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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(人教A版必修4)


第二章

平面向量

一、复习
1、数量积的定义:
2、投影: a· b=|a| |b| cosθ

|b| cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影

b等于a的长度|a|与向量b在向量a 3、数量积的几何意义: a· 方向上的投影 |b| cosθ的乘积 4.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b=___________ (交换律). λ(a· b)=a· (λb) (2)(λa)· b=_______________ (结合律). a· c+b· c (3)(a+b)· c=______________ (分配律).
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第二章

平面向量

5.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角. a· b=0 (1)a⊥b?___________. |a||b| (2)当a与b同向时,a· b=_________, -|a||b| 当a与b反向时,a· b=____________. |a|2 (3)a· a=________或|a|= a·a= a2.
a·b |a||b| (4)cosθ =______________.

(5)|a· ≤ b|_______|a||b|.

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第二章

平面向量

探究 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 1 0 i· =_____, j · 1 i j=______, i· j=______, j · =_______. i 0
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b 的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· = (x1i+y1j) · 2i+y2j) b (x = x1x2i2+x1y2i· 2y1i· 1y2j2 j+x j+y = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

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平面向量

2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角

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平面向量

新知初探思维启动
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1 ,y1),b=(x2 ,y2),a与b的夹 角为θ. 相应坐标 两个向量的数量积等于___________ 数量积 乘积的和 x1x2+y1y2 ________,即a· b=____________

两个向 量垂直

x1x2+y1y2=0 a⊥b?_________________

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平面向量

做一做 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则a· b= ________. 解析:a· b=1×2+2×3=8. 答案:8

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平面向量

2.三个重要公式
x2+y2

(x2-x1)2+(y2-y1)2

x1x2+y1y2
2 x2+y2 x2+y2 1 1 2

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平面向量

做一做
2.已知向量a=(0,1),b=(1,2),则cos〈 a· b〉=________.
解析:∵|a|=1,|b|= 12+22= 5, 2 2 5 a·b=2,∴cos〈a·b〉= = . 5 1× 5
2 5 答案: 5

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第二章

平面向量

想一想
向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a在向 量b方向上的投影怎样用a,b的坐标表示?
提示: 向量 a 在向量 b 方向的投影为|a|cos a, 〈 b〉 , a·b 而 cosθ = . |a||b| a·b x1x2+y1y2 ∴|a|cosθ = = 2 2 . |b| x2+y2

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平面向量

典题例证技法归纳
题型探究
数量积的坐标运算
例1 已知向量a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a· b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)· (a-b).

【解】

(1)∵a=(3,-1),b=(1,-2),

∴a· b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5.

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平面向量

(2)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (3)∵a=(3,-1),b=(1,-2),

∴a2=32+(-1)2=10,
b2=12+(-2)2=5, (a+b)· (a-b)=a2-b2=10-5=5. 【名师点评】 向量的坐标表示和向量的坐 标运算实现了向量运算的完全代数化,并将

数与形紧密结合起来.

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平面向量

互动探究
1.在本例中若条件不变,又知c=(-2,1),

又如何求(b· c)a的值呢?
解:(b· c)a=[(1,-2)· (-2,1)]· (3,-1)=

[1×(-2)+(-2)×1]· (3,-1)
=(-4)×(3,-1)=(-12,4).

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平面向量

两个向量的夹角问题
例2 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确

定实数λ的取值范围,使得(1)a与b的夹角为
直角; (2)a与b的夹角为钝角; (3)a与b的夹角为锐角.

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平面向量

【解】 设 a 与 b 的夹角为 θ, |a|= 12+22= 5,|b|= 1+λ 2,a·b=1+ 2λ. (1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 a⊥b,所 1 以 a· b=0,所以 1+2λ=0,即 λ=- . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cosθ <0 且 cosθ ≠-1, 所以 a· 且 a 与 b 不反向. b<0

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平面向量

1 由 a· 得 1+2λ<0,故 λ<- , b<0 2 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向.

?-∞,-1?. 所以 λ 的取值范围为? 2?
(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 cosθ >0,且 cosθ ≠1, 所以 a· 且 a,b 不同向. b>0 1 由 a· 得 λ>- ,由 a 与 b 不同向得 λ≠2. b>0 2

?-1,2?∪(2,+∞). 所以 λ 的取值范围为? 2 ?
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平面向量

【名师点评】 利用数量积求两向量夹角的步 骤 ①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出 这两个向量的数量积. ②利用|a|= x2+y2计算出这两个向量的模. x1x2+y1y2 ③由公式 cosθ = 2 2 2 2直接求出 x1+y1· x2+y2 cosθ 的值. ④在 0≤θ≤π 内,由 cosθ 的值求角 θ.

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平面向量

两向量垂直的坐标运算
例3 (本题满分 10 分)已知在△ABC 中, A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC
→ 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标.
【解】 设 D 点坐标为(x,y), → 则AD=(x-2,y+1), → BC=(-6,-3),

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平面向量

→ BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).
?x-3=-6λ ? ∴? ,∴x-3=2(y-2), ? ?y-2=-3λ

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平面向量

即 x-2y+1=0.4 分 → → 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0. 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0. 即 2x+y-3=0.
?x=1 ? 由①②可得? ,8 分 ? ?y=1

→ ∴|AD|= (1-2)2+(1+1)2= 5, → 即|AD|= 5,点 D 的坐标为(1,1).10 分

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平面向量

变式训练 2.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴 上找到一点C,使∠ACB=90°,若不能, 请说明理由;若能,求出C点的坐标. 解:假设存在点 C(0,y)使∠ACB=90°,
→ → 则AC⊥BC. → → → → ∵AC=(-1,y-2),BC=(-4,y+1),AC⊥BC,
→ → ∴AC·BC=4+(y-2)(y+1)=0, ∴y2-y+2=0. 而在方程 y2-y+2=0 中,Δ <0, ∴方程无实数解,故不存在满足条件的点 C.
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平面向量

备选例题
1.已知平行四边形 OABC 中(O 为坐标原点), → → → → OA=(2, OC=(1, 则OB· 等于( 1), 2), AC A.0 )

B.2 C.4 D.5 → → → 解析: A.OB=OA+OC=(2+1, 选 1+2)=(3,
→ → → 3),AC=OC-OA=(1-2,2-1)=(-1,1), → → ∴OB·AC=3×(-1)+3×1=0.
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平面向量

2.设a=(4,-3),b(2,1),若a+tb与b的夹

角为45°,求实数t的值.
解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3). (a+tb)· b=(4+2t,t-3)· (2,1)=5t+5. |a + tb| = 5(t+1)2+20. (4+2t)2+(t-3)2 =

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平面向量

由(a+tb)· b=|a+tb||b|cos45°, 5 2 得 5t+5= · (t+1)2+4,即 t2+2t-3 2 =0. ∴t=-3 或 t=1,经检验 t=-3 不合题意, 舍去,∴t=1.

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平面向量

3.已知向量a=e1 -e2,b=4e1 +3e2 ,其中e1 =(1,0),e2=(0,1).

(1)试计算a· b与|a+b|的值;
(2)求向量a与b夹角的余弦值. 解:(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1), b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), 得a· b=4×1+3×(-1)=1,

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平面向量

|a+b|= (4+1)2+(3-1)2 = 25+4= 29. (2)由 a· b=|a||b|cosθ , a· b 1 2 得 cosθ = = = . |a||b| 2×5 10

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平面向量

小结
1.向量数量积的坐标表示
2.向量模的计算 3.平面内两点间的距离公式. 4.向量垂直的等价条件

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平面向量

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