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高一数学期中模拟试卷三答案


作者:丁昊

高一数学期中模拟试卷三答案
1.答案:{1,3,7}; 2.答案: ? ;原式 ? 3.答案:

3 4

1 3 ? 2 ?1 ? ? . 4 4

1 1 1 ; f (log2 3) ? f (log2 3 ? 1) ? f (log2 6) ? f (log2 6 ?

1) ? f (log 2 12) ? ( )log2 12 ? 12 2 12
? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? f ( x) ? ? 2 ?- x ? 2 x, x ? 0 ?

4.答案:2;如图所示,有两个交点: (0,0)(1,1) 、 . 5. 答 案 : ; 当
x?0

时 ,

?x ? 0

, 则 由 奇 函 数 有

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[(? x)2 ? 2(? x)] ? ? x2 ? 2 x
6.答案: ?1、1、3;(超级易错题,当指数为 0 时,底数则不能为 0) 由 m2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ?1 ? m ? 3 且由 偶函数知 m2 ? 2m ? 3 是偶数,验证可得其解. 7.答案: ln 2 ;由 1 ? 2 ? e ? 0 ? ln 2 ? 1 ,所以 (ln 2)2 ? ln 2 , ln(ln 2) ? 0 , ln 2 ? ln 2 . 8.答案:[ , ??) 、[2, ??) ;第一空,利用复合函数解决,考虑函数 y ? ( )t 与 t ? x 2 ? x 的单调性,复合即 得;第二空,利用函数图像解决,先向右平移 1 个单调,再将 x 轴下方的翻折到上方. 9.答案: Q ? 50 ? t , t ?[0, 60] ; (写函数解析式时,千万不要忘记定义域) 10.答案: 、 、 ; (1)(3)(4)

1 2

1 2

1 3

5 6

1 1 ? (0, 1) ? 1 ? lg a ? 1 ? lg a ? 0 ? 0 ? a ? 1 . 11.答案: (0, 1) ;由正根 ? ( ) x ? (0, 1) ? 2 1 ? lg a
12.答案: (1, 2 3) ;先考虑单调性:函数 y ? log k t 与 t ? x 2 ? kx ? 3 ,一增一减复合才是减,则 k ? 1 ;再

k k2 ? 3 ? 0 ? k 2 ? 12 ? ?2 3 ? k ? 2 3 ;取交集. 考虑有意义: ( ) 2 ? 2 2
13.答案:1013042; (此处方法,俗曰“中间开花” 易知 x 的取值是每个绝对值为零的根的平均数,即 )

x??

1 ? 2 ? ? ? 2012 (0 ? 1006) ?1007 ? ?1006 ;所以最小值是 2 ? ? 1006 ?1007 ? 1013042 . 2013 2

| | 14.答案:③;对于①:取 f (x) ? x 2 ?2 x | ,易知 f (?2) ? f (2) ;对于②:取 f (x) ? x 2 ?3x ?1| ,满足条件

3 ;对于③; a 2 ? b ? 0 ? 4a 2 ? 4b ? 0 ? ? ? 0 ,图像与 x 轴至多一个公共 2 点;且开口向上,所以正确;对于④:没有最大值,当 x 趋向于正无穷大时,函数值也是趋向于正无穷大 2x ? 1 x?4 15. 解: (1)由 ?1 ? 0 ? ? 0 ? x ? ?3 或 x ? 4 ;所以 A ? (??, ?3) ? [4, ??) ; x?3 x?3
f (0) ? f (2) ,但对称轴是 x ?

??a ? ?3 ?a ? 3 (2)因为 a ? 0 ,所以 B ? [?a, 2a] ;有 ? ?? ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 (0, 2) . ? 2a ? 4 ?a ? 2
机密 第 1 页 2013-4-12

作者:丁昊

x?
16(1)解:变式: y ?

1 ?x ? 0 x ;由 ? ? x ? 0 且 x ? 1 ;所以定义域为: (0,1) ? (1, ??) . 1 ? 1 ? x? x ?0 x? ? x

又化简: y ?

x2 ? x x ?x
1 2

1

?1 2 ?1 2

?

x 2 (x 2 ? x 2 ) x (x ? x )
1 2 1 2

1

1

?1

?1 2

?

x ?1 2 ; ?1? x ?1 x ?1

1 2 ? (??, ?1) ? 1 ? ? (??, ?1) ; x ?1 x ?1 1 2 当 x ? (1, ??) 时,有 x ? 1? (0, ??) ? ? (0, ??) ? 1 ? ? (1, ??) ; x ?1 x ?1
当 x ? (0,1) 时,有 x ? 1? (?1,0) ? 所以值域是 (??, ?1) ? (1, ??) . . 解:由 ?(log 1 x)2 ? log 1 x ? 2 ? 0 ? (log 1 x)2 ? log 1 x ? 2 ? 0 ? ?1 ? log 1 x ? 2
4 4 4 4 4

所以定义域为: [

1 , 4] ; 16

1 9 3 令 t ? log 1 x ,则 t ?[?1, 2] ,有 y ? ?t 2 ? t ? 2 ? ?(t ? ) 2 ? ? [0, ] 2 4 2 4
所以值域为: [0,

3 ]. 2

0 ? t ? 30 ?2t , 17. 解: (1) f (t ) ? ? ; (t ? N *) ??6t ? 240, 30 ? t ? 40

g (t ) ? ?

3 (t ? 20)2 ? 60, 0 ? t ? 40 (t ? N *) . 20

(2)设每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系为 r ( x) ; 又设日均销售利润函数为 R ( x) ;

?3t , 0 ? t ? 20 则有: r ( x) ? ? ; ?60, 20 ? t ? 40
3 ? 2 0 ? t ? 20 ?[2t ? 20 (t ? 20) ? 60] ? 3t , ? 3 ? R ( x) ? ?[2t ? (t ? 20) 2 ? 60] ? 60, 20 ? t ? 30 20 ? 3 ? 2 ?[?6t ? 240 ? 20 (t ? 20) ? 60] ? 60, 30 ? t ? 40 ?

? 9 3 2 ?? 20 t ? 24t , 0 ? t ? 20 ? ? ? ??9t 2 ? 480t , 20 ? t ? 30 ? 2 ??9t ? 14400, 30 ? t ? 40 ? ?
当 0 ? t ? 20 时,由图像知三个函数都是增函数,因此和与积后,仍然为增函数;
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作者:丁昊

所以此时, R( x)max ? R(20) ? 6000 ; 当 20 ? t ? 30 时,二次函数图像开口向下,对称轴为 t ? 所以此时, R( x)max ? R(27) ? 6399 ; 当 30 ? t ? 40 时,易知此时为减函数; 所以此时, R( x)max ? R(30) ? 6300 ; 综合上述可知:第 27 天这家公司的日均销售利润最大,最大值是 6399 万元. 18(1)证明:左边 ?

80 ,最靠近对称轴的是 27; 3

x ? 1 ? a 2a ? x ? 1 ? a x ?1? a a ? x ?1 ? ?2? ? ?2 a?x a ? (2a ? x) a?x x?a

?

x ? 1 ? a ?a ? x ? 1 2 x ? 2a ? ?2? ? 2 ? 0 ? 右边; a?x a?x a?x

(2)解:分离常数:

x ?1? a 1 ? ?(1 ? ); x?a x?a 1 1 1 1 由 x ?[a ? , a ? 1] ? x ? a ?[ , 1] ? ?[1,2] ? 1 ? ?[2,3] ; 2 2 x?a x?a f ( x) ? ?
所以 f ( x) 的值域为 [ ?3, ?2] . 19. (1)解:由奇函数可得: f ( ? x ) ? f ( x ) ? 即

1 ? 2? x 1 ? 2x ? ? 0 对 x ? R 恒成立; a ? 2? x ?1 a ? 2 x ?1

2 x (1 ? 2? x ) 1 ? 2x ? ? 0 对 x ? R 恒成立; 2 x (a ? 2? x ?1 ) a ? 2 x ?1

2x ? 1 1 ? 2x ? ? 0 对 x ? R 恒成立; a ? 2 x ? 2 a ? 2 x ?1 2x ? 1 2x ? 1 ? 即 对 x ? R 恒成立; (注:由于 x ? R ,分子相同,分母必相同) x a ? 2 ? 2 a ? 2 x ?1
即 即 a ? 2 x ? 2 ? a ? 2 x ?1 对 x ? R 恒成立; 即 a ? (2x ? 1) ? 2 ? (2x ? 1) 对 x ? R 恒成立; 故a ? 2. (2)解:由(1)知: f ( x) ?

1 ? 2x 1 2x ? 1 1 2 1 1 ?? ? x ? ? (1 ? x ) ? x ? ; x ?1 2?2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2

可知 f ( x) 是减函数,再结合奇函数,于是有:

f (mt 2 ? 1) ? f (1 ? mt ) ? 0 ? f (mt 2 ? 1) ? ? f (1 ? mt ) ? f (mt 2 ? 1) ? f (mt ? 1)
? mt 2 ? 1 ? mt ? 1
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? m(t 2 ? t ) ? ?2 (*)
因为 t ? R ,所以下面考虑 t 2 ? t 的取值情形: ①若 t 2 ? t ? 0 即 t ? 0 或 t ? 1 ,则不等式左边为 0,显然恒成立, m ? R ;

?2 ;此不等式右边为负, m ? 0 ; t ?t ?2 1 ③若 t 2 ? t ? 0 即 0 ? t ? 1 ,则 m ? 2 ;右边当 t ? 时,有最小值 8; m ? 8 ; t ?t 2
②若 t 2 ? t ? 0 即 t ? 0 或 t ? 1 ,则 m ?
2

综合可知,取交集即实数 m 的取值范围是 [0, 8) . 20.(1)解:由已知可知,开口向上,对称轴为 x ? ?1 ,顶点为 (?1, 0) ;

? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?a ? 1 ? b ? ? ?1 ? ?b ? 2a ? ? 所以有: ? ? ;从而 f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ; b?2 2a ? ? ? 2 ?b ? 4a ? 4a ? b 2 ?0 ? ? 4a
所以 F ( x) ? ?

? x2 ? 2 x ? 1, x?0 ? ; 2 ??( x ? 2 x ? 1), x ? 0 ?

(2) g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 ,是二次函数; 因为 g ( x) 在 x ?[?2,2] 上是单调函数,所以此二次函数的对称轴必定在区间两侧; 所以有 ?

2?k 2?k ? ?2 或 ? ? 2 即 k ? ?2 或 k ? 6 ; 2 2

(3)能恒大于零. 由于 f ( x) 为偶函数,所以 b ? 0 ; 又由于 m ? n ? 0 ,所以 m、n 异号; 若 m ? 0 ,则 n ? 0 ,且 m ? n ? 0 ; 所以 F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am2 ? 1 ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n2 ) ? a(m ? n)(m ? n) ; 又因为 m ? n ? 0 , a ? 0 ,所以 a(m ? n)(m ? n) ? 0 ; 若 m ? 0 ,则 n ? 0 ,且 m ? n ? 0 ; 所以 F (m) ? F (n) ? ? f (m) ? f (n) ? ?am2 ? 1 ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n2 ) ? ?a(m ? n)(m ? n) ; 又因为 m ? n ? 0 , a ? 0 ,所以 a(m ? n)(m ? n) ? 0 ; 综合可知: F (m) ? F (n) ? 0 恒成立

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