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高二上学期期中联考复习题4(必修1~5)


鄂南高中 2013 级高二数学训练题
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个备选选项中, 只有一个是符合题目要求的 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

2. 对任意的实数 k (k ? 0) ,直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系一定是 A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是

4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71, 则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 5. 函数 f(x)=sinx -cos(x+ A、[ -2 ,2]

? )的值域为 6
C、[-1,1 ] D、[-

B、[- 3 , 3 ]

3 , 2

3 ] 2

BC = 6. 在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ·
A、 3 B、 7 C、 2 2 D、 23

7.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面, 则 a 的取值范围是 A、 (0, 2) B、 (0, 3) C、 (1, 2) D、 (1, 3)

? 1 ? 2 2 8.设平面点集 A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,则 A x ? ?

?

?

B 所表

示的平面图形的面积为 A、

3 ? 4

B、 ?

3 5

C、

4 ? 7

D、

? 2
1 ,面积 S 2

9.已知⊿ ABC 的内角 A , B , C 满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B ) ?

满足 1 ? S ? 2 ,记 a , b , c 分别为 A , B , C 所对的边,则下列不等式一定成立的是 A、 bc(b ? c) ? 8 C、 6 ? abc ? 12 10.已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y= B、 ab(a ? b) ? 16 2 D、 12 ? abc ? 24

8 (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图像从左至右相 2m ? 1 b 的最小值为 a
D、 4 4

交于点 A、B ,l2 与函数 y=|log2x|的图像从左至右相交于 C、D. 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a 、b ,当 m 变化时, A、 16 2 B、 8 2 C、 8 4

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填写在答题卡相应位置上 11.( 2 x -

1 6 ) 的二项展开式中的常数项为 x

。 (用数字作答)

12.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 13.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x=-1,n=3,则输入的数 S= (用数字作答) .

14.函数 f(x)= sin ?? x ? ? ? 的导函数 y=f(x)的比分图像如图 4 所示,其中 P 为图像与 y 轴 的交点,A、C 为图像与图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点。

(1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ) ,则 ? ? 2



(2) 若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点, 则该点在△ABC 内的概率为 15. 已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ② 对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?



1 | x ? y |. 2

若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k 恒成立,则 k 的最小值为

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分

b, c. B, C 所对的边分别为 a, 16. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; ⑴ 若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. ⑵ 若 a,
17. (本小题满分 12 分)某电视机厂生产两种规格的畅销电视机:29 英寸超平彩色电视机 和 29 英寸纯平彩色电视机.一台 29 英寸超平彩色电视机的组装时间为 0.4h,包装时间 为 0.3h;一台 29 英寸纯平彩色电视机的组装时间为 0.6h,包装时间为 0.3h.一天内,每 个组装车间最多工作 22h, 每个包装车间最多工作 20h. 该电视机厂拥有组装车间 16 个, 包装车间 12 个. 若每台 29 英寸超平彩色电视机能获利 800 元, 每台 29 英寸纯平彩色电 视机能获利 1000 元, 问该厂每天如何搭配生产这两种规格的彩色电视机, 才能使日获利 额最大?最大值是多少?

18. (本小题满分 12 分)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过被 AB 的中点 E 作平行于

DC, CA 于点 F , G, H. AD , BC 的平面分别交四面体的棱 BD,
⑴ 证明:四边形 EFGH 是矩形; ⑵ 求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值. A H E F D G B 2 C
俯视图

1 2
主视图 左视图

19. (本小题满分 12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者, 其年龄频率分布直方图如图所示, [25,30)、 [30,35)、 [35, 40)、 [40, 45]. 其中年龄分组区间是: [20, 25)、

(1) 求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [35, 40) 的人数; (2) 在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣 传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人. 求抽取的 3 名志愿者中恰有 2 名年龄低于 35 岁的概率.

20. (本小题满分 13 分)已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : y ? kx ? 2 . (1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A、B,当∠ AOB= (2)若 k ?

? 时,求 k 的值. 2

1 ,P 是直线 l 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D, 2

探究:直线 CD 是否过定点; (3)若 EF、GH 为圆 O: x ? y ? 2 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1,
2 2

2 ) ,求 2

四边形 EGFH 的面积的最大值.

21. (本小题满分 14 分) 运行如图所示的程序框图, 将输出的 a 依次记作 a1 , a2 ,

, an ; 输出的 b 依次记作 b1 , b2 , , Sn . ( n ? N * )

bn ;输出

的 S 依次记作 S1 , S2 ,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求

bn?1 1 ? bn ? (n ? N * , n ? 2014) 的值 an?1 an
(1 ? bn ) ? 10 b1b2 3 bn (n ? N * , n ? 2014)

(3)求证:

(1 ? b1 )(1 ? b2 )

参考答案 BCDDB,AADAB 11、-160 12、
1 5

13、-4

14、 (1)3; (2)

? 4

15、

1 4

16、 【解析】⑴因为 a , b, c 成等差数列,且 c ? 2 a ,所以 a ? c ? 2b , 由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B , 因为 sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) , 所以 sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) ; ⑵由 a , b, c 成等比数列有 b 2 ? ac ,

由余弦定理有 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2
1 。 2

当且仅当 a ? c 时等号成立, 所以 cos B 的最小值为

17、解设该厂日产 29 英寸超平彩色电视机 x 台,29 英寸纯平彩色电视机 y 台,每天的 获利总和为 z.则 z=800x+1000y(元),其中 x,y 满足约束条件 0.4x+0.6y≤16×22, 0.3x+0.3y≤12×20, x≥0, y≥0, x,y∈Z, 即 2x+3y≤1760, x+y≤800, x≥0, y≥0, x,y∈Z, l
400·

l1

y

A O
19 题

B
800

2x+3y=1760

C

x
x+y=800

作出可行域如图 (包括边界). 作出直线 l:800x+1000y=0. ∵直线 l 的斜率-

4 2 介于直线 x+y=800 的斜率-1 与 2x+3y=1760 的斜率- 之间, 5 3

∴将直线 l 平移到直线 l1 的位置,l1 过可行域内的点 B,此时直线到原点的距离最大,z 取得最大值.

1760, ?2 x+3 y= ? x=640, 由? 解得 ? ? x+y=800, ? y=160.
∴z=800×640+1000×160=6720000(元). 答:该厂每天生产超平彩色电视机 640 台,纯平彩色电视机 160 台,才能使日获利额最大, 最大值为 6720000(元). 18、 【解析】 ⑴由该四面体的三视图可知, BD ? DC , BD ? AD , AD ? DC ,

BD ? DC ? 2 , AD ? 1 ,由题设, BC / / 平面 EFGH ,

平面 EFGH

平面 BDC ? FG ,平面 EFGH

平面 ABC ? EH ,

∴ BC / / FG , BC / / EH , ∴ FG / / EH . 同理 EF / / AD , HG / / AD ,∴ EF / / HG , ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵ AD ? DC , AD ? BD ,∴ AD ? 平面 BDC , ∴ AD ? BC ,∴ EF ? FG , ∴四边形 EFGH 是矩形. (2) 如图,以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系,

则 D ? 0,0,0 ? , A ? 0,0,1? , B ? 2,0,0 ? , C ? 0, 2,0 ? , ∵ E 是 AB 的中点,∴ F , G 分别为 BD , DC 的中点,
1? ? 得 E ? 1, 0, ? , FG ? ? ?1,1,0? , BA ? ? ?2,0,1? . 2? ?

设平面 EFGH 的法向量 n ? ? x, y, z ? , 则 n ? FE ? 0 , n ? FG ? 0 ,

?1 ? z?0 得 ?2 ,取 n ? ?1,1,0? , ? ? x ? y ? 0 ?
∴ sin ? ? cos BA,n ?
BA ? n BA n ? 2 5? 2 ? 10 . 5

19、解: (1)∵小矩形的面积等于频率,∴除 [35, 40) 外的频率和为 0.70. ∴x?

1 ? 0.70 ? 0.06. 5

故在 500 名志愿者中,年龄在 [35, 40) 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150. ……6 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中“年龄低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄 不低于 35 岁”的人有 8 名. ∴抽取的 3 名志愿者中恰有 2 名年龄低于 35 岁的概率为
2 1 C12 C8 44 ? 3 C20 95

……12 分

20、解: (1)∵∠AOB=

? 2 r ,∴点 O 到 l 的距离 d ? 2 2

???2 分



2 k 2 ?1

=

2 · 2 2

?

k ?? 3

???4 分

(2)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上,设 P (t , t ? 2) . 其方程为: x( x ? t ) ? y ( y ? 即

1 2

1 t ? 2) ? 0 2

1 x 2 ? tx ? y 2 ? ( t ? 2) y ? 0 2

又 C、D 在圆 O: x2 ? y 2 ? 2 上 ∴ lCD : tx ? ( t ? 2) y ? 2 ? 0

1 2



(x ?

y )y ? 2y ? 2 ? 0 2

???6 分

y ? ?x ? ? 0 由? 2 ? ?2 y ? 2 ? 0



1 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? ?1
1 2
???8 分

∴直线 CD 过定 点 ( , ?1) (3)设圆心 Ogc 直线 EF、GH 的距离分别为 d1 , d 2 . 则 d1 ? d 2 ?| OM | ?
2 2 2
2 2

3 2
2

???10 分

∴ | EF |? 2 r ? d1 ? 2 12 ? d1 ∴S ?

| GH |? 2 r 2 ? d 22 ? 2 2 ? d 2 2

1 3 5 2 2 | EF || GH |? 2 (2 ? d12 )(2 ? d 2 )≤2 ? d12 ? 2 ? d 2 ? 4? ? 2 2 2

2 当且仅当 2 ? d12 ? 2 ? d2 即 d1 ? d 2 ?

3 时,取“=” 2
???13 分

∴四边形 EGFH 的面积的最大值为

5 . 2

21、解: (1)由题意知: an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 1

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2n

? an ? 2n ? 1 (n ? N * , n ? 2014)
(2)由题意, a1 ? 1, b1 ? 1, S1 ? 0 当 2 ? n ? 2014 时, Sn ? Sn?1 ? 此时, Sn ? S1 ?

…………… ………4 分

1 , bn ? an ? Sn an?1

1 1 ? ? a1 a2
?
?

?

1 1 1 ? ? ? an?1 a1 a2

?

1 an?1

? bn ? an (
?

1 1 ? ? a1 a2

1 ) an?1

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

bn 1 1 ? ? ? an a1 a2

1 an?1

?

bn?1 1 1 ? ? ? an?1 a 1 a 2

?

1 an
[来源:学_科_网]

?

bn?1 bn 1 b 1 ? bn ? ? ? n?1 ? ?0 an?1 an an an?1 an

当 n ? 1 时,

b2 1 ? b1 3 1 ? 1 ? ? ? ? ?1 a2 a1 3 1
…………………………9 分

综上,

bn?1 1 ? bn ??1, n ? 1 ? ?? an?1 an ?0, 2 ? n ? 2014

(3)当 n ? 1 时, 左 ? 1 ? b1 ? 2, 右 ? 此时, 1 ? b1 ?

10 10 b1 ? 3 3

10 b1 3
1 ? bn a ? n 又 b1 ? a1 ? 1, b2 ? 3, a2 ? 3 bn?1 an?1

当 2 ? n ? 2014 时,由(2)知

(1 ? b1 )(1 ? b2 ) (1 ? bn ) 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 ? ? ? b1 ? b2 bn b1b2 b3 b4 2 a a ? ? 2? 3 3 a3 a4 ? 2?(

1 ? bn?1 ? (1 ? bn ) bn

an?1 2 a 1 ? bn ? (1 ? bn ) ? ? 2 ? (1 ? bn ) ? 2 ? an 3 an an ? 1 ) an?1

1 bn 1 1 1 ? ) ? 2( ? ? ? an an an a1 a2

即要证明的不等式转化为证明:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 5 1 1 ? 即证明 1 ? ? ? an 3 3 7

?

1 5 ? 2 ?1 3
n

(注:忽略 n ? 1 的情形将之转化为 1 ? ? 又 an ? 2n ?1 ? 4 ? 2n?2 ? 1 ? 3 ? 2n?2 (n ? 3)

1 1 ? 3 7

?

1 10 ? 的本小问 0 分) 2 ?1 3
n

1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? n ? 1? ? ? ? 3 7 2 ?1 3 3 ? 2 3 ? 22 1 1 (1 ? n?1 ) 2 1 2 5 2 ? 1? 3 ? 1 ? ? (1 ? n?1 ) ? 1 ? ? 1 3 2 3 3 1? 2

?

1 3 ? 2n?2

? (1 ? b1 )(1 ? b2 )

(1 ? bn ) ?

10 b1b2 3

bn bn (n ? N * , n ? 2014) 成立. ………………14 分

综上, (1 ? b1 )(1 ? b2 )

(1 ? bn ) ?

10 b1b2 3


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