高为12cm的圆台,它的中截面面积为225π cm2, 体积为2800cm3,求它的侧面积。


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