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【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题


2013 年河北省衡水中学高考数学二模试卷 (理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1. 分)设 (5 A. B. ,B={x|x>a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( C.a≤1 D.a<1 )

考点:集合关系中的参数取值问

题;集合的包含关系判断及应用. 专题:阅读型. 分析: 根据题意 A 集合中的元素是在区间( ,5)内的整数,再利用 A?B,求出 a 符合的条件即 可. 解答: 解:∵A={x| <x<5,x∈Z},∴A={1,2,3,4}

∵A?B,∴a<1 故选 D 点评:本题考查集合中参数的取值问题.正确理解集合语言是解决此类题的关键. 2. 分) (5 (2011?福建)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现 用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二 年级的学生中应抽取的人数为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 考点:分层抽样方法. 专题:计算题. 分析:根据高一年级的总人数和抽取的人数,做出每个个体被抽到的概率,利用这个概率乘以高二 的学生数,得到高二要抽取的人数. 解答:解:∵高一年级有 30 名, 在高一年级的学生中抽取了 6 名, ∴每个个体被抽到的概率是 ∵高二年级有 40 名, ∴要抽取 40× =8, 故选 B. 点评:本题考查分层抽样,在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依据,本题 是一个基础题. =

3. 分) (5 (2011?密山市模拟)已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 B.81 C.128 D.243 考点:等比数列. 分析:由 a1+a2=3,a2+a3=6 的关系求得 d,进而求得 a1,再由等比数列通项公式求解. 解答:解:由 a2+a3=q(a1+a2)=3q=6,∴q=2 ∴a1(1+q)=3,∴a1=1,∴a7=2 =64 故选 A 点评:本题主要考查了等比数列的通项及整体运算.
6



4. 分)已知向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则向量 , 夹角的余弦值为( (5 A. B. ﹣ C. D. ﹣



考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: 将| + |=1 两边平方,结合已知条件可算出 ? =﹣ ,再用两个向量的夹角公式即可算出向 量 , 夹角的余弦值. 解答: 解:∵| + |=1, ∴( + ) =
2 2

+2 ? +
2

2

=1

∵| |=| |=1,得

=

2

=1

∴代入上式得:2 ? =﹣1, ? =﹣

因此,向量 , 夹角的余弦为 cosθ= 故选:B 点评:

=﹣

本题给出向量 、 满足的条件,求它们夹角的余弦之值,着重考查了平面向量数量积的公式 及其运算性质等知识,属于基础题.

5. 分)已知点(2,3)在双曲线 C: (5 心率为( A.2 ) B. C.

上,C 的焦距为 4,则它的离

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:通过点在双曲线上,以及双曲线的焦距,列出方程组,求出 a,b,然后求出双曲线的离心率. 解答: 解:点(2,3)在双曲线 C: 上,C 的焦距为 4,

所以

,解得,a=1,b=



又 c=2,所以 e= =2. 故选 A. 点评:本题考查双曲线的简单性质的应用,注意椭圆与双曲线中 a、b、c 的区别,考查计算能力. 6. 分) (5 (2007?重庆)若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( A.10 B.20 C.30 D.120
n



考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:根据二项式的展开式的二项式系数是 64,写出二项式系数的表示式,得到次数 n 的值,写出 通项式,当 x 的指数是 0 时,得到结果. 1 n n 解答:解:∵Cn°+Cn +…+Cn =2 =64, ∴n=6. Tr+1=C6 x x =C6 x 令 6﹣2r=0,∴r=3,
3 r 6﹣r
﹣r

r 6﹣2r



常数项:T4=C6 =20, 故选 B. 点评:本题是一个典型的二项式问题,主要考查二项式的性质,注意二项式系数和项的系数之间的 关系,这是容易出错的地方,本题考查展开式的通项式,这是解题的关键. 7. 分)设集合 A={0,1,2,3},如果方程 x ﹣mx﹣n=0(m,n∈A)至少有一个根 x0∈A,就称 (5 该方程为合格方程,则合格方程的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:让 m 分别取 0,1,2,3,求出对应的 n 值,则不同的(m,n)的个数即为所求. 解答:解:若方程为合格方程时,由于 m,n∈A={0,1,2,3},故对 m 的取值进行分类讨论: 2 2 当 m=0 时,方程 x ﹣n=0,由于方程 x ﹣n=0 至少有一个根 x0∈A,故此时 n=0,1; 同样地,当 m=1 时,n=0,2; 当 m=2 时,n=0,3; 当 m=3 时,n=0.
2

故合格方程的个数为 7 个, 故选 A. 点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,排列、组合以及简单的计数原理,体现了化归 与转化的数学思想,属于中档题. 8. 分)如图,ABCD 是边长为 l 的正方形,O 为 AD 的中点,抛物线的顶点为 O,且通过点 C, (5 则阴影部分的面积为( )

A.

B.

C.

D.

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:以抛物线的顶点为原点,以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,求出抛物线的方 程,则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与 x=0,x=1,及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积. 解答:解:建立如图所示的坐标系,

因为正方形 ABCD 的边长为 1,所以 C(1, ) , 设抛物线方程为 y=ax (a>0) ,则 所以,抛物线方程为 图中阴影部分的面积为: , = = .
2



故选 D. 点评:本题考差了定积分,考查了定积分的简单应用,解答此题的关键是,正确建立平面直角坐标 系,求出抛物线的方程,找出被积函数的原函数,从而运用微积分基本定理求解,此题是中 档题.

9. 分) (5 (2010?辽宁)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ 重合,则 ω 的最小值是( ) A. B.

)+2 的图象向右平移

个单位后与原图象

C.

D.3

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题;待定系数法. 分析:求出图象平移后的函数表达式,与原函数对应,求出 ω 的最小值. 解答: 解:将 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后为 = 所以有 =2kπ,即 , ,

又因为 ω>0,所以 k≥1, 故 ≥ ,

故选 C 点评:本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对知识灵活掌握的 程度.

10. 分) (5 (2010?马鞍山模拟)点 P 到点 相等,如果这样的点恰好只有一个,那么 a 的值是( A. B. C. )

及到直线

的距离都

D.

考点:点到直线的距离公式;抛物线的应用. 专题:压轴题. 分析: 到 A 和到直线 的距离相等, P 点轨迹是抛物线方程, 则 再注意 B 点, 用上 P 到 的距离和点 P 到 B 的距离相等:再注意这样的点恰好只有一个,因而有△ =0,从而可求 a 的 值. 解答: 解:法一 由题意有点 P 在抛物线 y =2x 上,设 P( (y﹣2) ,化简得( ﹣a)y ﹣4y+a + 当 a≠ 时,△ =0,有 a ﹣
3 2 2 2 2

,y) ,则有(

+ ) =(

2

﹣a) +

2

=0,当 a= 时,符合题意;
2

+
2

+

=0, (a+ ) ﹣a+ (a

)=0,a=﹣ .故选 D.

法二 由题意有点 P 在抛物线 y =2x 上,B 在直线 y=2 上,当 a=﹣ 时,B 为直线 y=2 与准线

的交点,符合题意;当 a= 时,B 为直线 y=2 与抛物线通径的交点,也符合题意,故选 D. 故选 D. 点评:本题主要考查抛物线的概念、性质,以及数形结合的思想.法一代数法,法二是几何法. 11. 分) (5 (2011?大连二模)从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60°角,且分别与球 O 相 切于 A,B,C 三点,若球的体积为 A. B. ,则 OP 两点之间的距离为( C. ) D.2

考点:点、线、面间的距离计算. 专题:计算题. 分析: 连接 OP 交平面 ABC 于 O',由题意可得:O'A=

=

.由 AO'⊥PO,OA⊥PA 可得

,根据球的体积可得半径 OA=1,进而求出答案. 解答:解:连接 OP 交平面 ABC 于 O', 由题意可得:△ ABC 和△ PAB 为正三角形, 所以 O'A= 所以 所以 又因为球的体积为 , = , . .因为 AO'⊥PO,OA⊥PA,

所以半径 OA=1,所以 OP= . 故选 B. 点评:本题考查空间中两点之间的距离,解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征,考查 计算能力.

12. 分) (5 (2012?开封一模)已知以 T=4 为周期的函数 其中 m>0,若方程 3f(x)=x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( A. B. C. ( , ) ( , ) ( , ) ) D.



( , )

考点:根的存在性及根的个数判断;函数的周期性. 专题:计算题;压轴题. 分析:根据对函数的解析式进行变形后发现当 x∈(﹣1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为 半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有 5 个实数解,则需直线 y= 与第二个椭圆相交,而与

第三个椭圆不公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据△ 可求得 m 的范围. 解答: 解:∵当 x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程 x +
2

=1(y≥0) ,

∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象, 由图易知直线 y= 与第二个椭圆(x﹣4) +
2

=1(y≥0)相交,

而与第三个半椭圆(x﹣8) +

2

=1 (y≥0)无公共点时,方程恰有 5 个实数解,

将 y= 代入(x﹣4) +
2

2

=1 (y≥0)得, (9m +1)x ﹣72m x+135m =0,令 t=9m (t>0) ,
2 2

2

2

2

2

2

则(t+1)x ﹣8tx+15t=0,由△ =(8t) ﹣4×15t (t+1)>0,得 t>15,由 9m >15,且 m> 0得 m ,
2

同样由 y= 与第三个椭圆(x﹣8) +

=1 (y≥0)由△ <0 可计算得 m<



综上可知 m∈(





故选 B 点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,及函数的周期性,其中根据方程根与函数 零点的关系,结合函数解析式进行分析是解答本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 分)已知 cos2θ= ,则 sin θ+cos θ= (5
4 4



考点:二倍角的余弦. 专题:计算题. 分析:把 sin4θ+cos4θ 配方为完全平方式, 然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数 公式化简后,把 cos2θ 的值代入即可求出值. 解答: 解: = 故答案为 . = ;

点评:本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值,是一 道基础题.

14. 分)在约束条件 (5

下,过点(1,1)目标函数 z 取得最大值 10,则目标函数 z= x+9y

(写出一个适合题意的目标函数即可) . 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 画出满足约束条件 的可行域,设出目标函数的解析式,结合目标函数 z 在点(1,1)

取得最大值 10,结合直线斜截式方程的几何意义,可构造出满足条件 a,b 的关系式,取一 组满足条件的 a,b 的值,即可得到答案. 解答: 解:满足约束条件 的可行域如下图所示:

设目标函数为 z=ax+by 则 y= x+

若目标函数 z 在点(1,1)取得最大值 10,



令 a=1,则 b=9 满足条件 故答案为:x+9y(主观题,满足条件即可) 点评:本题考查的知识点是简单线性规划,其中根据目标函数 z 在点(1,1)取得最大值 10,结合 直线斜截式方程的几何意义,构造出满足条件 a,b 的关系式,是解答的关键. 15. 分) (5 四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示, 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上, E、 F 分别是棱 AB、CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长为 ,则该球表面积为 12π .

考点:球内接多面体;由三视图还原实物图;球的体积和表面积. 专题:计算题;压轴题. 分析:将三视图还原为直观图,得四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处,且与 该正方体内接于同一个球.由此结合题意,可得正文体的棱长为 2,算出外接球半径 R,再结 合球的表面积公式,即可得到该球表面积. 解答:解:将三视图还原为直观图如右图,可得四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的 顶点处, 且与该正方体内接于同一个球.且该正方体的棱长为 a 设外接球的球心为 O,则 O 也是正方体的中心,设 EF 中点为 G,连接 OG,OA,AG 根据题意,直线 EF 被球面所截得的线段长为 ,即正方体面对角线长也是 可得 AG= = a,所以正方体棱长 a=2

∴Rt△ OGA 中,OG= a=1,AO= 即外接球半径 R= 故答案为:12π ,得外接球表面积为 4πR =12π
2

点评:本题将三视图还原为直观图,并且求外接球的表面积,着重考查了正方体的性质、三视图和 球内接多面体等知识,属于基础题. 16. 分)已知等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn,若 a1>1,a4>3,S3≤9, (5 n n+1 设 bn=2 an,则 b1+b2+…+bn 的结果为 4+n?2 . 考点:数列的求和. 专题:计算题;压轴题. 分析: 由已知可得 a1+3d>3,3a2≤9?d> ,a1+d≤3?a1≤3﹣d<3﹣ = =2 结合等差数首项 a1 及公 差 d 都是整数可得 a1=2 则 <d≤1?d=1, 从而可得 an=2+1× (n﹣1) =n+1, n=2 an=2 (n+1) b ,
n n

利用乘公比错位相减的方法求和即可 解答:解:因为 a1>1,a4>3,S3≤9, 所以 a1+3d>3,3a2≤9?d> ,a1+d≤3?a1≤3﹣d<3﹣ = =2 . ∵等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数 ∴a1=2 则 <d≤1?d=1. ∴an=2+1×(n﹣1)=n+1. n n ∴bn=2 an=2 (n+1) 令 Sn=b1+b2+…+bn 1 2 n﹣1 n =2?2 +3?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ① 2 3 n n+1 ∴2Sn=2?2 +3?2 +…+n?2 +(n+1)2 ② ①﹣②得,﹣Sn=2?2 +2 +…+2 ﹣(n+1)?2
n+1 1 2 n n+1

=

=﹣n?2 n+1 ∴Sn=n?2 n+1 故答案为:n?2 点评:等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综合一直是数列部分的考查重点之一,而数列 的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点,要注意方法的把握. 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17. (10 分) (2013?南开区二模)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名 学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频 率分布直方图如下: 分组 频数 频率 10 0.25 [10,15) 24 n [15,20) m p [20,25) 2 0.05 [25,30) M 1 合计 (Ⅰ)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人 数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区 服务次数在区间[25,30)内的概率.

考点:随机抽样和样本估计总体的实际应用;频率分布直方图. 专题:计算题;图表型. 分析:(I)根据频率,频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量,写出算式,求出 式子中的字母的值. (II)根据该校高三学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0.25,估计该校高三学生参加 社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (III)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人,设出在区间[20,25) 内的人为 a1,a2,a3,a4,在区间[25,30)内的人为 b1,b2,列举出所有事件和满足条件的 事件,得到概率. 解答: 解: (Ⅰ)由分组[10,15)内的频数是 10,频率是 0.25 知, ∴M=40. ∵频数之和为 40, ∴10+24+m+2=40,m=4. . ,

∵a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商, ∴ (Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0.25, ∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人, 设在区间[20,25)内的人为 a1,a2,a3,a4,在区间[25,30)内的人为 b1,b2. 则任选 2 人共有(a1,a2)(a1,a3)(a1,a4)(a1,b1)(a1,b2)(a2,a3)(a2,a4) , , , , , , , (a2,b1)(a2,b2)(a3,a4)(a3,b1)(a3,b2)(a4,b1)(a4,b2)(b1,b2)15 种 , , , , , , , 情况, 而两人都在[25,30)内只能是(b1,b2)一种, ∴所求概率为 .

点评:本题考查频率分步直方图,考查用样本估计总体,考查等可能事件的概率,考查频率,频数 和样本容量之间的关系,本题是一个基础题.

18. (12 分)已知 α 为锐角,且 {an}的首项 a1=1,an+1=f(an) . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求证:数列{an+1}为等比数列; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列与函数的综合. 专题:综合题;转化思想. 分析: (1)由

,函数

,数列

,将

代入可求解,由 α 为锐角,得 α=

,从

而计算得

进而求得函数表达式.

(2)由 an+1=2an+1,变形得 an+1+1=2(an+1) ,由等比数列的定义可知数列{an+1}是以 2 为首 项,2 为公比的等比数列. n (3)由(2)得 an=2 ﹣1,转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式,可计算得 . 解答: 解: (1)∵ 又∵α 为锐角 ∴α= ∴ ∴f(x)=2x+1 (2)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1) ∵a1=1 ∴数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. n n (3)由上步可得 an+1=2 ,∴an=2 ﹣1 ∴ 点评:本题主要考查数列与三角函数的综合运用,主要涉及了倍角公式,求函数解析式,证明数列 以及前 n 项和. 19. (12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中 AD∥BC,PD⊥平面 ABCD,AD=1, ,BC=4. (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; (Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, ,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值.

考 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 点: 专 空间角;空间向量及应用. 题:

分 如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF∥AB,交 BC 于 F,分别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立 析:间直角坐标系. (1)只要证明 ,即可得到 BD⊥PC; ,求出 ,求出向量 与 的夹角,即可得到线面角;

(2)由(1)即可得到平面 PDC 的法向量为

(3)先求出平面 PAB 的法向量 ,若 DE∥平面 PAB,则

,即可得出 λ.

解 解:如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF∥AB,交 BC 于 F,分 答:别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. (1)证明:设 PD=a,得 B 则 ∵ ∴BD⊥PC. (2)由(1)知 由条件知 A(1,0,0) ,B(1, 设 AB 与面 PDC 所成角大小为 θ, 则 . ,0) , . . , ,P(0,0,a) ,C , ,

∵0°<θ<90°,∴θ=60°, 即直线 AB 与平面 PDC 所成角为 60°. (3)由(2)知 C(﹣3, ,0) ,记 P(0,0,a) , 则 而 ,∴ = 设 为平面 PAB 的法向量,则 ,即 , , = ,即 . , ,

取 z=1,得 x=a,进而得 由 DE∥平面 PAB,得

, ,∴﹣3aλ+a﹣aλ=0,而 a≠0,∴ .

点 熟练掌握通过建立空间直角坐标系.利用向量垂直与数量积的关系、平面 PDC 的法向量为 评: 线面角、DE∥平面 PAB? 等是解题的关键.

与斜线

的夹角得

20. 12 分) ( 已知椭圆 的焦点 F 重合. ①求椭圆 C1 的方程;

(a>b>0) 经过点 M (1, ) 且其右焦点与抛物线 ,

②直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点,与抛物线 C2 相交于 C、D 两点.求

的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ①首先求出抛物线的焦点坐标,则 c 可求,结合椭圆的隐含条件及点 M(1, )在椭圆上, 进一步列式可求椭圆方程; ②分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况分析,当斜率不存在时,可以直接求出 A,B,C, D 四点的坐标,则 的值可求,当斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程及抛物线方程 用直线的斜率表示,然后利用基本不等式求其最值.

联立后,运用弦长公式把 解答:解:如图,

①解法 1:由抛物线方程为 y =4x,得其焦点 F(1,0) , ∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合,∴c=1. 2 2 2 故 a ﹣b =c =1 ① 又椭圆 C1 经过点
2

2

,∴
4 2


2

由①②消去 a 并整理,得,4b ﹣9b ﹣9=0,解得:b =3,或

(舍去) ,

从而 a =b +1=4. 故椭圆的方程为

2

2



解法 2:由抛物线方程,得焦点 F(1,0) , ∴c=1. ∴椭圆 C1 的左右焦点分别为 F1(﹣1,0) 2(1,0) ,F .

∵椭圆

(a>b>0)经过点 M(1, ) ,

∴ ∴a=2,则 a =4,b =a ﹣c =4﹣1=3. 故椭圆的方程为 .
2 2 2 2

=4.

②当直线 l 垂直于 x 轴时, 则 A(1, ) ,B(1, ) ,C(1,2) ,D(1,﹣2) .∴ .

当直线 l 与 x 轴不垂直,设其斜率为 k(k≠0) ,则直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) .
2 2 2 2

联立

,得: (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0.
2 2 2 4 2

△ =(﹣8k ) ﹣4×(3+4k )×(﹣12)=64k +192k +144>0. ∴方程有两个不等的实数根.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 则 , .

所以,

=

=

=




2 2

,得,k x ﹣(2k +4)x+k =0.
4 2

2 2

2

2

△ =[﹣(2k +4)] ﹣4k =16k +16>0,∴方程有两个不等的实数根.设 C(x3,y3) ,D(x4, y4) . ∵k≠0,∴ ,

由抛物线的定义,得





=



综上,当直线 l 垂直于 x 轴时,

取得最大值 .

点评:本题考查了椭圆标准方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,考查了数形结合的解 题思想及分类讨论思想,考查了弦长公式,解答此类问题的关键是,常常采用设而不求的方 法,即设出直线与圆锥曲线交点的坐标,解答时不求坐标,而是运用根与系数关系求出两个 点的横坐标的和与积,然后结合已知条件整体代入求解问题,此题是难题.

21. (12 分) (2010?海淀区二模)给定椭圆

,称圆心在原点 O,半径为

的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为

,其短轴上的一个端点到 F

的距离为 . (I) 求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程. (II) P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点, 点 过点 P 作直线 l1, l2,使得 l1,l2 与椭圆 C 都只有一个交点,且 l1,l2 分别交其“准圆”于点 M,N. ①当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1,l2 的方程; ②求证:|MN|为定值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;压轴题;分类讨论. 分析:(I)由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程 2 2 (II) (1)由准圆 x +y =4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2) , 设椭圆有一个公共点的直线为 y=kx+2,与准圆方程联立,由椭圆与 y=kx+2 只有一个公共点, 求得 k.从而得 l1,l2 方程 (2)分两种情况①当 l1,l2 中有一条无斜率和②当 l1,l2 都有斜率处理. 解答:解: (I)因为 ,所以 b=1 所以椭圆的方程为
2 2



准圆的方程为 x +y =4. 2 2 (II) (1)因为准圆 x +y =4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2) , 设过点 P(0,2) ,且与椭圆有一个公共点的直线为 y=kx+2,
2 2

所以

,消去 y,得到(1+3k )x +12kx+9=0,

因为椭圆与 y=kx+2 只有一个公共点,

所以△ =144k ﹣4×9(1+3k )=0, 解得 k=±1. 所以 l1,l2 方程为 y=x+2,y=﹣x+2. (2)①当 l1,l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 或 , 当 l1 方程为 时,此时 l1 与准圆交于点 , 此时经过点 (或 )且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=1(或 y= ﹣1) ,即 l2 为 y=1(或 y=﹣1) ,显然直线 l1,l2 垂直; 同理可证 l1 方程为 时,直线 l1,l2 垂直. 2 2 ②当 l1,l2 都有斜率时,设点 P(x0,y0) ,其中 x0 +y0 =4, 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x﹣x0)+y0, 则 ,消去 y 得到 x +3(tx+(y0﹣tx0) ﹣3=0, )
2 2 2 2 2 2 2

2

2

即(1+3t )x +6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0) ﹣3=0,△ =[6t(y0﹣tx0)] ﹣4?(1+3t )[3(y0 2 ﹣tx0) ﹣3]=0, 2 2 2 经过化简得到: (3﹣x0 )t +2x0y0t+1﹣y0 =0, 2 2 2 2 2 因为 x0 +y0 =4,所以有(3﹣x0 )t +2x0y0t+(x0 ﹣3)=0, 设 l1,l2 的斜率分别为 t1,t2,因为 l1,l2 与椭圆都只有一个公共点, 2 2 2 所以 t1,t2 满足上述方程(3﹣x0 )t +2x0y0t+(x0 ﹣3)=0, 所以 t1?t2=﹣1,即 l1,l2 垂直. 综合①②知:因为 l1,l2 经过点 P(x0,y0) ,又分别交其准圆于点 M,N,且 l1,l2 垂直, 2 2 所以线段 MN 为准圆 x +y =4 的直径,所以|MN|=4. 点评:本题主要考查直线与曲线的位置关系,通过情境设置,拓展了圆锥曲线的应用范围,同时渗 透了其他知识,考查了学生综合运用知识的能力.

22. (12 分)设函数 (Ⅰ)当 (Ⅱ)令 k≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 时,求 f(x)的最大值;



, (0<x≤3) ,其图象上任意一点 P(x0,y0)处切线的斜率

(Ⅲ)当 a=0,b=﹣1,方程 2mf(x)=x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;压轴题. 分析: (I)函数的定义域是(0,+∞) ,把 代入函数解析式,求其导数,根据求解目标,这 个导数在函数定义域内只有一个等于零的点,判断这唯一的极值点是极大值点即可; (II)即函数 F(x)的导数在(0,3]小于或者等于 恒成立,分离参数后转化为函数的最值; (III)研究函数是单调性得到函数的极值点,根据函数图象的变化趋势,判断何时方程 2mf

2

(x)=x 有唯一实数解,得到 m 所满足的方程,解方程求解 m. 解答: 解: (I)依题意,知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,当 (2′) 令 f'(x)=0,解得 x=1. (∵x>0) 因为 g(x)=0 有唯一解,所以 g(x2)=0,当 0<x<1 时,f'(x)>0,此时 f(x)单调递 增; 当 x>1 时,f'(x)<0,此时 f(x)单调递减. 所以 f(x)的极大值为 ,此即为最大值…(4 分) 时, ,

2

(II) 立, 所以 a≥ 当 x0=1 时, 所以 a≥ …(8 分)

,x∈(0,3],则有

≤ ,在 x0∈(0,3]上恒成

,x0∈(0,3], 取得最大值 ,

(III)因为方程 2mf(x)=x 有唯一实数解,所以 x ﹣2mlnx﹣2mx=0 有唯一实数解, 设 g(x)=x ﹣2mlnx﹣2mx,则 令 g'(x)=0,x ﹣mx﹣m=0.因为 m>0,x>0, 所以 (舍去) , ,
2 2

2

2



当 x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减, 当 x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增 当 x=x2 时,g'(x2)=0,g(x)取最小值 g(x2)(12′) . 则 既

所以 2mlnx2+mx2﹣m=0,因为 m>0,所以 2lnx2+x2﹣1=0(*) 设函数 h(x)=2lnx+x﹣1,因为当 x>0 时,h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解. 因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1,即 ,解得 .…(12 分)

点评:本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用,试题的难度不大,但 考查点极为全面.本题的难点是第三问中方程解的研究,当函数具有极值点时,在这个极值 点左右两侧,函数的单调性是不同的,这样就可以根据极值的大小,结合函数图象的变化趋 势确定方程解的个数,如本题中函数在定义域内有唯一的极值点,而且是极小值点,也就是

最小值点,如果这个最小值小于零,函数就出现两个零点,方程就有两个不同的实数解,只 有当这个最小值等于零时,方程才有一个实数解,而最小值等于零的这个极小值点 x 满足在 此点处的导数等于零,函数值也等于零,即我们的解析中的方程组 ,由这个

方程组求解 m 使用了构造函数通过函数的性质得到 x2 的方法也是值得仔细体会的技巧.


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