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2012高考复习


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导数压轴题-----题型解法归纳
一、导数在高考中的地位:
常作为压轴题来考察,尤其是解答题,至少占到 14 分;当然在选择题或者是填空题里也会出现 1~2 道,因此高 考试卷中它占到了 20 分左右的比重。

二、导数可以结合考察的知识点:
1、数列 2、不等式与方程 3、函数 4、解析几何 其中最常见的就是和函数、不等式的结合,解决这类题目的汉族到思想是构造新函数,利用导数求解单调性,进而 证明不等式或者最值又或者是参数的范围等等。

三、题型归纳: (新题、难题、考察知识点总结)
(1)基础题目小试身手: 1.(不等式、函数的性质)(辽宁省东北育才学校 2010 届高三第一次模拟(数学理) 已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx (Ⅰ) f (x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,求函数 f (x) 的最大值;

4 f (a) ? f (b) ? ?2 a ?b (Ⅲ)当 m ? 1 时,且 1 ? a ? b ? 0 ,证明: 3 .

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3 2.(不等式恒成立问题)设函数 .
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值;

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______________________________________ _______________________________________________________________ (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′(x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围.

3. (导数的简单应用)已知函数 f ( x) ? ln x

F ( x) ?
(Ⅰ)若

f ( x) ? a ( a ? R) x ,求 F (x) 的极大值;
2

(Ⅱ)若 G ( x) ? [ f ( x)] ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围.

4.(不等式的证明)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x . (1)求函数 f (x) 的单调递减区间;(2)若 x ? ?1 ,求证:
1? 1 x ? 1 ≤ ln( x ? 1) ≤x.

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f ( x) ? ax ? ln(? x), x ? [?e, 0), g ( x) ? ?
5. (不等式、存在性问题)已知 (1)讨论 a ? ?1 时, f ( x) 的单调性、极值;

ln(? x) , x 其中 e 是自然常数, a ? R.

1 | f ( x) |? g ( x) ? . 2 (2)求证:在(1)的条件下,
(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

6.(方程、不等式) 函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ( a ? 0 )的图象关于原点对称, A(? , f (? )) 、 B( ? , f ( ? )) 分别为
3 2

函数 f (x) 的极大值点和极小值点,且|AB|=2, f (? ) ? f (? ) ? ? ? ? .

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅲ)若

x ? [?2,1], f ( x) ? m ?

6 m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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3 2 7. (导数的几何意义、不等式恒成立问题)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象为曲线 E.

(Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f (x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c 在 x ?[?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围.

f ( x) ?
8.(导数的简单应用) 已知函数
2 '

( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] x .

⑴ 设 g ( x) ? x ? f ( x), ( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0, ??) 内是增函数; ⑵ 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立,求正整数 m 的值; ⑶ 若 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值.

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? 9.( 抽 象 函 数 性 质 的 证明 、 不 等 式 ) 设 f ( x) 的 定义域 为 (0, ? ?) , f ( x) 的 导函数 为 f ( x) , 且 对任 意正 数 x 均有

f ?( x) ?

f ( x) x , F ( x) ? f ( x) x 在 (0, ? ?) 上的单调性;

(1)判断函数

(2)设 x1 , x2 ? (0, ? ?) ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ( x1 ? x2 ) 的大小,并证明你的结论; (3)设 x1 , x2 ,?, xn ? (0, ? ?) ,若 n ? 2 ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) 与 f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 的大小,并证明你的结论.

(2)典型题目讲解剖析: 例 1、 (不等式、方程)已知二次函数 f (x) 满足:①在 x ? 1时有极值;②图像过点 ( 0 , ?3 ) ,且在该点处的切线与 直线 2 x ? y ? 0 平行。 (1)求 f (x) 的解析式;

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______________________________________ _______________________________________________________________ (2)求函数 g ( x) (3)若曲线

? f ( xe x ), x ? ?0,1? 的值域;

y ? f (e x ) 上任意两点的连线的斜率恒大于 a ? 1 ,求 a 的取值范围。
a

例 2 、 解 析 几 何 、 导 数 的 几 何 意 义 ) 设 x1 、 x 2 是 函 数 f ( x) ? (

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) 的 两 个 极 值 点 , 且 3 2

| x1 | ? | x2 |? 2 .
(1)证明: 0 ? a ? 1 ; (2)证明: | b |?

4 3 ; 9

(3)若函数 h( x) ? f ?( x) ? 2a( x ? x1 ) ,证明:当 x1 ? x ? 2 且 x1 ? 0 时, | h( x) |? 4a

例 3、 (导数的几何意义、解析几何、方程与函数)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ,直线 l 与函数 f (x) 、 x ? a(a 为常数) 2
6

g (x) 的图象都相切,且 l 与函数 f (x) 图象的切点的横坐标为 1.

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______________________________________ _______________________________________________________________ (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g′ (x) [注:g′ (x) 是 g (x) 的导函数],求函数 h(x ) 的单调递增区间; (3)当 k ? R 时,试讨论方程 f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? k 的解的个数.

例 4、 (不等式、 导数的几何意义、 存在性问题)已知 b> ?1 , c>0, 函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x ? bx ? c
2

的图像相切. (Ⅰ)设 b ? ? (c) ,求 ? (c ) ; (Ⅱ)设 D( x) ?

g ( x) (其中 x> ?b )在 [?1, ??) 上是增函数,求 c 的最小值; f ( x)

(Ⅲ)是否存在常数 c,使得函数 H ( x) ? f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 内有极值点?若存在,求出 c 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

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______________________________________ _______________________________________________________________ 例 5、 (导数的几何意义、不等式)设函数 y ? f ( x) ? x( x ? a)( x ? b)(a 、 b ? R). (Ⅰ)若 a ? b, ab ? 0 ,过两点(0,0)( a ,0)的中点作与 x 轴垂直的直线,此直线与函数 y ? f (x) 的图象交 、 于点 P( x0 , f ( x0 )) ,求证:函数 y ? f (x) 在点 P 处的切线过点( b ,0) 。 (Ⅱ)若 a ? b(a ? 0 ) ,且当 x ? [0, | a | ?1] 时 f ( x) ? 2a 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

例 6、 (不等式恒成立问题、方程与函数)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在(1,2 ] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)
2

为减函数. (1)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ?

1 在 x ∈(0,1 ] 内恒成立,求 b 的取值范围 x2

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______________________________________ _______________________________________________________________ 例 7、 (数列、数学归纳法、不等式)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 在(0,1)上是增函数.
3

(1)求实数 a 的取值集合 A; (2)当 a 取 A 中最小值时,定义数列 {a n } 满足:2a n ?1 ? f (a n ) ,且 a1 ? b(0,1)(b 为常数) ,试比较 a n ?1与a n 的大小; (3)在(2)的条件下,问是否存在正实数 C,使 0 ?

an ? c ? 2 对一切 n ? N 恒成立? an ? c

例 8、 (方程、存在性问题、不等式恒成立问题)已知 f ( x) ? (1)求实数 a 的值所组成的集合 A. (2)设关于 x 的方程 f ( x) ?

2x ? a ( x ? R) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2

1 2 的两根为 x1 、 x 2 ,试问:是否存在实数 m,使得不等式 m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对 x

任意 a ? A及t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

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______________________________________ _______________________________________________________________ 例 9、 (方程、不等式、解析几何)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R).
3 2

(1)若 a ? 1 ,函数 f (x) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (2)若函数 f (x) 在[0,2]上是增函数, x ? 2 是方程 f (x) =0 的一个根,求证: f (1) ? ?2 ; (3)若函数 f (x) 图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

例 10、 (方程、函数、解析几何)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0)
3 2

(Ⅰ)在区间(0,1)内,求实数 a 使得函数 f (x) 的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB; (Ⅱ)设 m>0,记 M(m, f (m) ) ,求证在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函数图象在 x=b 处的切线平行于 直线 AM.

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2 例 11、 (绝对值不等式、 方程) f ( x ) ? ax ? bx ? c (a ? 0) , f ( x ) 的导数为 f ?( x ) . 若 | f (0) |? 1, f ?(0) ? 0, f (1) ? 0 . 设

(1) 求 f ( x ) 的解析式;(2) 对于任意的 x 1 , x 2 ? [0, 1] , 且 x 1 ? x 2 , 求证: ① | f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) | ? 2 | x 1 ? x 2 | ; ② | f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) | ? 1 .

例 12、 (函数的性质、 不等式) 已知定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x ) 与偶函数 g ( x ) 满足: f ( x ) ? g( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1). (1) 求证: f (2x ) ? 2f ( x ) ? g( x ) ;
x

(2) 设 f ( x ) 的反函数为 f

?1

( x ) , 当 a ? 2 ? 1 时, 试比较 f ?1 [g( x )] 与-1 的大小, 并证明你

的结论; (3) 若 a ? 1 , n 为正偶数, 试比较 f ( n ) 与 nf (1) 的大小, 并证明你的结论.

例 13、 (函数的图像与性质、不等式)已知函数 f ( x) ? ln I、求 f ( x) 的极值.

x?2 x ? . x?4 4

II、求证 f ( x) 的图象是中心对称图形.

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______________________________________ _______________________________________________________________ III、设 f ( x) 的定义域为 D ,是否存在 ? a, b ? ? D .当 x ? ? a, b ? 时, f ( x) 的取值范围是 ? , ? ?若存在,求实数 a 、 4 4

?a b? ? ?

b 的值;若不存在,说明理由

例 14、 (函数的几何意义、函数的性质、方程与不等式)已知 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 是定义在 R 上的函数, 其图象交 x 轴于 A、B、C 三点.若点 B 的坐标为 (2,0),且 f (x) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和 [4,5]上有相反的单调性. (1)求 c 的值; (2)在函数 f (x)的图象上是否存在一点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)求| AC |的取值范围.

对本次课评价: A.满意 B.普通 学生签名 原因:

C.不满意

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