当前位置:首页 >> 数学 >>

【高2数学】15-直线的方程、倾斜角和斜率


直线的方程、倾斜角和斜率
基础概念
一、基础知识概述 本周首先学习了直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程以及一般式方程,主 要掌握各种直线表达形式之间的区别与联系.其次学习了直线的倾斜角与斜率,掌握倾斜角 与斜率之间的互化. 二、重难点知识归纳 1、点方向式方程: 若点 P( x0 , y0 ) 为直线 l 上一点, d ? (u, v) (u ? 0 , v ? 0) 为直线 l 的一个方向向量,则 方程

x ? x0 y ? y0 ? 叫做直线 l 的点方向式方程. u v

注意: (1)当 u ? 0 时,直线 l 方程为 x ? x0 ; (2)当 v ? 0 时,直线 l 方程为 y ? y0 . 2、点法向式方程: 若点 P( x0 , y0 ) 为直线 l 上一点, n ? (a , b) 为直线 l 的一个法向量,则方程

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 叫做直线 l 的点法向式方程.
注意:法向量并不唯一,只要与直线 l 垂直的向量都称为直线 l 的法向量. 3、直线的倾斜角和斜率: (1)倾斜角:设直线 l 与 x 轴相交于点 M ,将 x 轴绕点 M 按逆时针方向旋转至与直线 l 重 合时所成的最小正角 ? 叫做直线 l 的倾斜角.倾斜角的范围: [0 , ? ) . (2)斜率:当直线倾斜角 ? ? 当直线倾斜角 ? ? (3)点斜式方程: 若点 P( x0 , y0 ) 为直线 l 上一点, k 为直线的斜率,则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 叫做直线 l 的点斜式方程. 注意:点斜式不能表示倾斜角为 (4)一般式方程: 方程 ax ? by ? c ? 0 ( a 、 b 不同时为零)叫做直线的一般式方程.
1

?
2

时,把 ? 的正切值 k ? tan ? 叫做直线 l 的斜率.

?
2

时,直线的斜率不存在.

? 的直线方程. 2

直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程都可化为一般式方程.

典型例题
例1、 已知过点 P(? 3 , 1) 及点 Q(0 , b) 的直线的倾斜角介于 120 ? 与 150 ? 之间, 求 b 的范围. 解析: 可得 PQ ? ( 3 , b ?1) ,故直线 PQ 的斜率 k ? ∵ 直线的倾斜角 ? 介于 120 ? 与 150 ? 之间, ∴? 3 ? k ? ? 点拨: 由倾斜角的范围结合正切函数的单调性可求出斜率的范围. 例2、已知向量 a ? (1 , 2) , b ? ( x , 1) ,且 a ? 2b 与 2a ? b 平行, (1)求向量 b ; (2)已知 点 A(3 , ? 1) ,向量 AB 与 a ? 2b 垂直,求直线 AB 的一般式方程. 解析: (1)因为向量 a ? (1 , 2) , b ? ( x , 1) ),

b ?1 . 3

3 b ?1 3 ,∴ ? 3 ? ,解得 ? 2 ? b ? 0 . ?? 3 3 3

a ? 2b ? (1 ? 2x , 4) , 2a ? b ? (2 ? x , 3) .
因为 a ? 2b 与 2a ? b 平行,所以 a ? 2b ? k (2a ? b) . 即?

?1 ? 2 x ? k (2 ? x) 1 1 ,所以 x ? ,故 b ? ( , 1) . 2 2 ?4 ? 3k

(2)已知点 A(3 , ? 1) , a ? 2b ? (2 , 4) ,向量 AB 与 a ? 2b 垂直, 即直线 AB 的法向量为 (2 , 4) , 所以直线 AB 的点法向式为 2( x ? 3) ? 4( y ? 1) ? 0 , 其一般式方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 例3、直线 l 经过 P(2 , 3) ,且在两坐标轴上截距相等,求该直线方程. 解析: 当直线 l 斜率不存在时,方程为 x ? 2 ,显然不符合题意. 当直线 l 斜率存在时,设斜率为 k ,则直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,
2

令 x ? 0 ,得 y ? 3 ? 2k ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ? 由题意,得 3 ? 2k ? 2 ?

3 (k ? 0) . k

3 3 2 ,即 2k ? k ? 3 ? 0 .解得 k ? ?1 ,或 k ? . 2 k 3 根据点斜式,可得所求方程为 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,或 y ? 3 ? ( x ? 2) , 2
即 x ? y ? 5 ? 0 ,或 3x ? 2 y ? 0 . 点拨: 题目种涉及截距问题,注意直线过原点与不过原点两种情况,若设成点斜式,注意斜率 不存在的情况. 例4、求证 m 不论取什么实数,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 总通过某一定点. 分析一: 由于 m 为任意实数,直线方程为适合某一条件的直线系,因此任取 m 的两个值,可得其 中的两条直线.如果直线系中所有直线都过某一定点,则此定点即为上述两直线的交点. 证法一: 取 m ? 1 ,直线方程为 y ? ?4 ,取 m ?

1 ,直线方程为 x ? 9 . 2

很显然两直线交点为 P(9 , ? 4) ,将点 P 的坐标代入原方程, 左端 ? (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? (m ? 1) ? 9 ? (2m ? 1) ? 4 ? m ? 5 ? 右端, 所以不论 m 取什么实数,点 P(9 , ? 4) 总在直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 上. 分析二:

m 为任意实数,方程 (m ?1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 ,其实是对 m 而言的恒等式.根据恒
等条件,由 m 的一次项系数与常数项均等于零,就可得出总通过的定点坐标. 证法二: 把原方程整理得 ( x ? 2 y ? 1)m ? ( x ? y ? 5) ? 0 , 此式对于 m 为任意实数都成立的充要条件是 ?

?x ? 9 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ,解得 ? . ? y ? ?4 ?x ? y ? 5 ? 0

∴m 不论取什么实数,直线均过定点 (9 , ? 4) . 点拨: 上面两种证法各有特色, 思路不同, 结论相同, 此方程可以看做是过两直线 x ? 2 y ? 1 ? 0

3

和 x ? y ? 5 ? 0 的交点的直线系方程,另外 y ? kx ? 2 可看做是过点 (0 , 2) 的直线系方程,

y ? 2 x ? b 可看做是斜率为2的直线系方程;用直线系求直线方程有时是很方便的.
例5、已知直线 l 过点 P(3 , 2) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,求 ?AOB 面 积最小时直线 l 的方程. 分析: 因为直线过定点 P(3 , 2) ,所以可设其斜率为 k ,从而由直线方程可求得在 x 轴、 y 轴 上的截距,再利用三角形面积最小的条件求 k . 解析: 设直线 l 的斜率为 k ,根据点斜式其方程可写为 y ? 2 ? k ( x ? 3) . 当 x ? 0 时, y ? ?3k ? 2 ,当 y ? 0 时, x ? ? ∴ S ?AOB

2 ? 3. k 1 2 1 4 ? (?3k ? 2)( ? ? 3) ? (12 ? 9k ? ) . 2 k 2 k

∵ 所求直线和 x 轴与 y 轴的正半轴分别相交,故 k ? 0 ,

4 4 ? 0 .又∵ ( ?9k )( ? ) ? 36 , k k 4 4 2 2 ∴ 当且仅当 ? 9k ? ? ,即 k ? ,也就是 k ? ? 时, k 9 3 4 ? 9k ? 有最小值,于是 S ?AOB 有最小值. ?k 2 因此所求直线方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 3) ,即 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 3
∴? 9k ? 0 , ?

课外拓展
例6、 A 、 B 两个厂距一条河分别为 400 m 和 100 m , A 、 B 两厂之间距离 500 m 把小河看 作一条直线,今在小河边上建一座提水站,供 A 、 B 两厂用水,要使提水站到 A 、 B 两厂 铺设的水管长度最短,问提水站应建在什么地方? 分析: 这是一个对称问题,点 A 关于河的对称点 A' 与点 B 的连线交小河于点 P ,则有

| PA' | ? | PB |?| PA | ? | PB | ,此点即为所求.
解析: 如图,以小河所在直线为 x 轴,过点 A 的垂线为 y 轴,建立直角坐标系, 则点 A(0 , 400) ,点 B(a , 100) ,过 B 作 BC ? AO 于点 C .
4

在 Rt ?ABC 中, AB ? 500 , AC ? 400 ? 100 ? 300 ,由勾股定理得 BC ? 400 . ∴ B(400, 100) ,点 A(0 , 400) 关于 x 轴的对称点 A' (0 , ? 400) , 可求得直线 A' B 的方程为 y ?

5 x ? 400 ,令 y ? 0 ,得 x ? 320 ,即点 P(320, 0) . 4

故提水站建在正向距离 O 点 320 m 处时,到 A 、 B 两厂的水管长度之和最短. 例7、 (全国卷 II)已知点 A(1 , 2) 、 B(3 , 1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 解析: 可求得 AB ? (2 , ?1) ,则可设 AB 的垂直平分线方程为 2 x ? y ? b ? 0 , 又可求得 AB 中点为 ( 2 , ) ,则有 2 ? 2 ? 故所求直线方程为 2 x ? y ? 答案:B 例8、 (上海卷) 若直线 l 的倾斜角为 ? ? arctan 解析: ∵ k ? tan( ? ? arctan ∴ l 的方程为 y ? ? B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 )

3 2

5 3 ? b ? 0 ,解得 b ? ? . 2 2

5 ? 0 ,即 4 x ? 2 y ? 5 . 2 1 , 且过点 (1 , 0) , 则直线 l 的方程为_________. 2

1 1 )?? . 2 2

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

基础练习
一、选择题 1、若直线过点 A(1 , 2) , B(4 , 2 ? 3) ,则此直线的倾斜角是( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ? )

5

2、如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,则系数 a ? ( A. ? 3 B. ? 6 C. ?



3 2

D.

2 3


3、下列各组点中,能三点共线的是( A. (1 , 4) , (?1 , 2) , (3 , 5) C. (1 , 0) , (0 , ? ) , (7 , 2)

B. (?2 , ? 5) , (7 , 6) , (?5 , 3) D. (0 , 0) , (2 , 4) , (?1 , 3)

1 3

4、下列命题: (1)直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan ? ; (2)若直线的斜率为 tan ? , 则此直线的倾斜角为 ? ; (3)任何一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率; (4) 直线的倾斜角为 ? ,则 sin ? ? 0 ; (5)直线的斜率为 0 ,则直线的倾斜角为 0 或 ? .其中正 确的有( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个 )

5、直线 l 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? A.

4 3

B.

3 4

3 ,则直线 l 的斜率为( 5 3 3 4 4 C. 或 ? D. 或 ? 4 3 4 3

6、直线 mx ? ny ? 1 (mn ? 0) 与两坐标轴围成的三角形的面积是(



A.

1 mn 2

B.

1 | mn | 2

C.

1 2 mn

D.

1 2 | m n|


7、直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 经过一定点,则该点的坐标是( A. (?2 , 1) B. ( 2 , 1) C. (1 , ? 2) D. (1 , 2) )

8、直线 2 x ? y ? m ? 0 和 x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

D.不能确定 )

9、过点 (5 , 2) ,且在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的2倍的直线方程是( A. 2 x ? y ? 12 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0

B(?1 , 4) 、 C (5 , 2) , 10、已知 A(1 , 2) 、 则 ΔABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为 (
A. x ? 5 y ? 15 ? 0 二、填空题 11、过点 P(?1 , ? 3) 的直线 l 与 y 轴正半轴没有公共点,则直线 l 倾斜角的范围是
6



B. x ? 3

C. x ? y ? 1 ? 0

D. y ? 3 ? 0

__________. 12、如果 AC ? 0 ,且 BC ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过第__________象限. 13、将直线 l : x ? y ? 3 ?1 ? 0 绕其上一点 (1 , 3 ) 逆时针旋转 75 ? 所得直线 l ' 的方程是 __________. 14、实数 x 、 y 满足 3x ? 2 y ? 5 ? 0 (1 ? x ? 3) ,则 三、解答题 15、直线 l 过点 M (0 , 2) , N (? 3 , 3m2 ? 12m ? 11 ) ,求 l 的倾斜角 ? 的范围. 16、 已知点 A(m , 2) 、B(?m , 2m ? 1) ,m ? 0 , 过 A 、B 两点的直线的倾斜角 ? ? ( 试求 m 的取值范围. 17、 已知 ?ABC 的顶点是 A(?1 , ? 1) ,B(3 , 1) ,C (1 , 6) . 直线 l 平行于 AB , 且分别交 AC 、

y 的最大、最小值分别是__________. x

? ?

, ), 4 3

BC 于点 E 、 F , ?CEF 的面积是 ?CAB 面积的

1 .求直线 l 的方程. 4

7


赞助商链接
相关文章:
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题_高一数学_数学...2.关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是( ) ...【解析】因为 k ? ? 3 ,所以倾斜角为 120°....
高中数学必修2同步训练试卷19 直线的倾斜角与斜率,直线...
高中数学必修2同步训练试卷19 直线的倾斜角与斜率,直线的方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。19 期 直线的倾斜角与斜率,直线的方程 题版 A卷 (时间:45 ...
2013届高三数学(文)一轮复习:8.1 直线的倾斜角与斜率、...
2013届高三数学(文)一轮复习:8.1 直线的倾斜角与斜率直线方程(广东专用版)...【解析】 设直线的倾斜角为 α,则 tan α=-15-9 =- 3, 6 3+2 3 又...
高三复习第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程
高三复习第一讲直线的倾斜角与斜率直线方程_数学_...斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. 2 种必会...【课前自主导学】01 1.直线的倾斜角与斜率 (1)...
高中数学必修2直线的倾斜角与斜率测试二
高中数学必修2直线的倾斜角与斜率测试_数学_高中教育_教育专区。广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学必修2直线方程单元资料直线...
2直线方程的概念和斜率
2直线方程的概念和斜率_数学_高中教育_教育专区。课题 2.2.1 直线的倾斜角和斜率知识与技能: ① 了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念 ② 理解直线的...
G2直线的倾斜角与斜率(附答案)【ST合】
G2直线的倾斜角与斜率(附答案)【ST合】_数学_...? arctan( ? ) 且过点(1,0) ,则直线的方程...2 三、 解答题 15.已知一个等腰三角形的顶点在...
高二数学直线的倾斜角与斜率
高二数学直线的倾斜角与斜率 - 《直线的倾斜角与斜率》 教学设计 《直线的倾斜角与斜率》的教学设计 一.教学目标: (1)了解直线方程的概念. (2)正确理解直线...
直线的倾斜角和斜率及直线方程试题及答案
直线的倾斜角和斜率直线方程试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。直线...(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 (2)直线的倾斜角的取值范围是...
...直线与圆的方程 直线的倾斜角和斜率2(大纲版))
广西陆川县中学高二上学期数学同步作业:第7章 直线与圆的方程 直线的倾斜角和斜率2(大纲版))_高中教育_教育专区。广西陆川县中学高二上学期数学同步作业:第7章 ...
更多相关标签: