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(第17课时)两角和差的正弦余弦正切(6)




题:4 6
王新敞
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两角和与差的正弦、余弦、正切(6)
王新敞
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教学目的: 进一步熟悉有关技巧,继续提高学生综合应用能力 教学重点:两角和与差的余弦、正弦、正切公式 教学难点:灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1.两角和与差的正、余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

二、讲解范例: 例1 若 tan?=3x,tan?=3?x,
3 ? = 3 6

且???=

? ,求 x 的值 6

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解:tan(???)=tan

∵tan?=3x,tan?=3?x



tan ? ? tan ? 3 3 x ? 3?x 1 ? ? ? (3 x ? 3 ? x ) x ?x 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 3 ? 3 2
x x

∴3?3 ?3?3? =2 3 ∴ 3 x ? 3或3 x ? ?

即: 3 ? (3 x ) 2 ? 2 3 ? 3 x ? 3 ? 0
3 (舍去) 3

∴x?

1 2
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例 2 已知锐角?, ?, ? 满足 sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 求???的值 解: ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? <sin? 同理:∵cos??cos?=cos? ① +② : 1+1?2cos(???)=1
2 2

∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ∴?<? ∴ cos?? cos? = cos? ∴cos(???)=
1 2





∵0 ?? ?

?
2

0?? ?

?
2

∴?

?
2

?? ? ? ? 0

∴???= ?

? 3

例 3 已知 tan?,tan?是关于 x 的方程 mx2 ? 2 x 7m ? 3 ? 2m ? 0 的两个实根, 求 tan(?+?)的取值范围
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解:∵tan?,tan?是方程 mx2 ? 2 x 7m ? 3 ? 2m ? 0 的两个实根 ∴△=4(7m-3)-8m2≥0 又 ?tan ? ? tan ? ? ?tan ? ? tan ? ? 2 ?
? ? 2 7m ? 3 m

∴2m2-7m+3≤0

解之:

1 ≤m≤3 2

∴ tan(? ? ? ) ? ?

2 7m ? 3 m
2

为求范围: tan( ? ? ) ? ?2 7 ? ?
1 ≤m≤3 2

1 1 7? 49 ? 1 ? 3( ) 2 ? ?2 ? 3?( ) ? ? ? m m m 6 ? 12 ?



1 ∴ ≤m≤2 3
2

∴当

7? 49 49 1 7 ? 1 有最大值 ? 时, ? 3?( ) ? ? ? m 6? 12 12 m 6 ?
2



7? 49 1 1 1 ? 1 有最小值 2 ? 2 或 ? 时, ? 3?( ) ? ? ? 12 m m 3 ? m 6?

∴?

7 3 7? 49 ? 1 ? ?2 ? 3?( ) ? ? ? ? ?2 2 3 ? m 6 ? 12

2



? 7 3 ? t a n (? ? ) ? ?? ? ,?2 2 ? ? 3 ? ? ?

∴p?q+1=0 例4 若?

?
2

?x?
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?
2

,求 f (x)= 3 sinx+cosx 的最大值和最小值,并求

出此时的 x 值

? 3 ? 1 ? 解: f (x)= 3 sinx+cosx=2 ? sin x ? cos x? ? 2 sin(x ? ) 2 6 ? 2 ? ? ?

∵?

?
2

?x?

?
2

∴?

?
3

? x?

?
6

?

2? 3

∴?

3 ? ? sin(x ? ) ? 1 2 6

? 3 ? 2 sin(x ? ) ? 2 6

?

即 ? 3 ? f ( x) ? 2 当且仅当 x ? 当且仅当 x ? 例5

?
6

?? ?

?
3

,x?? ,x?

?
2

时 f (x)min= ? 3

?
6

?
2

?
3

时 f (x)max=2

已知 f (x)=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,其中 a>0,x?[0,
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? ]时, 2

-5≤f (x)≤1,设 g(t)=at2+bt-3,t?[-1,0],求 g(t)的最小值 解: f (x)=-acos2x- 3 asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+ ∵x?[0, ∴? 又 a>0

1 3 sin2x+ cos2x]+2a+b 2 2

? )+2a+b 6


? ] 2

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

∴-2a<0

? ∴ ? 2a ? ?2a sin(2 x ? ) ? a 6

? ∴ b ? ?2a sin(2x ? ) ? 2a ? b ? 3a ? b 6 ∴ b ? f ( x) ? 3a ? b
∵-5≤f (x)≤1 ∴?
?b ? ?5 ?b ? ?5 ?? 3a ? b ? 1 ? a ? 2 ?

∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-

5 2 49 )4 8

∵t?[-1,0] ∴当 t=0 时,g(t)min=g(0)=-3 三、课堂练习: 1 在△ABC 中,?C>90?,则 tanAtanB 与 1 的关系适合………………(B) (A) tanAtanB>1 (B) tanAtanB>1 (C) tanAtanB =1 (D)不确定 解:在△ABC 中 ∵?C>90? ∴A, B 为锐角 即 tanA>0, tanB>0
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又 tanC<0

于是:tanC = ?tan(A+B) = ? 即:tanAtanB<1

tan A ? tan B <0 1 ? tan A tan B

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∴1 ? tanAtanB>0

又解:在△ABC 中 ∵?C>90? ∴C 必在以 AB 为直径的⊙O 内(如图) 过 C 作 CD?AB 于 D,DC 交⊙O 于 C’, 设 CD = h,C’D = h’,AD = p,BD = q,

C’ C h' h

h h h 2 h' 2 则 tanAtanB ? ? ? ? ?1 p q pq pq
2.设?,??( ? 个根,求 ? + ? 解:由韦达定理: ?

A

p

? ? 2 , ),tan?、tan?是一元二次方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两 2 2

D

q

B

?tanα ? tanβ ? ?3 3 ?tanα ? tanβ ? 4

? ∴ tan( ? ?) ?
又由?,??( ?

tan? ? tan? ? 3 3 ? ? 3 1 ? tan(? ? ?) 1 ? 4

? ? , )且 tan?,tan? < 0 (∵tan?+tan?<0, tan?tan? >0) 2 2 2? 得? + ?? (??, 0) ∴? + ? = ? 3
四、小结 有关解题技巧:化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换 五、课后作业: 1 求证:
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sin x ? cos x ? ? tan( x ? ) sin x ? cos x 4

2 sin(x ? ) 4 ? tan(x ? ? ) =右边? 证明:左边= ? 4 2 cos(x ? ) 4 ? 或:右边=tan(x- ) 4 sin(x ? ) sin x cos ? cos x sin 4 ? 4 4 ? sin x ? cos x =左边? = ? ? ? sin x ? cos x cos(x ? ) cos x cos ? sin x sin 4 4 4 ? 2 若 0<α <β < ,sinα +cosα = a ,sinβ +cosβ =b,则 4
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?

?

?

?

A ab<1 C a<b
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B a>b ? D ab>2 ?
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解:sinα +cosα = 2 sin(α + sinβ +cosβ = 2 sin(β + 又∵0<α <β < ∴0<α +

? ? ? <β + < 4 4 2 ? ? ∴sin(α + )<sin(β + )? 4 4 ∴ a <b ?
答案:C 六、板书设计(略) 七、课后记: 1 tan2A·tan(30°-A)+tan2Atan(60°-A)+tan(30°-A) tan(60°-A)= ? 解: 原式=tan2A [tan (30°-A) +tan (60°-A) + ] [tan(30°-A)tan (60°-A) ] =tan2Atan[ (30°-A)+(60°-A)[1-tan(30°-A)tan(60°- ] A) ]+[tan(30°-A)tan(60°-A) ] =tan2Atan(90°-2A) [1-tan(30°-A)tan(60°-A) ]+[tan (30°-A)tan(60°-A) ] =tan2A·cot2A[1-tan(30°-A)tan(60°-A) ]+[tan(30°-A)tan (60°-A) ]=1 先仔细观察式子中所出现的角,灵活应用公式进行变形,然后化简、求值 2 2 2 已知 tanα 、tanβ 是方程 x -3x-3=0 的两个根,求 sin (α +β )- 2 3sin(α +β )cos(α +β )-3cos (α +β )的值 ?
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? 4

? )=b ? 4

? )=a 4

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解:由题意知 ?

?tan? ? tan ? ? 3 ?tan? ? tan ? ? ?3
tan? ? tan ? 3 3 ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? (?3) 4
2

? ∴ tan( ? ? ) ?
2

sin (α +β )-3sin(α +β )cos(α +β )-3cos (α +β ) 2 2 =cos (α +β ) [tan (α +β )-3tan(α +β )-3] =

1 2 [tan (α +β )-3tan(α +β )-3] 1 ? tan (? ? ? )
2

1 3 3 [( ) 2 ? 3 ? ? 3] ? ?3 3 4 4 1 ? ( )2 4 4 1 3 已知α 、β 为锐角,cosα = ,tan(α -β )=- ,求 Cosβ 的值 ? 5 3 4 3 解:由α 为锐角,cosα = ,∴sinα = ? 5 5 1 由α 、β 为锐角,又 tan(α -β )=- 3

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∴cos(α -β )=

3 10 10 10 10

sin(α -β )=-

∴cosβ =cos[α -(α -β ) ]=cosα ·cos(α -β )+sinα ·sin (α -β )? =

4 3 10 3 10 9 10 ? ? ? (? )? 5 10 5 10 50


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