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2015浙江卷(文数)


2015 浙江卷

(文数)

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 高考浙江卷,文 1)已知集合 P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则 P∩Q 等于( A ) (A)[3,4)

(B)(2,3] (C)(-1,2) (D)(-1,3] 解析:P={x|x≥3 或 x≤-1},故 P∩Q={x|3≤x<4}. 2.(2015 高考浙江卷,文 2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( C )

(A)8 cm3 (B)12 cm3 (C)

cm3 (D)

cm3

解析:该几何体为正四棱柱和正四棱锥的组合,所以其体积 V=V 四棱柱+V 四棱锥,故 V=23+ ×22×2=

(cm3).

3.(2015 高考浙江卷,文 3)设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

D )

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若 a+b>0,取 a=3,b=-2,则 ab>0 不成立;反之,若 a=-2,b=-3,则 a+b>0 也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条 件. 4.(2015 高考浙江卷,文 4)设α,β是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l?α,m?β.( (A)若 l⊥β,则α⊥β (B)若α⊥β,则 l⊥m (C)若 l∥β,则α∥β (D)若α∥β,则 l∥m 解析:对于面面垂直的判定,主要是两个条件,即 l?α,l⊥β,如果这两个条件存在,则α⊥β. A )

5.(2015 高考浙江卷,文 5)函数 f(x)= x- cos x(-π≤x≤π且 x≠0)的图象可能为(

D )

解析:根据 y1=x- 为奇函数,y2=cos x 为偶函数,可得函数 f(x)为奇函数,因此排除 A、B 项,又当 x=π时,y1>0,y2<0,因此选 D.

6.(2015 高考浙江卷,文 6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的 粉刷面积(单位:m2)分别为 x,y,z,且 x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为 a,b,c,且 a<b<c.在不同的方案中,最低的总 费用(单位:元)是( (A)ax+by+cz (C)ay+bz+cx B )

(B)az+by+cx (D)ay+bx+cz

解析:采用特值法进行求解验证即可,若 x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则 ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.由 此可知最低的总费用是 az+by+cx. 7.

(2015 高考浙江卷,文 7)如图,斜线段 AB 与平面α所成的角为 60°,B 为斜足,平面α上的动点 P 满足∠PAB=30°,则点 P 的轨迹是 ( C ) (A)直线 (C)椭圆 (B)抛物线 (D)双曲线的一支

解析:由题意知,线面角为 60°,∠PAB=30°,因此 AP 的轨迹在空间是一个以 AB 为轴线,A 为顶点的圆锥侧面,用一个与圆锥轴线成 60° 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆. 8.(2015 高考浙江卷,文 8)设实数 a,b,t 满足|a+1|=|sin b|=t.( B ) (A)若 t 确定,则 b2 唯一确定 (B)若 t 确定,则 a2+2a 唯一确定

(C)若 t 确定,则 sin 唯一确定

(D)若 t 确定,则 a2+a 唯一确定

解析:若 t 确定,则 t2 确定,由|a+1|=t,得 a2+2a+1=t2,所以 a2+2a=t2-1 唯一确定;对于 A、 C,令 t=0,则 sin b=0,即 b=kπ,k∈Z,所以 b2,sin

都不确定;对于 D,令 t=2,则|a+1|=2,即 a=1 或 a=-3,此时 a2+a=2 或 a2+a=6,即 a2+a 的值不唯一确定.故选 B.

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

9.(2015 高考浙江卷,文 9)计算:log2 =

,

=

.

解析:log2 =log2

=- ,

=

=

=

=3

.

答案:-

3

10.(2015 高考浙江卷,文 10)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,若 a2,a3,a7 成等比数列,且 2a1+a2=1,则 a1=

,d=

.

解析:由 a2,a3,a7 成等比数列,得

=a2a7,则 2d2=-3a1d,即 d=- a1.

又 2a1+a2=1,所以 a1= ,d=-1.

答案:

-1

11.(2015 高考浙江卷,文 11)函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是

,最小值是

.

解析:由题可得 f(x)= sin 2x- + ,所以最小正周期 T=π,最小值为

.

答案:π

12.(2015 高考浙江卷,文 12)已知函数 f(x)=

则 f(f(-2))=

,f(x)的最小值是

.

解析:因为 f(-2)=4,f(4)=- ,

所以 f(f(-2))=- ;x≤1 时,f(x)min=0,x>1 时,

f(x)min=2

-6,又 2

-6<0,所以 f(x)min=2

-6.

答案:-

2

-6

13.(2015 高考浙江卷,文 13)已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1·e2= ,若平面向量 b 满足 b·e1=b·e2=1,则|b|=

.

解析:不妨设 b=xe1+ye2,则 b·e1=x+ =1,b·e2= +y=1,因此可得 x=y= ,所以|b|= |e1+e2|=

.

答案:

14.(2015 高考浙江卷,文 14)已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是

.

解析:设 z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2x+y-4|+|x+3y-6|,由 x,y 满足 x2+y2≤1,知 2x+y-4≤0,x+3y-6≤0,所以 z=-3x-4y+10,当直线

3x+4y-10+z=0 与圆 x2+y2=1 相切时,z 取得最值,此时

=1,因此 zmax=15.

答案:15

15.(2015 高考浙江卷,文 15)椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率



.

解析:设左焦点为 F1,由 F 关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,得|OQ|=|OF|,

又|OF1|=|OF|, 所以 F1Q⊥QF,

所以 F1Q 所在直线与 y= x 平行,

所以 F1Q:y= (x+c),①

把①代入 + =1 整理得(c2b2+a2b2)x2+2a2b2cx=0,②

方程②有一根为 x=0,所以 Q(0,b).

所以 b=c,e= .

答案:

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分)

(2015 高考浙江卷,文 16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan +A =2.

(1)求

的值;

(2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积.

解:(1)由 tan +A =2,得 tan A= ,

所以

=

= .

(2)由 tan A= ,A∈(0,π),

得 sin A=

,cos A=

.

又由 a=3,B= 及正弦定理

=

,得 b=3

.

由 sin C=sin(A+B)=sin A+ ,

得 sin C=

.

设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9.

17.(本小题满分 15 分) (2015 高考浙江卷,文 17)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,

b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1-1(n∈N*).

(1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 解:(1)由 a1=2,an+1=2an, 得 an=2n(n∈N*). 由题意知 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2.

当 n≥2 时, bn=bn+1-bn,

整理得

= ,

所以 bn=n(n∈N*). (2)由(1)知 anbn=n·2n, 因此,Tn=2+2×22+3×23+…+n·2n, 2Tn=22+2×23+3×24+…+n·2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).

18.(本小题满分 15 分) (2015 高考浙江卷,文 18)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点.

(1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值.

(1)证明:设 E 为 BC 的中点,连接 A1E,AE.由题意得 A1E⊥平面 ABC,所以 A1E⊥AE. 因为 AB=AC,所以 AE⊥BC. 故 AE⊥平面 A1BC. 连接 DE,由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点,得 DE∥B1B 且 DE=B1B, 从而 DE∥A1A 且 DE=A1A, 所以 AA1DE 为平行四边形. 于是 A1D∥AE. 又因为 AE⊥平面 A1BC,所以 A1D⊥平面 A1BC. (2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC, 所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE, 所以 BC⊥平面 AA1DE. 所以 BC⊥A1F, 所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角. 由 AB=AC=2,∠CAB=90°,得 EA=EB= 由 A1E⊥平面 ABC,得 A1A=A1B=4,A1E= 由 DE=BB1=4,DA1=EA= ,∠DA1E=90°, . .

得 A1F= .

所以 sin ∠A1BF= .

19.(本小题满分 15 分)

(2015 高考浙江卷,文 19)如图,已知抛物线 C1:y= x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线

C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点.

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 解:(1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),



消去 y,整理得 x2-4kx+4kt=0,

由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t. 因此,点 A 的坐标为(2t,t2). 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知,点 B,O 关于直线 PD 对称.



解得

因此,点 B 的坐标为

,

.

(2)由(1)知|AP|=t·

,

直线 PA 的方程为 tx-y-t2=0.

点 B 到直线 PA 的距离是 d=

.

设△PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|·d= .

20.(本小题满分 15 分) (2015 高考浙江卷,文 20)设函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).

(1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式;

(2)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求 b 的取值范围.

解:(1)当 b= +1 时,f(x)= x+

2+1,

故函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=- .

当- ≥1,即 a≤-2 时,g(a)=f(1)= +a+2.

当-1≤- <1,即-2<a≤2 时,g(a)=f - =1.

当- <-1,即 a>2 时,g(a)=f(-1)= -a+2.

综上,g(a)=

(2)设 s,t 为方程 f(x)=0 的解,且-1≤t≤1,则

由于 0≤b-2a≤1,因此

≤s≤

(-1≤t≤1).

当 0≤t≤1 时,

≤st≤

,

由于- ≤

≤0 和- ≤

≤9-4

,

所以- ≤b≤9-4

.

当-1≤t<0 时,

≤st≤

,

由于-2≤

<0 和-3≤

<0,

所以-3≤b<0. 故 b 的取值范围是[-3,9-4 ].


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