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chapter 2 Conduction I 传热学


第二章 导热基本定律及稳态导热
§2-1 导热基本定律 一、温度场(Temperature field)
某时刻空间所有各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数,即: t ?

?t 稳态温度场: ? 0 ? 稳态导热 ?? (Steady-state conduction) ?t 非稳态温度场: ? 0 ? 非稳态导热 ?? (Tra

nsient conduction) 一维温度场: t ? f (x, ? ) ? 一维导热 二维温度场: t ? f (x, y, ? ) ? 二维导热
三维温度场: t ? f (x, y, z, ? ) ? 三维导热 t ? f (x) 特例:一维稳态导热

t — 温度; x, y, z — 空间坐标; ? —时间

f ( x, y, z,? )

等温面与等温线




等温面:同一时刻、温度场中所有温度相同的点连 接起来所构成的面 等温线:用一个平面与各等温面相交,在这个平面 上得到一个等温线簇

等温面与等温线的特点:
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 (2) 在连续的温度场中,等温面或等温线不会中断, 它们或者是物体中完全封闭的曲面(曲线), 或者就终止与物体的边界上

物体的温度场通常用等温面或等温线表示

何处的 热流密 度大?

温度梯度 (Temperature gradient)
等温面上没有温差,不会 有热传递 不同的等温面之间,有温 差,有导热

?t ?t ? ?n ?s

温度梯度:沿等温面法线方向上的温度增量 与法向距离比值的极限,gradt

?t ?t grad t ? Lim n? n ?n ?0 ?n ?n
直角坐标系:(Cartesian coordinates)

?t ?t ?t grad t ? i ? j? k ?x ?y ?z
注:温度梯度是向量;正向朝着温度增加的方向

(Heat flux) 热流密度:单位时间、单位面积上所传递的热量; 不同方向上的热流密度的大小不同

热流密度矢量

q W m

?

2

?

热流密度矢量:等温面上某点,以通过该点处最大热 流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热 流密度 q

直角坐标系中: ? q x i ? q y j ? q z k q
n dA d? t

q
q

q? ? q cos?

?

q?

二、导热基本定律(Fourier’s law)
1822年,法国数学家傅里叶(Fourier)在实验研究 基础上,发现导热基本规律 —— 傅里叶定律 导热基本定律:垂直导过等温面上 某点的热流密度,正比于该处的温 度梯度,方向与温度梯度相反

q ? -?grad t [ W m ]
2

(Thermal conductivity)
?

? : 热导率(导热系数)?W (m? C)?
?负号的含义:热量传递方向指向温度降低的方向,与温度梯度方向相反 ?热流方向与等温线(面)垂直,热流密度适量的走向可用热流线来表示, 热流线是一组与等温线处处垂直的曲线,通过平面上任一点的热流线与该点 的热流密度矢量相切

直角坐标系中:

?t ?t ?t q ? qx i ? q y j ? qz k ? ?? i ? ? j ? ? k ?x ?y ?z
?t ?t ?t q x ? ?? ; q y ? ?? ; q z ? ?? ?x ?y ?z
注:傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料:热导率在各个方向是相同的

有些天然和人造材料,如:石英、木材、叠层塑料板、叠层 金属板,其导热系数随方向而变化
—— 各向异性材料 各向异性材料中,热流密度方向不仅与温度梯度方向有关,还 与热导率的方向性有关, 因此热流密度矢量与温度梯度不一定 在同一条直线上:

?t ?t ?t ? q x ? ? xx ? ? xy ? ? xz ?x ?y ?z ?t ?t ?t ? q y ? ? yx ? ? yy ? ? yz ?x ?y ?z ?t ?t ?t ? q z ? ? zx ? ? zy ? ? zz ?x ?y ?z

n

qy
y ?y qx

q

x

?x

问题: 已知下图平板中的温度分布可以表示成如下形式:

t ? c1 x ? c2
2

其中C1、C2和平板的导热系数为常数,计算通过 X=0 截面处的热流密度为多少?

?t ?x

x ?0

? 2c1 x

x ?0

?0

q ? ? - grad t

三、导热系数( Thermal conductivity )
— 物质的重要热物性参数

导热系数的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量 ?W (m?? C)?

热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定 影响导热系数的因素:物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等 与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热 量的特性,其中温度对导热系数的影响尤为重要。

?金属 ? ?非金属; ?固相 ? ?液相 ? ?气相

不同物质热导率的差异:构造差别、导热机理不同

1、气体的热导率

?气体 ? 0.006 ~ 0.6 W (m? C)

? ? 0? C : ?空气 ? 0.0244 W (m? C) ; 20 C : ?空气 ? 0.026 W (m C)

气体的导热:由于分子的热运动和相互碰撞时发生的 能量传递

气体的压力升高时:气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。 除非压力很低或很高,在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa 范围内,气体的热导率基本不随压力变化 气体的温度升高时:气体分子运动速度和定容比热 随T升高而增大。 气体的热导率随温度升高而增大

混合气体热导率不能用部分求和的方法求; 只能靠实验测定

分子质量小的气体(H2、He)热导率较大 — 分子运 动速度高

2、固体的热导率
(1) 金属的热导率:

?金属 ? 12 ~ 418 W (m? C)

?银 ? ?铜 ? ?金 ? ?铝
T ?? ? ?

纯金属的导热:依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者 金属导热与导电机理一致; 良导电体为良导热体:

— 晶格振动的加强干扰 自由电子运动 10K : ?Cu ? 12000 W (m? C)

15K : ?Cu ? 7000 W (m C)
?

合金:金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性, 干扰自由电子的运动 ? ? ?

?合金 ? ?纯金属
如:常温下:?纯铜 ? 398 W (m? C),?黄铜 ? 109 W (m? C) (黄铜:70%Cu,30%Zn) 金属的加工过程也会造成晶格的缺陷

???

合金的导热:依靠自由电子的迁移和晶格的振动; 主要依靠后者

T ?? ? ?
温度升高、晶格振动加强、导热增强

(2) 非金属的热导率: 非金属的导热:依靠晶格的振动传递热量;比较小 建筑和隔热保温材料:

? ? 0.025 ~ 3 W (m C)
?

T ?? ? ?
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关

? ? 、湿度 ? ? ? ?
保温材料:国家标准规定,温度低于350度时热导率 小于 0.12W/(mK) 的材料(绝热材料)

3、液体的热导率
?

?液体 ? 0.07 ~ 0.7 W (m C)
?

20 C : ?水 ? 0.6 W (m C)
?

液体的导热:比较复杂,介于气体与固体之间
大多数液体(分子量M不变):

T ?? ? ?? ? ?

水和甘油等强缔合液体,分子量变化,并随温度而变 化。在不同温度下,热导率随温度的变化规律不一样 液体的热导率随压力p的升高而增大

p ?? ? ?

大多数材料的 ? 都可近似表示为 ? ? ?0 ?a ? bt ?

§2-2 导热微分方程式(Heat Diffusion Equation)
傅里叶定律:

q ? -?grad t

[W m ]

2

确定热流密度的大小,应知道物体内的温度场:

t ? f ( x, y, z, ? )
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式 理论基础:傅里叶定律 + 热力学第一定律 假设:(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源;强度 qv [W/m3]; 内热源均匀分布;qv 表示单位体积的导热 如化学反应 体在单位时间内放出的热量

在导热体中取一微元体
热力学第一定律:

Q ? ?U ? W

W ? 0, ? Q ? ?U
d? 时间内微元体中:
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加] 1、导入与导出微元体的净热量 d? 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量:

dQx ? qx ? dydz ? d?

[J]

d? 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面导出的热量:

dQx ? dx ? qx ? dx ? dydz ? d? [J]

q x ? dx

?q x ? qx ? dx ?x

d? 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量:

dQx ? dQx ? dx

?q x ?? dxdydz? d? ?x

[J]

d? 时间内、沿 x 轴方向
导入与导出微元体净热量:

?qx ? dxdydz? d? [J] ?x
d? 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量:

dQy ? dQy ? dy ? ?

?q y ?y

dxdydz? d?

[J]

d? 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量:

dQz ? dQz ? dz

?qz ?? dxdydz? d? ?z

[J]

?qx ? dxdydz? d? [J] ?x ?q y ? dxdydz? d? [J] ?y ?qz ? dxdydz? d? [J] ?z

?t ?t ?t ; q y ? ?? ; q z ? ?? 傅里叶定律: q x ? ?? ?x ?y ?z

?q x ?q y ?q z [1] ? ?( ? ? )dxdydzd ? ?x ?y ?z

[导入与导出净热量]:

[J]

?? ?t ? ?t ? ?t ? [1] ? ? (? ) ? (? ) ? (? )? dxdydzd [J] ? ? ?x ?x ?y ?y ?z ?z ?

2、微元体中内热源的发热量 d? 时间内微元体中 内热源的发热量:

[2] ? qv ? dxdydz ? d? [J]
3、微元体热力学能的增量 d? 时间内微元体中热 力学能的增量:

?t ?t (mcdt ? ? dxdydzc d? ) [3] ? ?c ?? ? dxdydz? d? [J] ??
由 [1]+ [2]= [3]: 导热微分方程式、导热过程的能量方程

?t ? ?t ? ?t ? ?t ?c ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? qv ?? ?x ?x ?y ?y ?z ?z

若物性参数 ?、c 和 ? 均为常数:

qv ?t ? 2t ? 2t ? 2t ? a( 2 ? 2 ? 2 ) ? ; or ?? ?x ?y ?z ?c

? 2 a? — 热扩散率(导温系数) [m s] ?c (Thermal diffusivity) 2 ? — 拉普拉斯算子

qv ?t 2 ? a? t ? ?? ?c

热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力( ? ) 与沿途物质储热能力( ? c )之间的关系 a值大,即 ? 值大或 ? c 值小,说明物体的某一部分 一旦获得热量,该热量能在整个物体中很快扩散

热扩散率表征物体被加热或冷却时,物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力

在同样加热条件下,物体的热扩散率越大,物体 内部各处的温度差别越小。

a木材 ? 1.5 ?10 m s,a铝 ? 9.45 ?10 m s a木材 a铝 ? 1 600
?7 2 ?5 2

a反应导热过程动态特性,研究不稳态导热重要物理量 若物性参数为常数且无内热源:

?t ? 2t ? 2t ? 2t ? a( 2 ? 2 ? 2 ); or ?? ?x ?y ?z

?t ? a? 2t ??

若物性参数为常数、无内热源稳态导热:

?t ?t ?t ? t ? 2 ? 2 ? 2 ?0 ?x ?y ?z
2 2 2 2

圆柱坐标系 (r, ?, z)
?t q r ? ?? ?r 1 ?t q? ? ?? r ?? ?t q z ? ?? ?z x ? r cos? ; y ? r sin ? ; z ? z ? ?t 1 ?t ?t ? q ? ??gradt ? ???t ? ?? ? i ? j ?k ? ? ?r r ?? ?z ? ? ? ?t 1 ? ?t 1 ? ?t ? ?t ?c ? (?r ) ? 2 (? ) ? (? ) ? qv ?? r ?r ?r r ?? ?? ?z ?z

球坐标系 (r, ?,?)
?t qr ? ?? ?r 1 ?t q? ? ?? r ?? 1 ?t q? ? ?? r si ? ?? n

x ? r sin ? ? cos? ; y ? r sin ? ? sin ? ; z ? r cos ?

? ?t 1 ?t 1 ?t ? ? q ? ??grad t ? ???t ? ?? ? i ? j ?k ? ?r r ?? r si ? ?? ? n ? ?
?t 1 ? 1 ? ?t 1 ? ?t 2 ?t ?c ? 2 (?r )? 2 (? si ? n )? 2 2 (? ) ? qv ?? r ?r ?r r si ? ?? n ?? r si ? ?? ?? n

导热过程的单值性条件
导热微分方程式的理论基础: 傅里叶定律 + 热力学第一定律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系; 它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。

对特定的导热过程:需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解 单值性条件:确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述:导热微分方程 + 单值性条件

单值性条件包括四项:几何、物理、时间、边界

说明导热体的几何形状和大小 1、几何条件 如:平壁或圆筒壁;厚度、直径等 2、物理条件 说明导热体的物理特征 如:物性参数 ?、c 和 ? 的数值,是否随温度变化; 有无内热源、大小和分布;是否各向同性

3、时间条件

说明在时间上导热过程进行的特点

稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内 的温度分布 t ? f ( x, y , z )
? ?0

时间条件又称为初始条件 例:

(Initial conditions)

t ? ?0 ? t0

4、边界条件

说明导热体边界上过程进行的特点 反映过程与周围环境相互作用的条件 (Boundary conditions) 边界条件一般可分为三类:

第一类、第二类、第三类边界条件
(1)第一类边界条件

已知任一瞬间导热体边界上温度值:
稳态导热: tw = const 非稳态导热: tw = f (?) 例: tw1

t s ? tw

s — 边界面; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度

x ? 0, t ? t w1 x ? ? , t ? t w2
o

tw2 x

(2)第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律:

q s ? q w ? f ( x, y , z , ? )
qw 根据傅里叶定律:

? ?t ? ? ?t ? qw qw ? ??? ? , ? ? ? ? ? ?n ?w ? ?n ?w ? 第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界 面法向的温度梯度值
稳态导热: w q

? const

q 非稳态导热: w ? f (? )

特例:绝热边界面:

? ?t ? ? ?t ? q w ? ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?n ? w ? ?n ? w

(3)第三类边界条件
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时,已知 任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数 牛顿冷却定律: tf, h

qw ? h(t w ? t f )

qw

傅里叶定律:qw

? ?? ??t ?n?w

? ? ??t ?n ?w ? h(t w ? t f )

导热微分方程式的求解方法 积分法、格林函数法、拉普拉斯变换法 、分离变量 法、积分变换法、数值计算法等
导热微分方程+单值性条件+求解方法 ?温度场

导热微分方程式的不适应范围 非傅里叶导热过程 ? 极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量 传递现象, 如激光加工过程。 ? 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 ? 微(纳)尺度问题


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