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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第1章 集合与常用逻辑用语-2


第一章
集合与常用逻辑用语

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

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开卷速查

考 纲 导 学

1.理解命题的概念. 2.了解“若

p, 则 q”形式的命题及其逆命题、 否命 题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.命题的概念 1 __________ 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 □ 2 ____________的语句叫真命题, □ 3 的陈述句叫做命题.其中 □ ____________的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系 7 ____的真假性; ①两个命题互为逆否命题,它们有□ ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 __________. 3.充分条件与必要条件 9 ________,q是p的□ 10 _________. (1)如果p?q,则p是q的□ 11 __________. (2)如果p?q,q?p,则p是q的□ 8 □

答案:

1 个区别——“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不 必要条件是 B”的区别 “A 是 B 的充分不必要条件”中, A 是条件, B 是结论; “A 的充分不必要条件是 B”中,B 是条件,A 是结论.在进行充分、 必要条件的判断中,要注意这两种说法的区别.

2 条规律——四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同 真假. (2)当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否 命题的真假.同时要关注“特例法”的应用. 3 种方法——判断充分条件和必要条件的方法 (1)定义法;(2)集合法;(3)等价转化法.

1.下列命题是真命题的为( 1 1 A.若 = ,则 x=y x y B.若 x2=1,则 x=1 C.若 x=y,则 x= y D.若 x<y,则 x2<y2

)

1 1 解析:由x=y得x=y,A正确,易知B、C、D错误,故选A.

答案:A

π 2.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( 4 π A.若α≠ ,则tanα≠1 4 π B.若α=4,则tanα≠1 π C.若tanα≠1,则α≠4 π D.若tanα≠1,则α=4

)

解析:以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题 为逆否命题,即“若α= π 4 ,则tanα=1”的逆否命题是“若

π tanα≠1,则α≠4”,故选C.
答案:C

3.设集合A,B,则“A?B”是“A∩B=A”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:由A?B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且 (A∩B)?B,得A?B,因此,“A?B”是“A∩B=A”成立的充 要条件,故选C.

答案:C

4.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B” 的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:当 a=3 时 A={1,3}显然是 B 的子集,但 A?B 时,a=3 或者 a=2,故为充分不必要条件.
答案:A

5.给定两个命题 p,q ,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p

是綈 q 的(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由 q?綈 p 且綈 pA ? / q 可得 p?綈 q 且綈 qA? / p,所

以 p 是綈 q 的充分不必要条件.

答案:A

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一

四种命题间的关系 )

【例 1】 (1)命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是( A.若 x>1,则 x≤0 C.若 x≤1,则 x≤0 B.若 x≤1,则 x>0 D.若 x<1,则 x<0

(2)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若 x+ y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

解析:(1)因为“x>1”的否定为“x≤1”,“ x>0”的否定为 “x≤0”,所以命题“若 x>1,则 x>0”的否命题为:“若 x≤1, 则 x≤0”. (2)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”, “x+y 是偶数”的否定表达是“x+y 不是偶数”, 故原命题的逆否 命题为“若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数”.
答案:(1)C (2)C

?名师点拨 判断四种命题间关系的方法 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结 论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否 命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题. (2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性,解题 时注意灵活应用.

通关特训 1 对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈 述正确的是( )

A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.以上三者都不正确

解析:将原命题改写成“若 p 则 q”的形式为“若一个函数是 单调函数,则这个函数不是周期函数”.其逆命题为“若一个函数 不是周期函数,则这个函数是单调函数”,故 A 错;否命题为“若 一个函数不是单调函数,则这个函数是周期函数”,故 B 错;逆否 命题为“若一个函数是周期函数,则这个函数不是单调函数”,故 C 错,故选 D.

答案:D

考点二

命题的真假判断

【例 2】 (1)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是 增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( )

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m >1”是真命题 B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增 函数”是假命题

C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是 减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不 是增函数”是真命题

(2)下列命题中为真命题的是(

)

A.命题“若 x>y,则 x> |y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题

解析:(1)命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数, 则 m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex -mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. (2)A 中逆命题为“若 x> |y|,则 x>y”是真命题; B 中否命题为“若 x≤1,则 x2≤1”是假命题; C 中否命题为“若 x≠1,则 x2+x-2≠0”是假命题; D 中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.
答案:(1)D (2)A

?名师点拨 命题的真假判断方法 (1)给出一个命题, 要判断它是真命题, 需经过严格的推理证明; 而要说明它是假命题,只需举一反例即可. (2)由于原命题与其逆否命题为等价命题,有时可以利用这种等 价性间接地证明命题的真假.

通关特训 2 下列命题: ①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“若 ab=0,则 a=0”的否命题; ③“正三角形的三个角均为 60° ”的逆否命题; ④“若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题; ⑤“若 a2+b2=0,a,b∈R,则 a=b=0”的逆否命题. 其中真命题的序号是 __________( 把所有真命题的序号填在横 线上).

解析:①“全等三角形的面积相等” 的逆命题为 “面积相等的 三角形全等”,显然该命题为假命题;②“若 ab=0,则 a=0”的 否命题为“若 ab≠0,则 a≠0”,而由 ab≠0 可得 a,b 都不为零, 故 a≠0,所以该命题是真命题;③由于原命题“正三角形的三个角 均为 60° ” 是一个真命题,故其逆否命题也是真命题;④易判断原 命题的逆命题假,则原命题的否命题假;⑤逆否命题为“a,b∈R, 若 a≠0 或 b≠0,则 a2+b2≠0”为真命题.
答案:②③⑤

考点三

充分条件、必要条件的判断

【例 3】 (1)[2014· 湖北]设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在 集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 )

(2)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a |>b |b |”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: (1)“存在集合 C 使得 A?C, B??UC”?“A∩B=?”. 选 C. (2)构造函数 f(x)=x|x|,则 f(x)在定义域 R 上为奇函数. 因为
?x2,x≥0, ? f(x)=? 2 ? ?-x ,x<0,

所以函数 f(x)在 R 上单调递增,所以

a>b?f(a)>f(b)?a|a|>b |b |.选 C.
答案:(1)C (2)C

?名师点拨

充要条件问题的常见类型及解题策略

(1)判断指定条件与结论之间的关系.解决此类问题应分三步: ①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推 条件;③确定条件和结论是什么关系. (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目, 可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后再验证得到的 必要条件是否满足充分性. (3)充要条件与命题真假性的交汇问题.依据命题所述的充分必 要性,判断是否成立即可.

通关特训 3 ( )

(1)[2014· 安 徽 ]“x < 0” 是 “ln(x + 1) < 0” 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的”( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

a b (3)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充 |a | |b | 分条件是( ) B.a∥b D.a∥b 且 |a |= |b |

A.a=-b C.a=2b

解析: (1)ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0, 而(-1,0)是(- ∞ , 0) 的真子集,所以 “x<0”是“ln(x+1) < 0” 的必要不充分条 件. (2)当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)= sin(2x+π)=- sin2x,过原点, 当 φ=2π 也满足题意,故答案为充分不必要条件.

a b a b (3) , 分别是与 a,b 同方向的单位向量,由 = ,得 a 与 |a | |b | |a | |b | b 的方向相同.而 a∥b 时,a 与 b 的方向还可能相反.故选 C.

答案:(1)B (2)A (3)C

考点四

充分条件、必要条件的应用

1 【例 4】 (1)已知 p: <1,q:x2+(a-1)x-a >0,若 p x-1 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,-1] C.[-3,1] B.[-2,-1] D.[-2,+∞) )

4 (2)已知条件 p: ≤-1,条件 q:x2-x<a2-a,且綈 q 的 x-1

一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的取值范围是__________.

x-2 1 1 解析:(1)不等式 <1 等价于 -1<0,即 >0,解得 x-1 x-1 x-1 x>2 或 x<1,所以 p 为(-∞,1)∪(2,+∞).不等式 x2+(a-1)x -a>0 可以化为(x-1)(x+a)>0,当-a≤1 时,解得 x>1 或 x<- a,即 q 为(-∞,-a)∪(1,+∞),此时 a=-1;当-a>1 时,不 等式(x-1)(x+a)>0 的解集是(-∞, 1)∪(-a, +∞), 此时-a<2, 即-2<a<-1.综上可知 a 的取值范围为(-2,-1].

4 (2)由 ≤-1,得-3≤x<1. x-1 由 x2-x<a2-a,得(x-a)[x+(a-1)]<0, 1 当 a>1-a,即 a>2时,不等式的解为 1-a<x<a; 1 当 a=1-a,即 a= 时,不等式的解为?; 2 1 当 a<1-a,即 a<2时,不等式的解为 a<x<1-a.

由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分

不必要条件,即 p 为 q 的一个必要不充分条件,即条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集.
? ?-3≤1-a, 1 当 a>2时, 由{x|1-a<x<a}? {x|-3≤x<1}, 得? ? ?1≥a,

1 解得2<a≤1;

1 当 a=2时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以满足 条件;
?-3≤a, ? 1 当 a< 时,由{x|a< x<1-a}? {x|-3≤x<1},得? 2 ? ?1≥1-a,

1 解得 0≤a<2. 综上,a 的取值范围是[0,1].
答案:(1)A (2)[0,1]

?名师点拨 集合法与等价转化法的应用 (1)利用集合间的关系判断充要条件的方法

(2)条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来 判断真假.

通关特训 4 已知 p: 2x-1 ≤1,q:(x-a)(x-a-1)≤0.若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是(
? 1? A. ?0,2? ? ? ? 1? B.?0, ? 2? ? ?1 ? C.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? ?1 ? D.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ?

)

1 解析:令 A={x| 2x-1 ≤1},得 A={x|2≤x≤1},令 B ={x|(x -a)(x-a-1)≤0},得 B={x|a≤x≤a+1},若 p 是 q 的充分不必要 ? 1 ?a≤ , 1 2 条件,则 A? B,需? ?0≤a≤2,故选 A. ? ?a+1≥1
答案:A

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