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江苏省黄桥中学2013届下学期高三数学周周练(1)及参考答案


江苏省黄桥中学高三数学周周练(1)
2013/2/18 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1.若函数 y ? cos(? x ?

?
3

) (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,则 ? ?
▲ .

>▲



2.若复数 (1 ? 2i)(1 ? ai) 是纯虚数,则实数 a 的值是

? ? ? ? 3.已知平面向量 a ? (1, ?1) , b ? ( x ? 2,1) ,且 a ? b ,则实数 x ?
次随机取一个,则连续取两次都是白球的概率是 5.右图是某程序的流程图,则其输出结果为 6.给出下列四个命题: ▲ ▲ . .





4.一个袋中有 3 个大小质地都相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,现从袋中有放回地取球,每 ...
开始

S ?0 k ?1 k ? 2011
否 是

(1) 如果平面 ? 与平面 ? 相交, 那么平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 相交 (2)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? (3)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内与它们的交线不垂直的直 线与平面 ? 也不垂直 (4)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂 直于平面 ?

S ?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

k ? k ?1
结束

(第 5 题) 真命题的序号是 ▲ . (写出所有真命题的序号) ... x2 y 2 7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长,那么该双曲线的离 a b 心率为 ▲ .

8.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c ? 1 的值域是 [1, ??) ,则

1 9 ? 的最小值是 a c





9. 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 , 若不等式 f (3 ? 2sin? ) ? m2 ? 3m 对任意 ? ? R 恒成立, 则实数 m 的 取值范围为 ▲ .

?2 x ? y ? 4 n?m ? 10.若动点 P ( m, n) 在不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动,则 t ? 的取 m ?1 ?y ? 0 ?
值范围是 ▲ .

11.在 ?ABC 中, AB 边上的中线 CO ? 2 ,若动点 P 满足 AP ? 则 (PA ? PB) ? PC 的最小值是

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

? ???? 1 2 ??? sin ? ? AB ? cos 2 ? ? AC (? ? R ) , 2



. 1 3 5 7 9 11 ?? (第 13 题)

12 . 设 D 是 函 数 y ? f ( x) 定 义 域 内 的 一 个 区 间 , 若 存 在 x0 ? D , 使

f ( x0 ) ? ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个“次不动点” ,也称 f ( x) 在区间 D
2 上存在次不动点.若函数 f ( x ) ? ax ? 3 x ? a ?

5 在区间 [1,4] 上存在次 2

不动点,则实数 a 的取值范围是





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13.将所有的奇数排列如图,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij ,例如 a32 ? 9 .若 aij ? 445 ,则 i ? j ? ▲ . ▲ . 14.若实数 a , b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点 N (3,3) ,则线 段 MN 长度的最大值是 证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a , b, c ,且 2a cos B ? c cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m ? (cos A,cos2 A) , n ? (12, ?5) ,求当 m ? n 取最大值时, tan( A ?
2 0

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 .......

??

?

?? ?

?
4

) 的值.

0

7

0

3

1

6

16. (本小题满分 14 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A B C D 中,底面 ABCD 是直角梯形, ?BAD ? ?ADC ? 90? , 1 1 1 1 AB ? 2AD , CD ? AD . (1)求证: ?B1CB 是二面角 B1 ? AC ? B 的平面角; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论. A1 D1 A D C C1 B1

B

17. (本小题满分 14 分) 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间,运输成本由燃料费用和其它费用组成,已知 该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5 ) ,其它费用为每小时 m 元,根据市场调研,得知 m 的波动区间是 [1000,1600] ,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/ 小时. (1)请将从甲地到乙地的运输成本 y (元)表示为航行速度 x (海里/小时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

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18. (本小题满分 16 分) 已知中心在原点 O 、 焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M (2,1) , 离心率为 图,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A, B . (1) 当直线 l 经过椭圆 C 的左焦点时, 求直线 l 的方程; (2)证明:直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.

3 . 如 2

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x ,其中常数 a ? 0 . 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)如果函数 f ( x), H ( x), g ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f ( x) ? H ( x) ? g ( x) ,那么就称 H ( x ) 为 f ( x) 与 g ( x) 的“和谐函数” .设 g ( x) ? x2 ? 4 x ,求证:当 2 ? a ? 函数 f ( x) 与 g ( x) 的“和谐函数”有无穷多个.

5 时,在区间 (0, 2] 上, 2

20. (本小题满分 16 分) 已知无穷数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 S n ? ? S n ?3 成立,求数列 {an } 的通项公式;
3

(2)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,?, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运 算后所得数的绝对值为互不相同的正整数, 且这些正整数与 a1 , a2 ,?, an 一起恰好是 1 至 Sn 全体 正整数组成的集合. (i)求 a1 , a2 的值; (ii)求数列 {an } 的通项公式.

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高三数学周周练(1)(附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指 ...... .... 定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... A.选修 4 ?1 :几何证明选讲 如图,设 AB 为⊙ 的任一条不与直线 l 垂直的直径, P 是⊙ 与 l 的公共点,AC⊥l ,BD⊥l ,垂 O O 足分别为 C、D,且 PC ? PD ,求证: PB 平分∠ ABD. B.选修 4 ? 2 :矩阵与变换
??1 a ? 已知 a,b ?R ,矩阵 A ? ? ? 所对应的变换 TA 将 ? b 3? ? ?1? 直线 2 x ? y ? 3 ? 0 变换为自身. (1)求实数 a,b 的值; (2)计算 A2 ? ? . ?3?

C.选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程
? x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos? 已知直线 C1 : ? , 。 (t 为参数) C2 : ? (? 为参数) ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

(1)当 ? ?

?
3

时,求 C1 被 C2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。 D.选修 4 ? 5 :不等式选讲 若对于一切实数 x ,不等式 | 2 x ? 1| ? |1 ? x |?| x | ? | 2a ? 1| 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC ,

SA ? SC ? 2 3 , M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点.
(1)求二面角 N ? CM ? B 的余弦值; (2)求点 B 到平面 CMN 的距离. 23. (本小题满分 10 分)
A

S
N

C
M B

某养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为 10%.现对 50 只鸡进行抽血化验,以期查出所有病鸡.设 计了如下方案:按 n( 1≤n≤50,且 n 是 50 的约数)只鸡一组平均分组,并把同组的 n 只鸡抽 到的血混合在一起化验,若发现有问题,即对该组的 n 只鸡逐只化验.记 X 为某一组中病鸡的 只数. (1)若 n ? 5 ,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)为了减少化验次数的期望值,试确定 n 的大小. (参考数据 :取 0.93 ? 0.73 , 0.94 ? 0.66 , 0.95 ? 0.59 , 0.910 ? 0.35 , 0.925 ? 0.07 . )
第 4 页 共 10 页

江苏省黄桥中学高三数学周周练(1)参考答案
1. 2 7. 2.

1 2

3. 3

4.

4 9

5.

2011 2012

6. (4) (3) 10. [? ,4]

y 4

5

8. 3

9. (??, ?4) ? (1, ??)

2 3

n ? m n ?1 ? ?1, m ?1 m ?1 n ?1 1 其中 表示 P ( m, n) 与点 ( ?1, ?1) 连线的斜率 k ,由图可知 k ?[ ,5] ,故 m ?1 3 2 t ? k ? 1?[? , 4] 3
解答如下:画出可行域(如图所示阴影部分) ,而 t ? 11. 【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积. 【答案】 ?2 解 答 如 下 : 因 为

?1 O ?1 2 x

? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 A P s i ? n ? A B 2c o s A C2 ? s i ? n A 2? 且 c ?o A C ? ? ? ? ? O ? s 2 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? sin 2 ? ,cos2 ? ?[0,1] , 所 以 点 P 在 线 段 OC 上 , 故 (PA ? PB) ? PC ? 2PO ? PC , 设 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2] | PO |? t (t ? [ 0 , ,则)(PA ? PB) ? PC ? 2t (2 ? t ) ? (?1) ? 2t 2 ? 4t ,当 t ? 1 时取最小值 ?2
12. 【解析】本题主要考查函数的概念和最值. 【答案】 ( ?? , ]

1 2

5 ? 0 .当 x ? 1 时,使 2 1 4x ? 5 4x ? 5 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 g (1) ? ? 0 ;当 x ? 1 时,解得 a ? .设 h( x) ? ,则由 h '( x) ? ? 0, 2 2( x 2 ? 1) 2( x 2 ? 1) ( x 2 ? 1)2 1 ) 得 x ? 2 或 x ? ( 舍 去 ) 且 h( x) 在 (1,2) 上 递 增 , 在 ( 2 , 4 上 递 减 . 因 此 当 x ? 2 时 , , 2 1 4x ? 5 1 g ( x)最大 ? ? ,所以 a 的取值范围是 ( ?? , ] . 2 2 2( x ? 1) 2
2 解答如下:由题意,存在 x ? [1,4] ,使 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? a ?

13. 【解析】本题主要考查数列的通项. 【答案】34 解 答 如 下 : 可 以 求 得 通 项 aij ? i 2 ? i ? 2 j ?1 , 所 以 i 2 ? i ?2 j ?1 ? 4 4 5 1 ? j ? i , 从 而 且

?i 2 ? i ? 444 ? ,解得 i ? 21 ,于是 j ? 13 ,故 i ? j ? 34 ?2 ?i ? i ? 446 ?
14. 【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系. 【答案】 5 ? 2 解答如下:由题可知动直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 A(1, ?2) .设点 M ( x, y) ,由 M ?M 可求得点 P A

M 的轨迹方程为圆 Q : x2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,故线段 MN 长度的最大值为 QN ? r ? 5 ? 2 15.解: (1)由题意, 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ?????????? 2 分
所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A . 因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 .所以 cos B ? ?????????????? 3 分

1 ? . 因为 0 < B < p ,所以 B ? . ? 6 分 2 3 ?? ? ?? ? 3 2 43 2 (2)因为 m ? n ? 12cos A ? 5cos2 A 所以 m ? n ? ?10cos A ? 12cos A ? 5 ? ?10(cos A ? ) ? 5 5 ?? ? 3 4 4 所以当 cos A ? 时, m ? n 取最大值此时 sin A ? ( 0 < A < p ) ,于是 tan A ? 5 5 3
第 5 页 共 10 页

所以 tan( A ?

?
4

)?

tan A ? 1 1 ? tan A ? 1 7

??????????????????????? 14 分

16.证明: (1) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥ 平面 ABCD,? BB1⊥ AC.???? 2 分 又? ∠ BAD=∠ ADC=90° AB ? 2 AD ? 2CD , , ∴ ?CAB ? ?ABC ? 45? ,∴BC⊥ AC.????????????????? 5 分 ∴ AC ? 平面 B1 BC ,∴ AC ? B1C ? ?B1CB 是二面角 B1 ? AC ? B 的平面角. (2)存在点 P,P 为 A1B1 的中点.?????????????????????? 8 分 由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖ AB,且 PB1= 又∵DC‖ AB,DC=

1 AB. 2

1 AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1, 2 ∴DC PB1 为平行四边形,从而 CB1∥DP. ??????????????? 11 分 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖ ACB1.同理,DP‖ BCB1.?? 14 分 面 面
17.解: (1)由题意,每小时的燃料费用为 0.5x2 (0 ? x ? 50) 从甲地到乙地所用的时间为 则从甲地到乙地的运输成本 y ? 0.5x2 ?

300 小时 x

300 300 , (0 ? x ? 50) ? m? x x

2m ) , (0 ? x ? 50) x 2m (2) y ' ? 150(1 ? 2 ) x
即 y ? 150( x ? 令 y ' ? 0 ,得 x ? 2m (负值舍去)当 x ? (0, 2m ) 时, y 关于 x 单调递减 当 x ? ( 2m , ??) 时, y 关于 x 单调递增 ??????????????????? 9 分 所以,当 2m ? 50 即 1250 ? m ? 1600 时, x ? 50 时 y 取最小值 ??????? 11 分

当 2m ? 50 即 1000 ? m ? 1250 时, x ? 2m 时 y 取最小值 ?????? 13 分 综上所述,若 1000 ? m ? 1250 ,则当货轮航行速度为 2m 海里/小时时,运输成本最少; 若 1250 ? m ? 1600 ,则当货轮航行速度为 50 海里/小时时,运输成本最少. ?? 14 分 18.解: (1)根据 e ?

x2 y2 c 3 ? ,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 4b b a 2 x2 y2 ? ? 1 ?????? 4 分 将 M (2,1) 代入可得 b2 ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为 8 2

因此左焦点为 (? 6,0) , 斜率 kl ? kOM ?

1 6 1 1 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 6) , y ? x ? 即 2 2 2 2

(2)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

第 6 页 共 10 页

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
(*)?? 10 分

设l : y ?

1 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 ,得 x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 ? x ? y ?1 ?8 2 ?

所以, x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 4 ???????????????????? 13 分 代入(*)式,得

k1 ? k2 ?

2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 所以直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.? 16 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?0
19.解: (1) f '( x) ? ax ? (2a ? 1) x ?

2 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ( x ? 2)( ax ? 1) ? ? ( x ? 0 ,常数 a ? 0 ) x x x 1 令 f '( x) ? 0 ,则 x1 ? 2 , x2 ? ????????????????????? 2 分 a 1 1 1 1 ①当 0 ? a ? 时, ? 2 ,在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 2 a
故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) ???????? 4 分

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) ???????? 5 分 2 2x 1 1 1 1 ③当 a ? 时,0 ? ? 2 , 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 2 a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) ??????? 7 分 a a 1 (2)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? (1 ? a) x 2 ? (2a ? 3) x ? 2ln x , x ? (0,2] 2 2 (2 ? a) x 2 ? (2a ? 3) x ? 2 ( x ? 2)[(2 ? a) x ? 1] h '( x) ? (2 ? a) x ? 2a ? 3 ? ? ? x x x 1 令 h '( x) ? 0 ,则 x1 ? 2 , x2 ? ?????????????????????? 10 分 a?2 5 因为 2 ? a ? ,所以 x2 ? x1 ,且 2 ? a ? 0 2 从而在区间 (0, 2] 上, h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 (0, 2] 上单调递减 ??????????? 12 分 所以 h( x)min ? h(2) ? 2a ? 2 ? 2ln 2 ?????????????????????? 13 分 5 又 2 ? a ? ,所以 2a ? 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 h( x) min ? 0 ?????????? 15 分 2
②当 a ? 设 H ( x) ? f ( x) ? (2 ? 2ln 2)? ( 0 ? ? ? 1) ,则 f ( x) ? H ( x) ? g ( x)
第 7 页 共 10 页

所以在区间 (0, 2] 上,函数 f ( x) 与 g ( x) 的“和谐函数”有无穷多个 ???????? 16 分 20.解: (1)设无穷等差数列 {an } 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) ?d d ?? ? d ? n ? n ? ? a1 ? ?? , 2 2 ?? ? ?2
3

?d d ?? ? 所以 Sn3 ? n ? n3 ? ? a1 ? ? ? 2 ?? ? ?2
3

且 ? Sn ?

3

?d d ?? ? ? n ? n ? ? a1 ? ? ? 2 ?? ? ?2
3

2 3 ?d3 d2 ? d? d? d? d? ? ? ? n3 ? n3 ? 3 ? ? a1 ? ? n 2 ? 3 ? ? a1 ? ? n ? ? a1 ? ? ? 4 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ?8 ? ?

?d3 d ? ? , 2 ?8 2 ? 3d d ? 4 (a1 ? 2 ) ? 0, 3 ? 因为 S n3 ? ? S n ? 对于一切正整数 n 都成立,所以 ? ? 3d (a ? d ) 2 ? 0, ?2 1 2 ? ?(a1 ? d )3 ? a1 ? d . ? 2 2 ?
因为数列 {an } 的各项均为正整数,所以 d ? 0 由①,可得 d ? 0 或 d ? 2 . 当 d ? 0 时,由④得 a1 ? 1 ,且同时满足②③.当 d ? 2 时,由②得 a1 ?

① ②
?? 4 分

③ ④

d ? 1 ,且同时满足③④. 2

因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 ???? 6 分 (2) (i)记 An ? {1,2,?, Sn} ,显然 a1 ? S1 ? 1 ???????????????????? 7 分 对于 S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,有 A2 ? {1,2,?, S2 } ? {1, a2 ,1 ? a2 ,|1 ? a2 |} ? {1,2,3,4} 故 1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3 ?????????????????????????? 9 分 (ii)由题意可知,集合 {a1 , a2 ,?, an } 按上述规则,共产生 Sn 个正整数.??????? 10 分 而集合 {a1 , a2 ,?, an , an?1} 按上述规则产生的 S n ?1 个正整数中,除 1,2,?, Sn 这 Sn 个正整数外, 还有 an?1 , an?1 ? i,| an?1 ? i | (i ? 1,2,?, Sn ) ,共 2Sn ? 1 个数. 所以, Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1 ????????????????????? 12 分

1 1 1 1 1 1 ? 3( S n ? ) ,所以 S n ? ( S1 ? ) ? 3n ?1 ? ? ? 3n ? ????????? 14 分 2 2 2 2 2 2 1 n 1 1 n ?1 1 n ?1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? 3 ? ? ( ? 3 ? ) ? 3 ??????????? 15 分 2 2 2 2
又 S n ?1 ? 而 a1 ? 1 也满足 an ? 3n?1 所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 3n?1 ??? 16 分
第 8 页 共 10 页

江苏省黄桥中学高三数学周周练(1)附加题参考答案
y y B.解析: (1)设直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上任意一点 P( x, ) 在变换 TA 的作用下变成点 P?( x?, ?) ,

? ?1 a ? ? x ? ? x? ? 由题意知 2 x? ? y? ? 3 ? 0 ,由 ? ?? ? ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ??

得 x? ? ? x ? ay , y ? ? bx ? 3 y , ??2 分 代入直线 2 x? ? y? ? 3 ? 0 得 2(? x ? ay) ? (bx ? 3 y) ? 3 ? 0 , 即 (?b ? 2) x ? (2a ? 3) y ? 3 ? 0 ,
y 由点 P( x, ) 的任意性可得 ?b ? 2 ? 2 , 2a ? 3 ? ?1 ,

解得 a ? 1 , b ? ?4 。

????5 分 ????7 分

? ?1 1? ? ?1 1? ? ?3 2? (2)由(1)得 A2 ? ? ?? ??? ?, ? ?4 3? ? ?4 3? ? ?8 5 ? ? ?1? ? ?3 2? ? ?1? ? 9 ? 则 A2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? . ? 3 ? ? ?8 5 ? ? 3 ? ? 23?

????10 分

C.解析: (1) C1 的普通方程为 y ? 3( x ? 1) , C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1 , ????2 分 ∴圆心 O 到直线 C1 的距离 d ?
3 3 ,∴ C1 被 C2 截得的弦长 2 1 ? ? 1 。 ???? 4 分 2 4

(2) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0, ∴直线 OA : y ? ?

cos ? x ,????6 分 sin ?
????8 分

? x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 ? 由? 得 A(sin 2 ? , ? sin ? cos ? ) cos ? ? y ? ? sin ? x ?
? x ? sin 2 ? 解∴A 点的轨迹的参数方程 ? 。 (? 为参数) ? y ? ? sin ? cos ?

????10 分

22.解析:⑴取 AC 中点 O ,连结 OS 、 OB .∵ SA ? SC , AB ? BC , ∴ AC ? SO , AC ? BO .∵平面 SAC ? 平面 ABC , 平面 SAC ? 平面 ABC ? AC ,∴ SO ? 平面 ABC ,∴ SO ? BO . ??2 分 如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(2,0,0) , B(0,2 3,0) ,
z

C (?2,0,0) , S (0,0,2 2 ) ,∴ M (1, 3,0) , N (0, 3, 2 ) ,

S
N

???? ? ???? ? ∴ CM ? (3, 3,0) , MN ? (?1,0, 2 ) .
? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CMN 的一个法向量,
x

C

O
A
M

B

y

第 9 页 共 10 页

? 则 ?CM ? n ? 3x ? ? ? ???? ?

???? ? ?

3y

?0,

? MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0 ?

取 z ?1, x ? 2 , y ? ? 6 ,∴ n ? ( 2 , ? 6,1) . 又 OS ? (0,0,2 2 ) 为平面 ABC 的一个法向量, ∴ cos ? n, OS ?? ?n ? OS ? 1 ,即二面角 N ? CM ? B 的余弦值为 . ???
| n | ? | OS | 3

?

??4 分 ??5 分

??? ?

? ??? ?

? ???

1 3

??6 分

(2)由⑴得 MB ? (?1, 3,0) ,又 n ? ( 2 , ? 6,1) 为平面 CMN 的一个法向量, | n |? 3 , ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d ?
| n ? MB |
? |n| ? ????

????

?

?

?

|? 2 ?3 2 | 3

?

4 2 3

.??10 分

23.解析: (1)当 n ? 5 时, X ~ B ? 5, ? , 0.1
r 1 2 3 4 5 则 P( X ? r ) ? C5 ? 0.1r ? 0.95?r , r ? 0,,,,, ,

????2 分

故 X 的概率分布表为:

X
P

0
0.59

1
0.33

2
0.073

3
0.0081

4
0.00045

5
0.00001

所以 E ( X ) ? 5 ? 0.1 ? 0.5 ; (2)由题意得 n 的所有可能取值为 1,2,5,10,25,50, 当 n ? ? 1 ? 时,需化验 50 次;
5 10 25 50 0.1 当 n ??2,, , , ? 时, X ~ B ? n, ? ,

????4 分

????5 分 ????6 分

对于某一组的 n 只鸡,化验次数 Y 的所有可能值为 1, n ? 1 , 且 P(Y ? 1) ? 0.9n , P(Y ? n ? 1) ? 1 ? 0.9n , 所以 E(Y ) ? 1? 0.9n ? (n ? 1) ? 1 ? 0.9n ? n ? 1 ? n ? 0.9n , 故 50 只鸡的化验总次数的期望 f (n) ? 50 ? n ? 1 ? n ? 0.9n ? n

?

?

????7 分

? 50 1 ? 1 ? 0.9n , n

?

?

????8 分

算得 f (2) ? 34.5 , f (5) ? 30.5 , f (10) ? 37.5 , f (25) ? 48.5 , f (50) ? 51 , 所以按 5 只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小. ????10 分

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