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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案


2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系

1:平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面 内。

图形语言表述: 符号语言表述: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? . 公理 1 的作用:既可判定直线是否在平面内、点是否在平面

内,又可用直线检验平面。 (2)公理 2:过不在一条直线的三点,有且只有一个平面。

图形语言表述: 符号语言表述: A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面?,使A ?? , B ?? , C ?? . 公理 2 的作用:(1)确定平面,(2)证明点、线共面问题。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。

图形语言表述: 符号语言表述: P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l. 公理 3 的作用: (1)是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以 判定这两个平面必相交于过这点的一条直线; (2)它可判定点在直线上,点是某两个平面的 公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上。 2:空间中直线与直线的位置关系 1.概念: 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任意一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,我们把 a ? 与 b ? 所成的角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的夹角。 (易知:夹角范围 0 ? ? ? 90? )

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 2.位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
(4) 公理 4: (平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线相互平行。
1

符号语言表述: a // l , 且b // l ? a // b 3.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 3:空间中直线与平面之间的位置关系

?1.直线在平面内:l ? ? ? 直线与平面的位置关系有三种: ? ?2.直线与平面相交:l ? ? A ?直线在平面外 ?3.直线与平面平行:l // ? ? ?
(1) 、直线在平面内——有无数个公共点; (2) 、直线与平面相交——有且只有一个公共点; (3) 、直线与平面平行——没有公共点。 4:平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种: ?

?1.两个平面平行:? // ? ?2.两个平面相交:?

? ?l

(1) 、两个平面平行——没有公共点; (2) 、两个平面相交——有一条公共直线。 例题讲解: 【例 1】 已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°, P 为空间一定点, 则过点 P 且与 a、 b 所成角都是 30°的直线有且仅有( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条

解析:过 P 作 a ? ∥a, b ? ∥b,若 P∈a,则取 a 为 a ? ,若 P∈b,则取 b 为 b ? .这时 a ? , b ? 相 交于 P 点,它们的两组对顶角分别为 50°和 130°. 记 a ? , b ? 所确定的平面为β ,那么在平面β 内,不存在与 a ? , b ? 都成 30°的直线. 过点 P 与 a ? , b ? 都成 30°角的直线必在平面β 外,这直线在平面β 的射影是 a ? , b ? 所 成对顶角的平分线.其中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ? ,射影是 130°对顶 角平分线的直线不存在.故答案选 B. 【例 2】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点, P、Q 分别为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共 面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. 证明: (1) ∵ 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1 // DD1 , ∴ BD // B1 D1 . 又 ∵ B1 D1C1 中,E、F 为中点, ∴ EF //
A1 D A P B

D1

E Q B1 F

C1

C

1 B1 D1 . ∴ EF // BD , 即 D、B、F、E 四点共面. 2

(2)∵ Q ? 平面AC1 , Q ? 平面BE , P ? 平面AC1 , P ? 平面BE , ∴ 平面AC1 又 AC1 三点共线
王新敞
奎屯 新疆

平面BE ? PQ . R ? 平面AC1 , R ? 平面BE , ∴ R ? PQ . 即 P、Q、R

平面BE ? R , ∴

2

【例 3】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四 线共面. 证明: 因为 a//b, 由公理 2 的推论, 存在平面 ? , 使得 a ? ? , b ? ? . 又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,由公理 1, d ? ? . 假设 c ? ? ,则 c ? ? C , 在平面 ? 内过点 C 作 c ? // b , 因为 b//c,则 c // c ? ,此与 c
c? ? C 矛盾. 故直线 c ? ? .
?
A c B C b a c'

d

综上述,a、b、c、d 四线共面. 点评:证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理 2 及其三条推论,寻找题中能确定平 面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原 因是假设不成立,这就是证明问题的一种反证法的思路. 【例 4】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解析: (1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1, ∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵ ∠CC1D=45°, ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°. (2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵Δ A1DC1 是等边三角形, ∴ ∠A1DC1=60?,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60?. 点评:求解异面直线所成角时,需紧扣概念,结合平移的思想,发挥空间想象力,把两 异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角, 即将异面问题转化为共面问题, 运用化归思 想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质,依照选点、平移、定角、计算的 步骤,逐步寻找出解答思路

练习题
A组 1.下列命题正确的是 ( A.三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 2.不共面的四点可以确定平面的个数为 ( A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.无法确定 3.平行于同一平面的两条直线的位置关系_____________________ 4.直线 l1 // l2 ,在 l1 上取三点, l2 上取两点,由这五点能确定的平面共有____________________ 5.若三个平面两两相交得三条交线,则三条交线的位置关系是_____________ 6.下列命题中 ① A ? l,A ? ?,B ? l,B ? ? ? l ? ?
3





② A ??, A ??,B ??,B ?? ? ? ? ? AB;

③ l ? ?, A ? l ? A ? ?;

④ A,B,C ? ?, A,B,C ??, 且A,B,C不共 线 ? ?,?重合

推理错误的命题序号____________________ 0 7.一个水平放置的平面图的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底长为 1 的等腰梯形, 则这个平面图形的面积是______________________ B组 8.不共面的四条直线两两相交,它们一共有 个交点。 9.下列说法中正确的有 (填序号) ① 平面α 与平面β 相交,它们只有有限个公共点; ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面; ③ 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ④ 两两相交且不重合的直线必共面。 10.如图所示,已知空间四边形 ABCD,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、 CD 上的点,且

CF CG 2 ? ? ,求证直线 EF、GH、AC 交于一点. CB CD 3

? 11、 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 。

(1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离.

P

A O B

C

4


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