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差分方程讲解--老师


差分方程从数列谈起
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组

§1 数列的差分

一. 数列的概念
二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质

§1 数列的差分 一. 数列的概念
一个数列就是实数的任何(有限或无限的) 有序集. 这些数称为数列的项或

元素.
用an来表示数列的第n项, 称之为数列的 通项. 定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域 为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.

§1 数列的差分
数列的表示:

1. 列举法:

A ? {2, 4, 6, 8, 10, ?}
?1 2 3 4 ? C ? ? , , , , ?? ?2 3 4 5 ?

§1 数列的差分
数列的表示: 2. 通项法:

A ? ?an ? ? ?2n? ,
? n ? C ? ?cn ? ? ? ?. ? n ? 1?

§1 数列的差分
数列的表示: 3. 图象法: 序列的项通过标出点(n, an) 图示. 直观, 具有可视化的效果. 4. 描述法:

§1 数列的差分 数列的一些例子
1. 假如你开了一个10000元的银行帐户, 银 行每月付给2%的利息. 假如你既不加进存 款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就 构成一个数列.

§1 数列的差分
2. 兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每 次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如 养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对 数也构成一个数列(假设生下的小兔都不 死) 斐波那契(Fibonacci意大利 约11701250本名Leonardo) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

§1 数列的差分
二. 数列差分的概念
数列相邻项的差, 称为数列的差分.
定义1.2 对任何数列A ? {a1, a2, ?}, 其差分算子 ?(读作delta)定义如下: ?a1 ? a2 ? a1, ?a2 ? a3 ? a2, ?a3 ? a4 ? a3, ?,

一般地, 对任何n有
?an ? an?1 ? an,

§1 数列的差分
应用这个算子?, 从原来的数列A构成一个新的数 列?A, 从数列?A可得到数列?2A ?{?2an}, 这里

?2an ? ?(?an) ? ?an?1 ? ?an
? an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an, 称之为数列A的二阶差分, 二阶差分?2an的差分 ?3an称为三阶差分, 二阶及二阶以上的差分称为

高阶差分, 而称?an为一阶差分.

§1 数列的差分
差分的物理和几何意义: 在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速

度, 二阶差分表示平均加速度.
在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两 点连线的斜率. 例. 外出汽车旅行, 每小时记录下里程表的读数. 设A ?{an} ?{22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511},

?A ? {?an} ? {30, 49, 55, 23, 32},

§1 数列的差分
例. 假设我们有数列{an} ? {3n ? 5}, 并考虑由 表给出的关于n ? 1, 2, 3, ?的数列. 我们按函 数值列表, 并考虑相邻项的差.
n

an
-2 1 4 7 10 13 16 19

?an

1 2 3 4 5 6 7 8

3 3 3 3 3 3 3

§1 数列的差分

§1 数列的差分
定理1.1 若c和b为常数且对所有n ? 1, 2, 3, ?有 an ? cn ? b, 则: 1. 对所有n, 数列{an}的差分为常数; 2. 当画an关于n的图形时, 这些点都落在 一条直线上. 定理1.2 若?an ? c, 其中c是一个与n无关的常数, 则有一个an的线性函数(即存在常数b使 an ? cn ? b).

§1 数列的差分
例. 对二次多项式数列 {an } ? {n2 ? 3n ? 5} , 当 n ? 1, 2, ?, 6时造差分表.

n
1 2 3 4 5 6

an
3 3 5 9 15 23

?an
0 2 4 6 8

? an
2

2 2 2 2

§1 数列的差分
定理1.3 若数列{an}由一个二次多项式定义, 则 该数列具有性质: 其二阶差分为常数, ?2an ? c. 定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有?2an ? c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.

注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k?1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k?1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.

§1 数列的差分
例 考虑数列{an} ? {1, 3, 6, 10, 15, 21, ?}, 则有 {?an} ? {2, 3, 4, 5, 6, ?} 以及 {?2an} ? {1, 1, 1, 1, 1, ?}. 令 an ? An2 ? Bn ? C,

1 1 C ?0 A? B? 2 2 1 2 1 1 an ? n ? n ? n(n ? 1) 2 2 2

§1 数列的差分
例 求数列{an} ? {n2} ? {12, 22, 32, 42, 52, 62, ?} 前n项和Sn, 即n个正整数平方和. 由于

{?Sn}?{(n?1)2}?{22, 32, 42, 52, ?},
{?2Sn} ?{2n?3} ? {5, 7, 9, 11, ?}

以及
{?3Sn} ? {2, 2, 2, 2, ?}



Sn ? An3 ? Bn2 ? Cn ? D.

§1 数列的差分
由S1 ? 1, S2 ? 5, S3 ? 14, S4 ? 30得 A ? B ? C ? D ?1, 8A ?4B ? 2C ? D ?5(23 A ?22 B ?2C ? D ?5), 27A ? 9B ? 3C ? D ?14(33A ? 32B ? 3C ? D ?14), 64A ? 16B? 4C ? D ?30(43A ? 42 B? 4C ? D ?30), 解关于A, B, C和D的方程组可得 A ? 1/3, B ? 1/2, C ? 1/6, D ? 0, 则

1 3 1 2 1 1 Sn ? n ? n ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1). 3 2 6 6

§1 数列的差分
三. 差分表的性质和应用
定义1.3 数列A ? {an}在第k项处是增的, 若 ak ? ak?1(或用算子记号, ?ak ? 0). 数列A在第k项处是减的, 若ak ? ak?1(或?ak ? 0). 数列A在第k项处达到相对极大, 若ak ? ak?1而 ak ? ak?1(或用算子记号, ?ak?1 ? 0而?ak ? 0). 数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ? ak?1而 ak ? ak?1(或?ak?1 ? 0而?ak ? 0).

§1 数列的差分
数列A在第k项处上凹, 若?ak ? ?ak?1(或用二阶 差分的算子记号, ?2ak?1 ? 0). 数列A在第k项处下凹, 若?ak ? ?ak?1(或?2ak?1 ? 0). 注意: 在k?1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时 数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹. 定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若?2ak 和?2ak?1有不同的正负号.

§1 数列的差分

§1 数列的差分
例 讨论数列 {n2 ? 4n ? 3}的性质 构造an ? n2 ? 4n ? 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定 数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.
n 1 2 3

an
0 ?1 0

?an
?1 1 3

? 2 an
2 2 2

4
5 6 7

3
8 15 24

5
7 9

2
2

§1 数列的差分

§2 一阶线性差分方程 一. 差分方程的基本概念
二. 齐次线性差分方程的解析解

§2 一阶线性差分方程
一. 差分方程的基本概念
定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列 中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始 条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的 项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分 方程的阶.

an ? 2 ? 3an ? n ,
2
2

an?1 ? 5an ,

an?2 ? 3an?1 ? 4an ? 6,
an ?1 ? ? an ? , an?2 ? ? an?1 ?? an ? .

§2 一阶线性差分方程
定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变 量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或 三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程 是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这 种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用 于不包含数列变量的其它项.
线性的

an ? 2 ? 3an ? n ,
2
2

an?1 ? 5an ,

an?2 ? 3an?1 ? 4an ? 6,
非线性的 an ?1 ? ? an ? ,

an?2 ? ? an?1 ?? an ? .

§2 一阶线性差分方程
定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包 含数列变量的项. 如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的 齐次方程.
齐次的

an? 2

an?1 ? 5an , ? 3an ,

an ? 2 ? 3an ? n ,
2

an?2 ? 3an?1 ? 4an ? 0, an?2 ? 3an?1 ? 4an ? 6,

§2 一阶线性差分方程
对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当 可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解 析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差 分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的 性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋 势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的 方法.

§2 一阶线性差分方程
差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式 定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代 差分方程得到的一张数值表.

§2 一阶线性差分方程
例如, 在银行帐户上以7% 的利息积累起来的钱数是 由差分方程 an?1 ? an ? 0.07an 来确定, 其中an表示n个月 后银行中的存款数.
月 本金 利息

n
0 1 2 3 4 5 6 7 8

an
$1000.000 1070.000 1144.900 1225.043 1310.796 1402.552 1500.730 16.5.781 1718.186 $70.0000 74.9000 80.1430 85.7530 91.7557 98.1786 105.0510 112.4050 120.2730

9
10

1838.459
1967.151

128.6920
137.7010

§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an?1 ? an ? 0.07an 若把函数ak ? (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:

ak ?1 ? (1.07)k ?1 c ? (1.07)k c ? 0.07(1.07)k c,

(1.07)k ?1 c ? (1.07)k ?1 c

§2 一阶线性差分方程
定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当 代入特定值后就得到相应于不同初值的特解. ak ? (0.07)kc称为差分方程an?1 ? an ? 0.07an的 通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初 值a0相应的特解.

§2 一阶线性差分方程
数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解 时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解 的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差 分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值 开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有 第k项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项 或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态 可能是困难的.

§2 一阶线性差分方程

解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.

§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an?1 ? ran ? b的解为

b an ? cr ? , 若r ? 1. 1? r
n

an ? bn ? c, 若r ? 1.

差分方程模型
1 市场经济中的蛛网模型 2 减肥计划——节食与运动 3 差分形式的阻滞增长模型 4 按年龄分组的种群增长

1 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求

减少产量

现 象

问 题

描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定

当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

蛛网模型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系
生产者的供应关系
y

需求函数

yk ? f ( xk )

减函数

供应函数 xk ?1 ? h( yk ) 增函数

yk ? g ( xk ?1 )
f g P0 x0

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0,则yk=y0,
x

y0 0

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

P ? P ? P ?? ? P P ? P ? P ?? ? P ? 0 1 2 3 1 2 3 0
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 P2 y

蛛 网 模 型 yk ? f ( xk ) xk ?1 ? h( yk ) yk ? g ( xk ?1 ) x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? ? 设x1偏离x0 xk ? x0 , yk ? y0 xk ? x0 , yk ? y0 ? ?
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x

曲线斜率

P3

K f ? Kg
P1 x1 x

g

P4

y0 P2 0

K f ? Kg

x2 x0 x3

方程模型

在P0点附近用直线近似曲线

yk ? f ( xk )

yk ? y0 ? ?? ( xk ? x0 ) (? ? 0) xk ?1 ? x0 ? ? ( yk ? y0 ) ( ? ? 0)

xk ?1 ? h( yk )

xk ?1 ? x0 ? (??? ) k ( x1 ? x0 ) xk ?1 ? x0 ? ??? ( xk ? x0 )

?? ? 1 (? ? 1 / ? )

xk ? x0 xk ? ?

P0稳定 K f ? K g P0不稳定 K f ? K g

?? ? 1 (? ? 1 / ? )

方程模型与蛛网模型的一致

? ? Kf

1/ ? ? K g

结果解释 结果解释

考察? , ? 的含义

xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格

yk ? y0 ? ?? ( xk ? x0 )
? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk ?1 ? x0 ? ? ( yk ? y0 )

? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定

?? ? 1 经济稳定

结果解释

经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x

1. 使 ? 尽量小,如 ?=0 需求曲线变为水平

以行政手段控制价格不变
2. 使 ? 尽量小,如 ? =0

供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0 x

模型的推广 生产者管理水平提高
? 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。

xk ?1 ? h( yk )
? yk ? yk ?1 ? xk ?1 ? h? ? ? 2 ?

设供应函数为 xk ?1 ? x0 ? ? [( yk ? yk ?1 ) / 2 ? y0 ]

需求函数不变

yk ? y0 ? ?? ( xk ? x0 )

2xk ?2 ? ??xk ?1 ? ??xk ? 2(1 ? ??) x0 , k ? 1,2,?
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定,即k??, xk?x0的条件

模型的推广 2xk ?2 ? ??xk ?1 ? ??xk ? 2(1 ? ??) x0
k xk ? c1?1 ? c2 ?k (c1, c2由初始条件确定) 方程通解 2

?1, 2~特征根,即方程 2? ? ???? ?? ? 0 的根
2

平衡点稳定,即k??, xk?x0的条件:

?1, 2 ? 1
??
2

? ?? ? (?? ) ? 8?? ?1, 2 ? 4
2

?1, 2 ?

平衡点稳定条件

?? ? 2

比原来的条件

?? ? 1 放宽了

2 减肥计划——节食与运动
背 景
? 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常; BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. ? 多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持 ? 通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体 的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标

分 析

? 体重变化由体内能量守恒破坏引起 ? 饮食(吸收热量)引起体重增加

? 代谢和运动(消耗热量)引起体重减少

模型假设
1)体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克; 2)代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡; 3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动 形式有关; 4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5 千克,每周吸收热量不要小于10000千卡。

减肥计划
某甲体重100千克,目前每周吸收20000千卡热量, 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减 少,直至达到下限(10000千卡); 第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标 2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。 3)给出达到目标后维持体重的方案。

基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量

w(k ? 1) ? w(k ) ? ?c(k ? 1) ? ?w(k )

? ? 1 8000(千克 /千卡) ? ~ 代谢消耗系数(因人而异)
1)不运动情况的两阶段减肥计划 ? 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变

w ? w ? ?c ? ?w

20000 ?? ? ? 0.025 w 8000 ?100

?c

即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡

1)不运动情况的两阶段减肥计划
? 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡

w(k ) ? w(k ? 1) ? 1
c( k ? 1) ? 1

w(k ?1) ? w(k ) ? ?c(k ? 1) ? ?w(k )
w(k ) ? w(0) ? k
? ? 1 8000 ? ? 0.025

?

[ ?w( k ) ? 1]

? 1 c( k ? 1) ? w(0) ? (1 ? ?k ) ? ?

? 12000 ? 200 k ? Cm ? 10000

k ? 10

第一阶段10周, 每周减1千克,第10周末体重90千克 吸收热量为 c(k ? 1) ? 12000 ? 200 k , k ? 0,1,?9

1)不运动情况的两阶段减肥计划
? 第二阶段:每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 基本模型 w(k ? 1) ? w(k ) ? ?c(k ? 1) ? ?w(k )

w(k ? 1) ? (1 ? ? )w(k ) ? ?Cm
w(k ? n) ? (1 ? ? ) w(k ) ? ?Cm[1 ? (1 ? ? ) ? ?? (1 ? ? ) ]
n n?1

?Cm ?Cm ? (1 ? ? ) [ w(k ) ? ]? ? ?
n

1 以 ? ? 0.025 , ? ? , Cm ? 10000 代入得 8000

w(k ? n) ? 0.975 [w(k ) ? 50] ? 50
n

? 第二阶段:每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克

w(k ? n) ? 0.975 [w(k ) ? 50] ? 50
n

已知 w(k ) ? 90, 要求 w(k ? n) ? 75, n 求

75 ? 0.975 (90 ? 50) ? 50
n

lg(25 / 40) n? ? 19 lg 0.975
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
w(n) ? 40? 0.975n ? 50 (n ? 1,2,?,19) 减少至75千克。

2)第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 ? (千卡): 跑步 7.0 基本 模型 跳舞 3.0 乒乓 4.4 自行车(中速) 游泳(50米/分) 2.5 7.9

w(k ? 1) ? w(k ) ? ?c(k ? 1) ? ( ? ? ??t ) w(k )

t~每周运动 时间(小时)

取??t ? 0.003 即?t ? 24 ,

? (? 0.025) ? ? ? ? ? ? ??t (? 0.028) ?Cm ?Cm n w( k ? n ) ? (1 ? ? ?) [ w( k ) ? ]? ?? ??

75 ? 0.972n (90 ? 44.6) ? 44.6

n ? 14

运动 ?t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。

3)达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变

w(k ? 1) ? w(k ) ? ?c(k ? 1) ? ( ? ? ??t )w(k ) w ? w ? ?C ? (? ? ??t )w
C? ( ? ? ??t )w

?

? 不运动 C ? 8000? 0.025? 75 ? 15000(千卡) ? 运动(内容同前) C ? 8000? 0.028? 75 ? 16800(千卡)

3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x ? x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) x(t ) ? rx(1 ? ) N t??, x?N, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)

离散 形式

yk ~某种群第k代的数量(人口)

yk yk ?1 ? yk ? ryk (1 ? ), k ? 1,2,? N y*=N 是平衡点 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
讨论平衡点的稳定性,即k??, yk?N ?

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

yk yk ?1 ? yk ? ryk (1 ? ) (1) N
变量 代换

? ? r yk ?1 ? (r ? 1) yk ?1 ? yk ? ? (r ? 1) N ?

r xk ? yk ( r ? 1) N

xk ?1 ? bxk (1 ? xk ) (2)
一阶(非线性)差分方程
*

记 b ? r ?1
(1)的平衡点y*=N

r 1 ? 1? (2)的平衡点 x ? r ?1 b

讨论 x* 的稳定性

补充知识
一阶非线性差分方程 xk ?1 ? f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
xk ?1 ? f ( x* ) ? f ?( x* )(xk ? x* ) (2) (1)的近似线性方程

稳定性判断

x*也是(2)的平衡点 x*是(2)和(1)的稳定平衡点 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点

?( x* ) ? 1 f f ?( x* ) ? 1

xk ?1 ? bxk (1 ? xk ) 的平衡点及其稳定性
平衡点

b ? r ?1
另一平衡 点为 x=0

x ? f ( x) ? bx(1 ? x)
1? b ? 3
x* 不稳定
y

1 x ? 1? b
*

稳定性

f ?( x* ) ? b(1 ? 2 x* ) ? 2 ? b

f ?( x * ) ? 1

f ?(0) ? b ? 1
x* 稳定 不稳定

b ? 3 ( f ?( x * ) ? 1)

y?x
b/4

(1) 1 ? b ? 2

x ? 1 ? 1/ b ? 1/ 2
*

x1
0

y ? f (x)

xk (单调增) x* ?

x0 x1 x2 x* 1 / 2

1

x

xk ?1 ? bxk (1 ? xk ) 的平衡点及其稳定性
(2) 2 ? b ? 3
(3) b ? 3
y

x ? 1 ? 1/ b ? 1/ 2
*

y
b/4

y?x

y?x
b/4

y ? f (x)

y ? f (x)

0 x0

x1 1 / 2

x x2
*

1

x

0 x0

x1 1/2 x* x2 1

x

xk (振荡地) x* ?

xk (不) x ?

*

k

b=1.7

b=2.6

b=3.3

b=3.45

b=3.55

0
1 2 3 ? 91

0.2000
0.2720 0.3366 0.3796 ? 0.4118

0.2000
0.4160 0.6317 0.6049 ? 0.6154

0.2000
0.5280 0.8224 0.4820 ? 0.4794

0.2000
0.5520 0.8532 0.4322 ? 0.4327

0.2000
0.5680 0.8711 0.3987 ? 0.3548

数值计算结果
xk ?1 ? bxk (1 ? xk )
初值 x0=0.2

b <3, x? x * ? 1 ? b=3.3, x?两个 极限点
b=3.45, x?4个 极限点 b=3.55, x?8个 极限点

92
93 94 95 96

0.4118
0.4118 0.4118 0.4118 0.4118

0.6154
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154

0.8236
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236

0.8469
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469

0.8127
0.5405 0.8817 0.3703 0.8278

1 b

97 98
99 100

0.4118 0.4118
0.4118 0.4118

0.6154 0.6154
0.6154 0.6154

0.4794 0.8236
0.4794 0.8236

0.4474 0.8530
0.4327 0.8469

0.5060 0.8874
0.3548 0.8127

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论

b ? 3 .3

xk (不) x* ?

* 子序列 x2 k ? x1* , x2 k ?1 ? x2

单周期不收敛

2倍周期收敛
xk ?2 ? f ( xk ?1 ) ? f ( f ( xk )) ? f ( 2) ( xk ) (*)

xk ?1 ? f ( xk )

x ? f ( f ( x)) ? b ? bx(1 ? x)[1 ? bx(1 ? x)] f ( x) ? bx(1 ? x)
(*)的平衡点
* * x1 ? f ( x2 ),

1 * x ? 1? b

x1*, 2

b ? 1 ? b 2 ? 2b ? 3 ? 2b
* 0 ? x1* ? x* ? x2 ? 1

* * x2 ? f ( x1 )

x*不稳定,研究x1*, x2*的稳定性

b ? 1 ? b 2 ? 2b ? 3 的稳定性 x1*, 2 ? 2b * ( 2) 2 ( f ( 2) ( x))? x? x* ? ( f ( 2) ( x))? x? x* ? f ?( x1* ) f ?( x2 ) [ f ( x)]? ? [ f ?( x)]

倍周期收敛

1

2

f ?( x) ? b(1 ? 2 x)
(f
( 2) * ( x1, 2 ))? ? 1

* * ( f ( 2) ( x))? x ? x* , x* ? b 2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
1 2

b=3.4
y=f(2)(x)

b ? 1 ? 6 ? 3.449 ?

x2 k ? x , x2 k ?1 ? x
* 1

* 2

y= x

x1*
x0

x*

x2*

倍周期收敛的进一步讨论
b ? 3.45 ? ( f
( 2) * ( x1, 2 ))' ? 1

x1*, x2* (及x*)不稳定

出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究

xk ?4 ? f

( 4)

( xk )

3.449 ? b ? 3.544 时有4个稳定平衡点

4倍周期收敛

2n倍周期收敛, n=1,2,…

bn~ 2n倍周期收敛的上界 n??, bn?3.57 混沌现象

b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … b>3.57, 不存在任何收敛子序列

xk ?1 ? bxk (1 ? xk ) 的收敛、分岔及混沌现象

b

7.4

按年龄分组的种群增长

? 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同

? 以雌性个体数量为对象
? 建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律

假设与建模
? 种群按年龄大小等分为n个年龄组,记i=1,2,… , n

? 时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2,…
? 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi

? 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di

假设 与 建模
?b1 ?s ? 1 ? L?? ? ? ? ?0 ? b2

xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量

x1 (k ? 1) ? ? bi xi (k ) (设至少1个bi>0)
i ?1

n

xi?1 (k ? 1) ? si xi (k ), i ? 1,2,?, n ?1
? bn?1

bn ? x(k ) ? [ x (k ), x (k ),? x (k )]T 1 2 n ? 0 0 0? ~按年龄组的分布向量 ? ? x(k ? 1) ? Lx(k ) ? s2 0 ?? k ? x(k ) ? L x(0) ? ? sn?1 0 ? 预测任意时段种群 ? 按年龄组的分布 ~Leslie矩阵(L矩阵)

稳定状态分析的数学知识 ? L矩阵存在正单特征根?1, ?k ? ?1 , k ? 2,3,? n
? s1 s1 s2 s1 s2 ? sn?1 ? 特征向量 x ? ?1, , 2 , ?, ? n ?1 ?1 ? ?1 ?1 ? ? 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 ?k ? ?1 , k ? 2,3,?, n
* T

k ?1 解 x(k ) ? Lk x(0) L对角化 L ? P[diag(?1 ,??n )]P?1 k ??

且 lim

x(k )

? cx* , c是由bi, si, x(0)决定的常数



k Lk ? P[diag(?1 ,??k )]P?1 n

P的第1列是x*

lim
k ??

x( k )
k ?1

? Pdiag(1,0,?0) P ?1 x(0) ? cx*

稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布

lim k ??

x(k )
k ?1

? cx*

1) x(k ) ? c? x
k

*

~ 种群按年龄组的分布趋向稳定, x*称稳定分布, 与初始分布无关。
~ 各年龄组种群数量按同一 倍数增减, ?称固有增长率

2) x(k ? 1) ? ?x(k ) xi (k ? 1) ? ?xi (k )
与基本模型

x(k ? 1) ? Lx(k ) 比较
T

3)?=1时 x(k ? 1) ? x(k ) ? cx*

x ? ?1, s1 , s1 s2 ,? s1 s2 ? sn ?1 ?
*

~ 各年龄组种群 数量不变

稳态分析
3)?=1时 Lx ? x
* *

x ? ? , s1, s1s2 ,?s1s2 ?sn?1 ? 1
*

T

?b1 ?s ? 1 ? L?? ? ? ? ?0 ?

b2 0

? ?

bn ?1 0 0

s2 ?

sn ?1
k *

bn ? 0? ? ? ? ?? ? ? 0? ?
*

b1 ? b2 s1 ? ?? bn s1s2 ?sn?1 ? 1
~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1
T

4) x(k ) ? c? x , x ? [1, s1 , s1 s2 ,?, sn?1 ]
xi ?1 (k ) ? si xi (k ), i ? 1,2,?, n ?1

~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 (与si 的定义 xi ?1 (k ? 1) ? si xi (k ) 比较)


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